Основні числові системи/Дійсні числа

Логотип Вікіпедії

Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Дійсне число

Основні аксіоми

Системою дійсних чисел називається впорядкована множина, у якій кожна обмежена згори підмножини його елементів має точну верхню грань. Система дійсних чисел позначається літерою $\mathbb {R} .$ Більш широко: система дійсних чисел - будь-яка множина $\mathbb {R} =\{a,b,c,...\},$ яка містить принаймні два різних елементи, на якій визначені дві бінарні операції - додавання й множення, а також уведене відношення $a<b$ ("$a$ менше $b$"), причому справджуються наступні аксіоми.

Аксіоми системи.
1. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ справджується сполучний закон додавання: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
2. Для усіх $a,b,\in \mathbb {R}$ справджується переставний закон додавання: $a+b=b+a$.
3. Для усіх $a,b\in \mathbb {R}$ виконується операція віднімання: існує таке $c\in \mathbb {R} ,$ що $a+c=b$.
4. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ справджується сполучний закон множення: $(ab)c=a(bc)$.
5. Для усіх $a,b\in \mathbb {R}$ справджується переставний закон множення: $ab=ba$.
6. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ справджується розподільний закон множення відносно додавання: $(a+b)c=ac+bc$.
7. Для усіх $a,b\in \mathbb {R}$ за $a\neq 0$ виконується операція ділення (окрім ділення на нуль): існує таке $r\in \mathbb {R} ,$ що $ar=b$.

Слідства:

• у системі дійсних чисел сума та добуток декількох елементів (дійсних чисел) не залежать від способу розташування дужок й порядку відповідно доданків та множників.
• справедливими є визначені раніше правила множення й розкриття дужок;
• для кожного числа $a$ існує протилежне число $-a$;
• для кожного відмінного від нуля числа $a$ існує протилежне число $a^{-1}$;
• немає ділених, дільниками яких є нуль.

Аксіоми впорядкування.
8. Для довільних $a,b\in \mathbb {R}$ виконується лише одне із співвідношень: $a=b,$ або $a<b,$ або $b<a$.
9. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ відношення $a<b$ є транзитивним: $a<b\land b<c\Rightarrow a<c$.
10. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ монотонність додавання: $a<b\Rightarrow a+c<b+c$.
11. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ монотонність множення: $a<b\land c>0\Rightarrow ac<bc$.

Слідства:

• з точка зору бінарних операцій й відношення порядку система раціональних чисел міститься у системі дійсних чисел $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$; саме у такому розумінні система раціональних чисел є підсистемою системи дійсних чисел (при цьому говорять, що $\mathbb {R}$ є розширенням системи раціональних чисел $\mathbb {Q}$).

Функція Діріхле - функція $\chi _{{}_{D}}(\mathbb {R} ),$ визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення з множини ${\textbf {2}}=\{1,0\},$ зокрема, значення $1,$ якщо аргумент $x\in \mathbb {R}$ є раціональним числом, та значення $0,$ якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

$\chi _{{}_{D}}(x)={\begin{cases}x\in \mathbb {Q} \Rightarrow 1,\\x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \Rightarrow 0,\end{cases}}$

де $\mathbb {Q}$ множина раціональних чисел, а $\mathbb {R}$ - множина дійсних чисел.

Аксіома точної верхньої грані.
12. Будь-яка обмежена згори множина $A\subset \mathbb {R}$ має у $\mathbb {R}$ точну верхню грань.

Дедекіндовий перетин

Нехай $A\subset \mathbb {R}$ - підмножина множини усіх дійсних чисел. Припустімо, що серед чисел $a\in A$ немає найбільшого. Здійснімо перетин у області усіх дійсних чисел: до верхнього класу $C'$ віднесемо усі перхні границі $a'$ множини $A,$ а до нижнього класу $C$ - усі інші дійсні числа $a.$ При цьому розбитті множини $\mathbb {R}$ на дві частини $C\,|\,C'$ усі числа $a$ множини $A$ попадуть до класу $C,$ оскільки жодне з них за припущенням не буде найбільшим. Таким чином, обидва класи $C$ та $C'$ є непустими. Це розбиття є перетином, оскільки усі дійсні числа розподілені по класам, де кожне число класу $C'$ є більшим від будь-якого числа класу $C.$ За теоремою Дедекінда повинне існувати число $r,$ яке здійснює перетин. Усі числа $a\in C$ не перебільшують це "примежеве" число $r,$ тобто $r$ є верхньою межею для $a$ та, відповідно, міститься у класі $C'$ і є там найменшим. Розмірковуючи аналогічним чином, можна сказати, що число $r$ є найбільшим у класі $C$ та нижньою межею для $a'.$

Для кожного дійсного числа $x\in \mathbb {R}$ існує протилежне (симетричне) до нього число $-x\in \mathbb {R} ,$ яке задовільняє умові $x+(-x)=0.$ Розгляньмо число $x,$ яке визначається перетином $C\,|\,C'.$ Визначмо число $-x$ за допомогою перетину ${\bar {C}}\,|\,{\bar {C}}'$ наступним чином. До нижнього класу ${\bar {C}}$ числа $-x$ віднесімо усі раціональні числа $-a',$ де $a'$ - довільне число класу $C',$ а до верхнього класу ${\bar {C}}'$ числа $-x$ віднісімо усі числа $-a,$ де $a$ - довільне число класу $C.$

Сума $x+(-x)$ є дійсним числом, яке міститься між числами $a-a'$ та $a'-a,$ де $a$ та $a'$ є раціональними та $a<x<a'.$ Однак $a-a'<0<a'-a,$ тому і число $0$ міститься між $a-a'$ та $a'-a.$ Через єдиність числа, яке має таку властивість, маємо $x+(-x)=0.$

Дедекіндовий перетин є аксіоматичним способом уведення іраціональних чисел. Наприклад, ${\sqrt[{3}]{3}}$ є іраціональним числом, яке розбиває раціональні числа на два класи: перший клас складають від'ємні числа, нуль та додатні числа $a^{3}<3,$ а другий клас складають додатні числа $b$ такі, що $b^{3}>3.$

Позиційний десятковий запис дійсного числа

Десятковий дріб - форма запису звичайного дробу ${\frac {a}{b}},$ у якого знаменник $b=10^{n},$ де $n\in \mathbb {N} .$ Наприклад,

$0.7={\frac {7}{10}},\quad \quad 1.4=1{\frac {2}{5}},\quad \quad {\frac {41}{1000}}=0.041,\quad \quad {\frac {605}{10}}=60.5.$

Кожний звичайний дріб можна подати у вигляді десяткового дробу. Для цього необхідно виконати дію ділення та поділити чисельник на знаменник. Наприклад, ${\frac {14}{11}}=1.27272727...,\quad \quad {\frac {1}{4}}=0.25,\quad \quad {\frac {7}{12}}=0.58333333...\,.$

Три крапки означає, що дріб є нескінченним. Періодом нескінченного дробу називається найменша група цифрових значень після крапки десяткового дробу, що повторюється. У дробах

$1.27272727...=1.(27),\quad \quad 0.58333333...=0.58(3),\quad \quad 0.25=0.250000...=0.25(0).$

Період записується у дужках, як показано у наведених прикладах. Нескінченний десятковий дріб, що містить період, називається періодичним.

Кожний нескінченний десятковий періодичний дріб може бути поданий у вигляді звичайного дробу. Наприклад, подамо дріб $a=0.58(3)$ у вигляді звичайного дробу. Період цього дробу складається з однієї цифри; помножимо $a$ на 10:

$10a=5.8333333...\,.$

Обчислимо різницю $10-a=5.8333333...-0.58333333...\Rightarrow 9a=5.25\Rightarrow a={\frac {5.25}{9}}={\frac {525}{900}}={\frac {7}{12}}.$ Таким чином, $0.58(3)={\frac {7}{12}}.$

За будь-якого $b>0$ система напівінтервалів

$[a-b,\,a)\supset [a-{\frac {b}{2}},\,a)\supset [a-{\frac {b}{3}},\,a)\supset ...\supset [a-{\frac {b}{n}},\,a)\supset ...$

має непустий перетин. Справді, якщо б деяке число $\varepsilon$ належало усім напівінтервалам даної системи, то число $a-\varepsilon$ належало б усім напівінтервалам системи

$[0,\,b)\supset [0,\,{\frac {b}{2}})\supset [0,\,{\frac {b}{3}})\supset ...\supset [0,\,{\frac {b}{n}})\supset ...\,.$

Однак жодне число $a-\varepsilon >0$ не може належати усім напівінтервалам даної системи, оскільки за аксіомою Архімеда існує натуральне число $n,$ для якоо ${\frac {b}{n}}<a-\varepsilon .$

Яким б не було дійсне число $a,$ завжди знайдеться лише одне таке ціле число $m,$ що буде справджуватися нерівність $m\leq a<m+1.$ За принципом Архімеда існує таке натуральне число $n,$ що $n>|a|.$ Відповідно, $-n<a<n.$ Серед скінченного числа цілих чисел $-n,-(n-1),...,-2,-1,0,1,2,...,n$ оберімо перше число $m+1,$ за якого справджувалася б нерівність $a<m+1.$ Тоді одержимо $m\leq a<m+1.$ Нехай тепер існує ще одне ціле число $m_{1}$ таке, що $m_{1}\leq a<m_{1}+1.$ Якщо $m_{1}<m,$ тоді $m_{1}+1\leq m.$ Але у такому випадку справджувалася б нерівність $m_{1}+1\leq a,$ що суперечить нерівності $m_{1}+1>a.$ Відтак $m_{1}$ не може бути меншим від $m.$ Так само $m_{1}>m$ не справджується. Відповідно, $m_{1}=m.$

Нехай $a>0$ - довільне додатне дійсне число, відмінне від нуля. Існує таке ціле невід'ємне число $m,$ що справджується нерівність $m\leq a<m+1.$ Розділімо напівсегмент $[m,\,m+1)$ на десять напівсегментів

$\Delta _{0}=[m,\,m+{\frac {1}{10}}),\quad \Delta _{1}=[m+{\frac {1}{10}},\,m+{\frac {2}{10}}),\quad ...,\quad \Delta _{8}=[m+{\frac {8}{10}},\,m+{\frac {9}{10}}),\quad \Delta _{9}=[m+{\frac {9}{10}},\,m+1).$

Число $a$ міститься лише у одному з цих напівінтервалів, оскільки вони не перетинаються. Нехай $a\in \Delta _{i_{1}},$ де $i_{1}$ є одним з чисел від $0$ до $9.$ Тоді $m+{\frac {i_{1}}{10}}\leq a<m+{\frac {i_{1}+1}{10}}.$

Напівінтервал $\Delta _{i_{1}}=[m+{\frac {i_{1}}{10}},\,m+{\frac {i_{1}+1}{10}})$ розділімо на десять напівінтервалів:

$\Delta _{i_{1}0}=[m+{\frac {i_{1}}{10}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {1}{100}}),\quad \Delta _{i_{1}1}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {1}{100}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {2}{100}}),\quad ...,\quad \Delta _{i_{1}9}=[m+{\frac {i_{1}}{9}}+{\frac {9}{100}},\,m+{\frac {i_{1}+1}{10}}).$

Число $a$ міститься лише у одному з даних напівінтервалів. Нехай $a\in \Delta _{i_{1}i_{2}},$ де $i_{2}$ - одне з чисел $0,1,...,9.$ Тоді буде справджуватися нерівність $m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}\leq a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}+1}{10^{2}}}.$ У свою чергу, напівінтервал $\Delta _{i_{1}i_{2}}$ розділімо на десять напівінтервалів:

${\begin{matrix}\Delta _{i_{1}i_{2}0}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {1}{1000}}),\quad \Delta _{i_{1}i_{2}1}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {1}{1000}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {2}{1000}}),\quad ...,\quad \\\,\\...,\quad \Delta _{i_{1}i_{2}9}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {9}{1000}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}+1}{100}}).\end{matrix}}$

Число $a$ міститься лише у одному з цих напівінтервалів. Нехай $a\in \Delta _{i_{1}i_{2}i_{3}},$ де $i_{3}$ - одне з чисел $0,1,...,9.$ У цьому випадку $m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+{\frac {i_{3}}{10^{3}}}\leq a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+{\frac {i_{3}+1}{10^{3}}}.$ Це міркування можна продовжувати нескінченно, одержуючи нескінченну послідовність чисел $m,i_{1},i_{2},i_{3},...,i_{n},...,\,$ таку, що для довільного натурального числа $n$

$m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}\leq a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n-1}}{10^{n-1}}}+{\frac {i_{n}+1}{10^{n}}}.$

Можина раціональних чисел

$m,\,m+{\frac {i_{1}}{10}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+{\frac {i_{3}}{10^{3}}},...,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}$

таким чином, є обмеженою згори і тому, за аксіомою точної верхньої грані, має у системі дійсних чисел $\mathbb {R}$ точну верхню грань $b.$ Число $b$ за визначенням точної верхньої грані не може бути більшим від $a.$ Воно також не може бути меншим від числа $a,$ оскільки за будь-якого натурального числа $n$ справджувалися б нерівності

$m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}\leq b<a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n-1}}{10^{n-1}}}+{\frac {i_{n}+1}{10^{n}}},$

та, відповідно, і нерівність $a-b<{\frac {1}{10^{n}}},$ що суперечить наслідку з аксіоми Архімеда. Відповідно, $a=\sup\{m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}\,|\,n=1,2,3,...\}.$

При цьому пишуть $a=m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}+...,$

або, у скороченому вигляді, $a=m,i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n}...\,.$ Запишімо ціле невід'ємне число $m$ у десятковій системі лічби $m=j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0},$ де $j_{k}$ за $0\leq k\leq p$ - одне з чисел $0,1,...,9,$ причому $j_{p}\neq 0.$ Тоді скорочений запис запишеться наступним чином: $a=j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0},\,i_{1}i_{2}...i_{n}...\,.$ Ціле невід'ємне число $j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0}$ називається цілою частиною числа $a,$ a $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ називають відповідно першим, другим, ..., $k$-тим десятковим знаком числа $a.$ Символічний запис

$j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0},\,i_{1}i_{2}...i_{n}...$

називають десятковим розкладом, або десятковим записом, числа $a.$

Розгляньмо тепер число $0<x<1.$ Арифметичним доповненням числа $x$ називається різниця між одиницею та числом $x.$ Наприклад, арифметичним доповненням числа $0.5123$ є число $1-0.5123=0.4877.$

Логарифми

Логарифмом додатного числа $y$ із основою $x$ (де $x>0$ та $x\neq 1$) називається показник степеня, до якого треба піднести основу $x,$ щоб одержати число $y.$ Таким чином, якщо $x^{n}=y,$ де $x>0$ та $x\neq 1,$ то $\log _{x}y=n.$ Та навпаки, якщо $\log _{x}y=n,$ то $x^{n}=b.$ Наприклад, $\log _{2}16=4,$ оскільки $2^{4}=16.$

Якщо існує таке раціональне число $q,$ що $x^{q}=y,$ де $x,y\in \mathbb {R} _{+}$ (множина додатних дійсних чисел) та $x>1.$ то $q$ є шуканим логарифмом.

Припустімо, що такого раціонального числа $q$ немає. Тоді можна здійснити перетин $Q\,|\,Q'$ у області усіх раціональних чисел $\mathbb {Q}$ за правилом:

• $q\in Q,$ якщо $x^{q}<y$;
• $q'\in Q',$ якщо $x^{q\,'}>y.$

Нехай тепер $n\in \mathbb {N}$ та $n>1,$ а також $y\in \mathbb {R}$ та $y>1.$ Тоді $y^{n}>1+n(y-1).$ Справді, якщо $y=1+\varepsilon ,$ де $\varepsilon >0,$ за формулою бінома Н'ютона одержимо $(1+\varepsilon )^{n}=1+n\varepsilon +...,$ а оскільки ненаписані члени є додатними, то $(1+\varepsilon )^{n}>1+n\varepsilon .$

Тоді $x^{n}>1+n(x-1)>n(x-1),$ і щоб одержати $x^{n}>y,$ необхідно взяти $n>{\frac {y}{x-1}}.$ Таке натуральне число $n$ належить до класу $Q'.$

У той же час $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}<{\frac {1}{n(x-1)}},$ і щоб одержати $x^{-n}<y,$ необхідно взяти $n>{\frac {1}{y(x-1)}}.$ У цьому випадку число $n$ належить до класу $Q.$

Побудований перетин $Q\,|\,Q'$ визначає дійсне число $r,$ яке називається примежевим між числами обох класів $Q$ та $Q'.$

За визначенням степені $x^{q}<x^{r}<x^{q\,'}$ за $q<r<q',$ причому $x^{r}$ є єдиним числом, яке задовільняє усім подібним нерівностям. Однак для числа $y$ за побудовою перетину маємо $x^{q}<y<x^{q\,'},$ відтак $x^{r}=y$ та $r=\log _{x}y.$

Логирифм за основою $x=10$ називається десятковим логарифмом. При цьому записують $\log _{10}y=\lg y.$ Мантисою називається десяткова частина десяткового логарифму. Наприклад, якщо $\lg 200=2.3010,$ то число $0.3010$ є мантисою, а число $2$ - характеристикою логарифма.

Основною логарифмічною тотожністю є тотожність $x^{\log _{x}y}=y.$

Властивості логарифмів:

• $\log _{x}1=0$;
• $\log _{x}x=1$;
• $\log _{x}(ab)=\log _{x}a+\log _{x}b$;
• $\log _{x}{\frac {a}{b}}=\log _{x}a-\log _{x}b$;
• $\log _{x}a^{p}=p\cdot \log _{x}a$;
• $\log _{x^{m}}a={\frac {1}{m}}\cdot \log _{x}a$;
• $\log _{x}a={\frac {1}{\log _{a}x}}$ (за $a\neq 1$).

Формула переходу до іншої основи:

• $\log _{x}y={\frac {\log _{z}y}{\log _{z}x}}.$

Натуральний логарифм - це логарифм за основою $e,$ де $e$ - число Ейлера. При цьому записують $\log _{e}x=\ln x.$

Нерівності

Математику називають тавтологічною наукою: про математиків кажуть, що вони витрачають час на доказ того, що предмети є рівними самим собі. Це твердження (властиве філософам) є досить неточним, оскільки, по-перше, математика не є наукою; її радше можна навати мистецтвом, оскільки математична творчість є спорідненою до художньої творчості. По-друге, основні результати математики частіше виражаються нерівностями, а не рівностями.

Пригадаймо, що символ $>$ означає "більше". У такому випадку можна відповісти на запитання: чи правильно, що $-3>-6\,\,$? Відповідь на це запитання очевидна.

Точка $-3$ зображена правіше від точки $-6,$ тому необхідно вважати, шо $-6<-3.$ Якщо дійсні числа (додатні й від'ємні, раціональні та іраціональні числа, а також нуль) зображені геометрично звичайним способом у вигляді точок горизонтальної числової прямої, спрямованої праворуч, то при русі уздовж прямої праворуч числа будуть з'являтися у порядку їх зростання. Варто зауважити, що число може бути записане у вигляді суми одиниць; наприклад, $3=1+1+1$ або $5=1+1+1+1+1$ тощо.

Аксіома Архімеда

З аксіоми точної верхньої грані слідує наступна аксіома Архімеда: для будь-яких двох невід'ємних дійсних чисел $a$ та $b$ завжди знайдеться таке натуральне число $n,$ що справдиться нерівність $a\cdot n>b.$

Розміковуймо протилежно. Нехай у системі чисел $\mathbb {R}$ аксіома Архімеда не справджується. У цьому випадку існують дійсні числа $a>0$ та $b>0$ такі, що за будь-якого натурального $n\in \mathbb {N}$ справджується нерівність $na<b.$ Множина $A$ усіх дійсних чисел вигляду $na,$ таким чином, є обмеженою згори, і тому, за аксіомою точної верхньої грані, вона має точну верхню грань $\sup(A).$ Оскільки $\sup(A)$ - точна верхня грань множини $A=\{na\},$ то за визначенням точної верхньої грані, серед чисел $na$ існує число $pa>\sup(A)-a.$ Звідси слідує, що $(p+1)a>\sup(A),$ а це суперечить тому, що $\sup(A)$ - точна верхня грань множини $A=\{na\}.$ Таким чином, припущення, за якого у системі дійсних чисел $\mathbb {R}$ аксіома Архімеда не справджується, приводить до суперечливості, і тому це припущення є невірним.

Зокрема, якщо $a=1,$ одержуємо: для будь-якого $b\in \mathbb {R}$ існує таке натуральне число $n,$ що $n>b.$ Впорядкована система, у якій справджується аксіома Архімеда, називають архімедівськи впорядкованою. Таким чином, система $\mathbb {R}$ є архімедівськи впорядкованою.

Із сказаного слідує, що для будь-яких дійсних чисел $a>0$ та $b>0$ існує таке натуральне число $n,$ що ${\frac {b}{n}}<a.$ Справді, існує таке натуральне $n\in \mathbb {N} ,$ що $n>{\frac {b}{a}}.$ Якщо помножити цю нерівність на ${\frac {a}{n}},$ отримаємо ${\frac {b}{n}}<a,$ зокрема ${\frac {a\not {n}}{\not {n}}}>{\frac {b\not {a}}{\not {a}n}}.$

Нехай $a,b\in \mathbb {R}$ такі, що $a<b.$ Сукупність усіх дійсних чисел $x,$ які задовільняють нерівностям $a\leq x\leq b,$ називають відрізком (сегментом) й позначають символом $[a,b].$ Числа $a$ та $b$ називають відповідно лівим й правим кінцями відрізка. Сукупність усіх дійсних чисел $x,$ що задовільняють нерівностям $a<x<b$ називають інтервалом із лівим кінцем $a$ та правим кінцем $b$ й позначають $(a,b).$

Сукупість дійсних чисел $x,$ що задовільняють нерівностям $a<x\leq b$ та $a\leq x<b$ називають напівінтервалами (напівсегментами, променями) й позначають відповідно $(a,b]$ та $[a,b).$ Відрізки, інтервали й напівінтервали називають проміжками.

Кожний інтервал $(a,b)$ містить раціональне число. Справді, нехай $h=b-a>0,$ тоді за аксіомою архімеда існує натуральне число $n$ таке, що ${\frac {1}{n}}<h.$ Існує таке натуральне число $m,$ що $m\cdot {\frac {1}{n}}>|a|.$ Відповідно, $(-m)\cdot {\frac {1}{n}}<a<m\cdot {\frac {1}{n}}.$ Серед цілих чисел $-m,-(m-1),...,-1,0,1,2,...,m$ існує таке число $m,$ що $m\cdot {\frac {1}{n}}\leq a<(m+1)\cdot {\frac {1}{n}},$ тобто ${\frac {m}{n}}\leq a<{\frac {m+1}{n}}.$ З нерівностей ${\frac {m}{n}}\leq a<{\frac {m+1}{n}}$ слідує, що ${\frac {m+1}{n}}-a\leq {\frac {m+1}{n}}-{\frac {m}{n}},$ тобто ${\frac {m+1}{n}}-a\leq {\frac {1}{n}}<h=b-a$ та, відповідно, ${\frac {m+1}{n}}<b.$ Таким чином, $a<{\frac {m+1}{n}}<b,$ тобто ${\frac {m+1}{n}}\in (a,b).$

Зі сказаного слідує, що у інтервалі $(a,b)$ міститься нескінченна чисельність раціональних чисел.

Модуль дійсного числа

Модуль дійсного числа $a$ - саме це число $a\in \mathbb {R} ,$ для якого справджуються наступні умови:

$|a|={\begin{cases}a,\,{\text{якщо}}\,a>0,\\0,\,{\text{якщо}}\,a=0,\\-a,\,{\text{якщо}}\,a<0.\end{cases}}$

Наприклад, $|15|=15,\,\,|-3|=3,\,\,|0|=0,\,\,|{\sqrt {5}}-6|=-({\sqrt {5}}-6)=6-{\sqrt {5}}.$

Нехай $a$ та $b$ - довільні дійсні числа. Оскільки на множині дійсних чисел визначене відношення часткового порядку $\leq ,$ то за довільного вибору чисел $a$ та $b$ невідомо, яке з чисел більше (менше). За допомогою функцій $\max$ та $\min$ визначмо два числа: $\max(a,b)$ та $\min(a,b),$ для яких справджується нерівність $\min(a,b)\leq \max(a,b).$ Оскільки кожна точка на числовій прямій ототожнюється із своєю координатою, то нерівність $\min(a,b)\leq x\leq \max(a,b)$ геометрично означає множину точок, що знаходяться між точками $\min(a,b)$ та $\max(a,b).$ Ця множина називається сегментом із кінцями $\min(a,b)$ та $\max(a,b)$ та позначається $[a,b].$ Зокрема, якщо $a\leq b$ (відповідно $a\geq b$), то маємо сегмент $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}$ (відповідно $[b,a]$). У випадку $a=b$ відрізок вироджується у точку $a=x=b.$ Таким чином, сегмент $[a,b]$ на числовій прямій - множина, визначена наступним співвідношенням: $[\min(a,b),\,\max(a,b)]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,\min(a,b)\leq x\leq \max(a,b)\}.$ Точка ${\frac {a+b}{2}}$ є серединою сегмента із кінцями $a$ та $b.$ Із рівності $|a-{\frac {a+b}{2}}|=|b-{\frac {a+b}{2}}|$ та геометричного змісту абсолютної величини слідує, що точка ${\frac {a+2}{2}}$ рівновіддалена від кінців сегменту. Абсолютна величина пов'язана із функціями $\min$ та $\max ,$ тобто

$\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}},\quad \quad \min(a,b)={\frac {a+b-|a-b|}{2}}.$

Справджуються також співвідношення $\min(a,b)\leq x\leq \max(a,b)\Leftrightarrow -{\frac {|a-b|}{2}}\leq x-{\frac {a+b}{2}}\leq {\frac {|a-b|}{2}}.$ Таким чином, сегмент може бути представлений наступним чином:

$[\min(a,b),\max(a,b)]={\begin{Bmatrix}x\in \mathbb {R} &:&\vert x-{\frac {a+b}{2}}\vert \leq \vert {\frac {a-b}{2}}\vert \end{Bmatrix}}$

Радикал

Радикалом (або коренем) степені $n\in \mathbb {N}$ з дійсного числа $a\in \mathbb {R}$ називається таке дійсне число $b\in \mathbb {R} ,$ що $b^{n}=a.$ Корінь степені $n$ з числа $a$ позначається ${\sqrt[{n}]{a}}.$ Відповідно, якщо $b^{n}=a,$ то $b={\sqrt[{n}]{a}}.$

Для будь-якого $a\in \mathbb {R} ,$ більшого від нуля, $a>0,$ та будь-якого $n\in \mathbb {N}$ існує лише одне таке число $b\in \mathbb {R} ,$ більше від нуля, $b>0,$ що $b^{n}=a,$ тобто ${\sqrt[{n}]{a}}$ має лише одне додатне значення $b.$

Нехай $A$ - множина усіх додатних дійсних $\mathbb {R} _{+}$ чисел $z$ таких, що $z^{n}\leq a.$ дійсні числа, які задовільняють цій умові, існують. Зокрема, цю умову задовільняють усі раціональні числа, які містяться у інтервалі $(0,a),$ коли $a<1$ та у інтвервалі $(0,1),$ коли $a\geq 1.$ Множина $A$ є обмеженою згори числом $1,$ якщо $a<1,$ та числом $a,$ якщо $a\geq 1.$ Тому вона має у системі дійсних чисел точну верхню грань.

Нехай $b=\sup(A).$ Запевнимося у тому, що $b^{n}=a.$ Зробімо припущення про те, що $b^{n}<a.$ Тоді $a-b^{n}=\varepsilon >0.$ Для будь-якого додатного $r\leq 1$ за формулою бінома Н'ютона одержимо:

${\begin{matrix}(b+r)^{n}=b^{n}+nb^{-1}r+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-2}r^{2}+...+nbr^{n-1}+r^{n}=b^{n}+r[nb^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-2}r+...+nbr^{n-2}+r^{n-1}]\leq b^{n}+r[nb^{n-1}+{\frac {(n(n-1))}{1\cdot 2}}]b^{n-2}+...+nb+1=\\=b^{n}+r[(1+b)^{n}-b^{n}].\end{matrix}}$

Оберімо число $r$ таким чином, щоб одначасно справджувалися нерівності $r\leq 1$ та $r<{\frac {\varepsilon }{(1+b)^{n}-b^{n}}}.$ Тоді одержимо $(b+r)^{n}\leq b^{n}+r[(1+b)^{n}-b^{n}]<b^{n}+\varepsilon =a,$ тобто $(b+r)^{n}<a,$ а це суперечить тому, що $b$ є точною верхньою гранню множини $A.$ Відповідно, $b^{n}\geq 0.$

Припустімо тепер, що $b^{n}>a,$ тоді $b^{n}-a=\varepsilon >0.$ Для будь-якого додатного $\delta \leq 1$ одержуємо

${\begin{matrix}(b-\delta )^{n}=b^{n}-nb^{n-1}\delta +{\frac {(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-2}\delta ^{2}+...+(-1)^{n-1}b\delta ^{n-1}+(-1)^{n}\delta ^{n}=\\=b^{n}-\delta [nb^{n-1}-{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-1}\delta +...+(-1)^{n-1}b\delta ^{n-2}+(-1)^{n}\delta ^{n-1}]\geq b^{n}-\delta [nb^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-1}+...+b+1]=b^{n}-\delta [(1+b)^{n}-b^{n}].\end{matrix}}$

Оберімо число $\delta$ таким чином, щоб одночасно виконувалися нерівності $\delta \leq 1$ та $\delta <{\frac {\varepsilon }{(1+b)^{n}-b^{n}}},$ тоді одержимо $(b-\delta )^{n}\geq b^{n}-\delta [(1+b)^{n}-b^{n}]\geq b-\varepsilon =a,$ тобто $(b-\delta )^{n}>a,$ а це знову суперечить тому, що $b=\sup(A).$ Відповідно, $b^{n}=a.$

Таким чином, корінь ${\sqrt[{n}]{a}}=b$ існує. Але чи є він єдиним для $b$? Жодне відмінне від $b$ додатне дійсне число $b_{1}$ не може бути коренем степені $n$ з числа $a,$ оскільки якщо $b_{1}\neq b,$ то й $b_{1}^{n}\neq b^{n}$ та, відповідно, $b_{1}^{n}\neq a.$

Додатний дійсний корінь степені $n$ з додатного дійсного числа $a$ називається арифметичним значенням кореня степені $n$ з числа $a.$ Якщо $n$ - парне число, то окрім арифметичного значення $b$ існує також (лише одне) від'ємне значення $-b$ кореня степені $n$ з дійсного числа $a>0.$ Справді, за парного $n$ одержуємо $(-b)^{n}=[(-b)^{2}]^{\frac {n}{2}}=(b^{2})^{\frac {n}{2}}=b^{n}=a,$ тобто $-b$ є коренем степені $n$ з числа $a.$ Жодне інше від'ємне число не може бути коренем степені $n$ з числа $a,$ оскільки якщо $b_{1}<0$ та $b_{1}\neq -b,$ то й $b_{1}^{n}\neq (-b)^{n}=a.$

У випадку непарності $n$ корінь ${\sqrt[{n}]{a}}$ від'ємних значень не має, оскільки за непарного $n$ з нерівності $b_{1}<0$ слідує нерівність $b_{1}^{n}<0.$ Таким чином, кожна рівність виду $x^{n}=a$ за $a>0,$ зокрема, й рівність $x^{2}=a$ (відшукання такого $x,$ за якого справджувалася б дана рівність, здійснюється у системі дійсних чисел $\mathbb {R}$). За парного $n$ одержуємо два рішення: ${\sqrt[{n}]{a}}$ та $-{\sqrt[{n}]{a}},$ а за непарного $n$ - одне рішення ${\sqrt[{n}]{a}}.$

Послідовності

Розбиттям називається довільна (скінченна) послідовність $a=(a_{1},a_{2},...,a_{k},...)$ цілих невід'ємних чисел, розташованих у несуворому порядку спадання, тобто $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{k}\geq ...\,.$ Ця послідовність має лише скінченне число ненульових членів; розбиття $(3,2,1),\,\,(3,2,1,0),\,\,(3,2,1,0,0,0,...)$ є одним і тим самим розбиттям. Ненульові члени $a_{i}$ називаються частинами розбиття $a.$ Число частин розбиття називається його довжиною й позначається $\mathrm {card} (I),$ а сума усіх частин - вагою розбиття й позначається $\sum _{i}a_{i}=a_{1}+a_{2}+...\,.$

Числовою послідовністю називається функція $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,$ яка ставить у відповідність кожному натуральному числу $n\in \mathbb {R}$ у відповідність число $a\in \mathbb {R} .$ Послідовність позначають $(a_{n}),$ або $\{a_{i}\},$ або $a_{1},a_{2},...,a_{k},...,$ або ж $a=f(n),$ де $n\in \mathbb {N} .$ Якщо послідовність є скінченною, використовують також запис $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},$ яку називають сім'єю, де $i\in I$ називається лічильником (індексом), а $n=\mathrm {card} (I)$ - чисельністю елементів послідовності.

Проміжком $[a,b],$ де $a<b,$ називається сукупність усіх дійсних чисел $x,$ зосереджених між $a$ та $b,$ включно із кінцевими точками $a$ та $b$, тобто $a\leq x\leq b.$ Точки проміжку, відмінні від початкової й кінцевої, називаються внутрішніми. Довжиною проміжку $[a,b]$ називається різниця $b-a$ (довжина проміжку - завжди додане число). Центр проміжку $[a,b]$ - це число (точка) ${\frac {a+b}{2}}.$ Вираз $|a-b|$ називається відхиленням, або відстанню, точки $a$ від точки $b$ (або точки $b$ від точки $a$). Зрозуміло, що за будь-яких $a$ та $b$ справджується нерівність $|a-b|\geq 0.$

Околом $U$ точки $x$ називається сукупність внутрішніх точок будь-якого проміжку, для якого $x$ є внутрішньою точкою. Чаcтіше за все доводиться мати справу із околами, для яких дана точка є центром. Під $\varepsilon$-околом точки $x$ розуміють сукупність точок, відстань яких від точки $x$ є меншою ніж $\varepsilon$; щоб точка $y$ належала до $\varepsilon$ околу точки $x,$ необхідно та достатньо, щоб справджувалася наступна пропозиція $(y-x<\varepsilon )\land (-(y-x)<\varepsilon ),$ яка є рівносильною виконанню однієї подвійної нерівності $x-\varepsilon <y<x+\varepsilon .$

Якою б не була обмежена нескінченна послідовність $(a_{n})=a_{1},a_{2},...,a_{n},...,$ завжди існує принаймні одна точка $x,$ яка має таку властивість, що у наскільки завгодно малому (по довжині) околі $U$ міститься нескінченна множина точок послідовності $(a_{n}).$ Метафорично це значить, що якщо у скінченному числі ящиків міститься нескінченна множина предметів, то хоча б у одному ящику виявиться нескінченна множина цих предметів. Якщо серед чисел $a_{n}$ будуть зустрічатися від'ємні, то будемо записувати їх у вигляді десяткових дробів із від'ємними характеристиками й додатними мантисами, зокрема, $-4,52038...={\bar {5}},47961...\,.$ Усі числа розбиваються на класи в залежності від характеристики, тобто по тому, яке число цілих одиниць стоїть відповідному записі ліворуч від коми. Чисельність таких класів є скінченною, відтак послідовність $(a_{n})$ є обмеженою, і тому усі числа $a_{n}$ зосереджені між двома числами $m$ та $k,$ тобто $m<a_{n}<k,$ де $n=1,2,3,...\,.$ Вважаймо числа $m$ та $k$ цілими. Тоді класів ("ящиків") буде стільки ж, скільки різних характеристик

$m,\,m+1,\,m+2,...,k-1,$

а саме $k-m.$ Оскільки множина членів послідовності $(a_{n})$ є нескінченною, то хоча б у одному з класів їх виявиться нескінченна множина. Іншими словами, серед чисел $m,\,m+1,\,m+2,...,k-1$ віднайдеться таке число $r,$ що нескінченна множина членів послідовності $(a_{n})$ мають характеристику $r,$ тобто задовільняють нерівності $r<x\leq r+1.$

Множина усіх натуральних чисел $m,$ які не перебільшують декотре натуральне число $n,$ символічно $m<n,$ називається початковим відрізком натурального ряду й позначається $[1,n].$ Якщо за деяким правилом кожному натуральному числу $n$ поставити у відповідність декотрий елемент $a_{n}\in A,$ то одержимо послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ елементів множини $A.$ Якщо послідовність задана лише на множині натуральних чисел, які належать до відрізку $[1,n],$ то вона називається скінченною послідовністю.

Розгляньмо індуктивний спосіб задання послідовності. Нехай задані члени послідовності $a_{1},a_{2},...,a_{n}.$ Співвідношення між усіма або декотрими з членів цієї послідовності, які дозволяють обчислити наступний член $a_{n+1}$ цієї послідовності, називаються рекурентними (лат. recurrens - повернення) визначальними співвідношеннями. Таким чином, щоб обчислити який-небудь член послідовності, необхідно перш за все обчислити усі або декілька передуючих йому членів цієї послідовності. Задання послідовності за допомогою рекурентних визначальних співвідношень називається індуктивною побудовою цієї послідовності.

Арифметичною прогресією називається послідовність чисел, кожне з яких, починаючи із другого числа, одержується з попереднього додаванням до нього сталого числа $d,$ який називається різницею арифметичної прогресії. Якщо перший член арифметичної прогресії $a_{1},$ то вона має вид

$a_{1},\,a_{1}+d,\,a_{1}+2d,...,a_{1}+nd,...\,.$

Наприклад, послідовність чисел Фібоначчі визначається шляхом задання двох її перших членів $a_{1}=a_{2}=1$ та рекурентним співвідношенням $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}.$ Таким чином, одержимо послідовність: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...\,.$

Сума перших $n$ членів арифметичної прогресії визначається наступною рівністю:

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n=(a_{1}+{\frac {d(n-1)}{2}})n.$

Геометричною прогресією називається послідовність чисел, кожне з яких, починаючи з другого числа, дорівнює попередньому, помноженому на декотре стале для даної геометричної прогресії число $q,$ яке називається знаменником прогресії. Якщо перший член геометричної прогресії $a,$ то вона має вид

$a,\,aq,\,aq^{2},\,...,aq^{n},...\,.$

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо значення знаменника цієї прогресії є більшим від одиниці, тобто $q>1,$ та спадною, якщо $q<1.$ Наприклад, якщо $q=2$ та $a=5,$ то одержимо геометричну прогресію $5,\,10,\,20,\,40,\,80,...\,.$ Якщо $q{\frac {1}{3}}$ та $a=3,$ тоді одержимо спадну послідовність $3,\,1,\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},...\,.$

Сума $n$ перших членів геометричної прогресії визначається за формулою $S_{n}={\frac {a-aq^{n}}{1-q}}.$

Таким чином, при заданих рекурентних визначальних співвідношеннях, які однозначно визначають член послідовності $a_{n},$ якщо усі члени $a_{m}$ за $m<n$ задані і задовільняють заданим співвідношенням, то існує лише одна така послідовність $(a_{n}),$ члени якої задовільняють рекурентним співвідношенням.

Зокрема, на кожному відрізку $[1,n]$ існує лише одна така послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n}.$ Розмірковуймо індуктивно. Для відрізка $[1,1]$ це твердження є вірним, оскільки послідовність у цьому випадку складається лише з одного члена $a_{1},$ який не має передуючих членів і тому заданий безпосередньо. Нехай твердження є вірним для усіх відрізків $[1,m]$ за $m<n,$ тоді це твердження буде вірним й для відрізку $[1,n],$ оскільки послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}$ одерджується із послідовності $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}$ шляхом приєднання до неї останнього члена $a_{n},$ який за умовою однозначно визначаєть через передуючі члена за допомогою даних рекурентних співвідношень. Таким чином, для відрізка $[1,n]$ існує лише одна послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n}.$ Ця послідовність визначена на відрізку $[1,n]$ і таким чином визначена на кожному відрізку $[1,m],$ де $m<n$; усі її члени також задовільняють заданим рекурентним співвідношенням і тому співпадають із відповідними членами послідовності, яка задана на відрізку $[1,m].$

Нехай тепер число $r$ виражається нескінченним дробом $r=i_{1}i_{2}...i_{n}...\,.$ У будь-якому околі цього числа міститься нескінченна множина точок послідовності $(a_{n}).$ Оберімо наскільки завгодно малий окіл точки $r,$ тобто наскільки завгодно малий проміжок, який містить всередині точку $r.$ Позначмо довжину цього проміжку через $2\varepsilon ,$ одержимо $\varepsilon$-окіл точки $r$:

$|x-r|<\varepsilon ,$ або $r-\varepsilon <x<r+\varepsilon .$

Десяткові дроби рангу $n$ утворюють арифметичну прогресію із різницею $10^{-n}.$ Якщо $\varepsilon >10^{-n}\Leftrightarrow n>\lg {\frac {1}{\varepsilon }},$ то $\varepsilon$-окіл точки $r$ містить два найближчих до $r$ дроби $i_{1}i_{2}i_{3}....i_{n}$ та $i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n}+10^{-n},$ а відповідно, містить й утворений ними проміжок $(i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n},\,\,i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n}+10^{-n}).$ Оскільки у цьому проміжку міститься нескінченна множина членів послідовності $(a_{n}),$ то це саме справджується й відносно розглядуваного $\varepsilon$-околу точки $r.$

Будь-яка точка, що має властивість, за якою у будь-якому її околі міститься нескінченна множина точок послідовності $(a_{n}),$ називається граничною точкою цієї послідовності. Наприклад, граничною точкою послідовності $({\frac {1}{n}})\equiv 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$ є точка $0.$ Зобразимо цю послідовність $(a_{n}).$

Послідовність $(\cos n\pi )\equiv ((-1)^{n})\equiv -1,\,1,\,-1,\,1,\,-1,...$ має дві граничні точки: $1$ та $-1.$

Ще у античні часи математик Евдокс Кнідський (408 р. до н.е.) розробив відомий нині метод вичерпування (таку назву метод одержав у 17 ст.), який застосовувався стародавніми людьми для доведення теорем, пов'язаних із обчисленням площ, об'ємів та інших величин. Метод вичерпування вважається першим варіантом теорії границь, і його суть полягає у наступному. Уявімо собі, що необхідно обчислити площу декотрої фігури, тобто віднайти величину $a.$ До цієї фігури вписувалися інші фігури із заздалегідь відомими площами, внаслідок чого одержували скінченну монотонну послідовність $a_{1}<a_{2}<...<a_{n},$ причому

$a-a_{1}<{\frac {a}{2}},\quad a-a_{2}<{\frac {a-a_{1}}{2}}<{\frac {a}{4}},\quad ...,\quad a-a_{n}<{\frac {a}{2^{n}}}.$

В основі методу знаходилася наступна теорема. Нехай дані величини $a$ та $b,$ для яких $a>b.$ Якщо відняти від величини $a$ більше її половини, а з остачі більше її половини й продовжити так необмежено, то після декотрого скінченного числа застосування операцій одержиться лишок $a_{n}<{\frac {a}{2^{n}}}\leq b.$ Це значить, що границя $a_{n}$ дорівнює $0.$

За великого значення $n$ різниця $a-a_{n}$ може бути менше будь-якої величини $b.$ Відшукувалася границя послідовності $a_{n},$ тобто таке число $b,$ за якого різниця $b-a_{n}$ ставала наскільки завгодно малою. Завершувалося віднаходження величини $a$ доказом того, що $a=b.$ На мові термінології сучасного елементарного аналізу можна сказати, що стародавні люди доводили, що з рівностей $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ та $\lim _{n\to \infty }a_{n}=b$ слідувало $a=b.$

Якщо послідовність $(x_{n})$ має одну граничну точку $x,$ a $(y_{n})$ - єдину точку $y,$ причому $x\neq y,$ то послідовність $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3},...$ має дві граничні точки: $x$ та $y.$ У випадку $x=y,$ то ця послідовність має лише одну граничну точку, саме $x=y.$ Наприклад, послідовність ${\frac {1}{1}},\,{\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{2}},\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {1}{5}},\,{\frac {2}{5}},...\,.$

Точка $a$ є граничною точкою даної множини $A,$ якщо у будь-якому її наскільки завгодно малому околі $U\subset A$ міститься хоча б одна точка множини $A,$ відмінна від точки $a.$ Справді, якщо у будь-якому околі точки $a$ міститься хоча б одна точка даної множини $A,$ то вірним є й те, що у будь-якому околі їх міститься скільки завгодно. Наприклад, нехай $(a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon )$ є $\varepsilon$-околом точки $a.$ Оберімо у цьому околі точку $a_{1}\in A,$ підпорядковуючи $\varepsilon _{1}$ умові $\varepsilon _{1}<|a_{1}-a|.$ Оберімо у цьому $\varepsilon _{1}$-околі $(a-\varepsilon _{1},\,a+\varepsilon _{1})$ нову точку $a_{2}\in A,$ відмінну від точки $a$; потім візмімо $\varepsilon _{2}$-окіл цієї ж точки $a,$ підпорядковуючи його умові $\varepsilon _{2}<|a_{2}-a|.$ У одержаному околі $(a-\varepsilon _{2},\,a+\varepsilon _{2})$ оберімо третю точку $a_{3}\in A,$ відмінну від $a$ тощо.

За теоремою Больцано-Вейерштрасса, будь-яка обмежена нескінченна послідовність $(a_{n})$ має принаймні одну граничну точку.

Якщо обмежена послідовність має лише одну граничну точку, то ця точка називається границею послідовності. Якщо ж обмежена послідовність має більше однієї граничної точки, то говорять, що послідовність не має границі.

Якщо точка $a$ є не лише граничною точкою, але й границею обмеженої послідовності $(a_{n}),$ то вірним є не лише те, що у будь-якому околі точки $a$ лежить нескінченна множина точок послідовності, але й те, що у будь-якому околі точки $a$ лежать майже усі точки послідовності. Розгляньмо $\varepsilon$-окіл точки $a.$ Вважаючи, що усі точки послідовності $(a_{n})$ зосереджені між $m$ та $k,$ можна зробити припущеня, що $\varepsilon <k-a$ та $\varepsilon <a-m,$ відтак проміжок $[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon ]$ лежить всередині проміжку $(m,k).$ Міркуймо тепер протилежно: усі точки послідовності $(a_{n})$ зосереджені у проміжку $[m,k],$ і якщо було б невірним, що "майже усі" вони лежать у проміжку $[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon ],$ то це означало б, що нескінченна їх множина лежить у парі проміжків $[m,\,a-\varepsilon ]$ та $[a+\varepsilon ,\,k],$ та, відповідно, лежить хоча б у одному з них, наприклад, у проміжку $[m,\,a-\varepsilon ].$ Однак за теоремою Больцано-Вейерштрасса звідси слідувало б, що послідовність $(a_{n})$ має граничну точку у проміжку $(m,\,a-\varepsilon ),$ а це неможливо, оскільки за умовою $a$ є єдиною граничною точкою послідовності. Таким чином, приходимо до висновку, що "майже усі" точки послідовності лежать у проміжку $[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon ].$

Навпаки, якщо у будь-якому околі точки $A$ лежать "майже усі" точки нескінченної послідовності $(a_{n}),$ то з цього слідує, що $a$ є єдиною граничною точкою цієї послідовності. Розмірковуймо протилежно. Нехай, окрім точки $a,$ є ще одна гранична точка $b.$ Припустімо, що $b>a.$ Оскільки $b$ є граничною точкою, то у будь-якому її $\varepsilon$-околі міститься нескінченна множина точок послідовності. У $\varepsilon$-околі точки $a$ містяться "майже усі" точки послідовності. Обравши значення $\varepsilon$ таким, яке задовільняло б нерівності $\varepsilon <{\frac {b-a}{2}},$ одержимо, що $a+\varepsilon <b-\varepsilon .$ Два $\varepsilon$-околи не перетинаються, відтак ми одержали суперечливість.

Коли говорять, що "майже усі" точки послідовності зосереджені у декотрому $\varepsilon ,$ то мають на увазі, що лише скінченне їх число знаходиться поза цим проміжком. Кожний з цих членів послідовності має власний індекс, і якщо множина членів є скінченною, то й серед індексів є найбільший індекс. Позначмо цей найбільший індекс символом $N.$ Він залежить від обраного околу точки $a,$ тобто залежить від числа $\varepsilon$; щоб підкреслити цю обставину, іноді записують $N_{\varepsilon }.$ Таким чином, серед членів послідовності $(a_{n}),$ у яких індекс $n\leq N,$ одні з них, можливо, співпадають у $\varepsilon$-околі точки $a,$ а інші опиняються поза цим околом; однак якщо $n>N,$ то можна впевнено стверджувати, що відповідний член $a_{n}$ знаходиться у $\varepsilon$-околі.

Таким чином, число $a$ називається границею числової послідовності $(a_{n})=a_{1},a_{2},...,a_{n},...,$ якщо, яким б не було малим заздалегідь задане число $\varepsilon ,$ можна вказати таке число $N\equiv N_{\varepsilon },$ що нерівність $n>N$ тягне за собою нерівність $|a_{n}-a|<\varepsilon .$ Іншими словами, число $a$ буде границею послідовності $(a_{n}),$ якщо відхилення члена послідовності $a_{n}$ від $a$ робиться наскільки завгодно малим за умови, що індекс $n$ члена є достатньо великим. Якщо задати який-небудь окіл $\varepsilon$ точки $a,$ то усі члени послідовності $a_{n},$ починаючи з індексу $N+1,$ задовільняють нерівності $a_{n}<a+\varepsilon .$ Серед скінченного числа $a_{1},a_{2},...,a_{N}$ можна обрати найбільший; зокрема, позначаючи через $k$ довільне число, для якого $a_{N}<k$ та $a+\varepsilon <k,$ одержимо за усіх значень $n$ нерівність $a_{n}<k,$ звідки слідує обмеженість згори. Таким самим чином можна встановити обмеженість знизу.

Наприклад, для послідовності $a_{n}={\frac {1}{n}}\equiv 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$ нерівність $|a_{n}|<\varepsilon$ справджується за $n>{\frac {1}{\varepsilon }},$ тому в якості $N$ можна взяти довільне число, яке є не меншим від ${\frac {1}{\varepsilon }}.$

Якщо послідовність $(a_{n})$ не має кінцевих граничних точок, то $\lim |a_{n}|=\infty .$

Арифметична прогресія ($a+(n-1)d$) має границю $\infty$ чи $-\infty ,$ в залежності від того, буде $d>0$ чи $d<0.$

Геометрична прогресія $(q^{n})$ має границю $\infty$ за $q>1,$ і не має границі за $1<-1$ (у цьому випадку, звичайно, $\lim |q|^{n}=\infty$). У випадку, коли $|q|<1,$ то за необмеженого числа членів (тобто за прямування $n$ до нескінченності, тобто $n\to \infty$) сума прямує до певної границі $S={\frac {a}{1-q}},$ що записується наступним чином: $a+aq+aq^{2}+...+aq^{n}+...={\frac {a}{1-q}}.$

Послідовність $(x_{n})$ дійсних чисел називається збіжною, якщо існує дійсне число $y$ та для довільного $\varepsilon >0$ існує натуральне число $m$ таке, що для усіх $n>m$ справджується рівність $|x_{n}-y|<\varepsilon .$ При цьому число $y$ називається границею послідовності $(x_{n})$ й пишуть $\lim _{n\to \infty }x_{n}=y$ чи $x_{n}\to y$ за $n\to \infty .$ Це можна висловити за допомогою наступної пропозиції:

$\exists a\in \mathbb {R} \land \forall \varepsilon >0\,\exists m\in \mathbb {N} \,:\,\forall n>m\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon .$

Якщо послідовності $(x_{n})$ та $(y_{n})$ дійсних чисел збігаються та $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ й $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b,$ то

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b,\quad \lim _{n\to \infty }x_{n}y_{n}=ab,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$

для усіх $n\in \mathbb {N} ,$ за $y_{n}\neq 0$ та $b\neq 0.$

Якщо послідовність $(a_{n})$ є обмеженою, то можна вказати таку зростаючу послідовність цілих додатних чисел $(m_{n}),$ що послідовність $(a_{m_{n}})$ буде мати границю. За теоремою Больцано-Вейерштрасса послідовність $(a_{n})$ має хоча б одну граничну точку, наприклад $a.$ За визначенням граничної точки, у будь-якому $\varepsilon$-околі точки $a$ міститься точка послідовності $(a_{n}).$ Нехай $(\varepsilon _{n})$ є послідовністю додатних спадних чисел, яка збігається до нуля. Для кожного $\varepsilon _{n},$ де $n=1,2,3,...,$ можна підібрати член даної послідовності $a_{m_{n}},$ який міститься у $\varepsilon _{n}$-околі точки $a,$ тобто $|a_{m_{n}}-a|<\varepsilon _{n}.$ Підбираючи члени послідовності $(a_{m_{n}})$ один за другим, можна зробити так, що кожний наступний індекс $m_{n+1}$ буде більшим від попереднього $m_{n}.$ Таким чином, $a_{m_{n}}\to a.$ Відтак з будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну послідовність.

Перехід до границі можна розглядати як деяку операцію. Як і у випадку арифметичних операцій, за переходу до границі по даним числам $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ складається нове число $a=\lim a_{n}.$ Як і у арифметичних операціях, за переходу до границі з даних чисел $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ однозначно складається число $a.$ Для накладання необхідно та достатньо, щоб кожний образ мав хоча б один прообраз. Однак операція переходу до границі не завжди можлива, оскільки не усі послідовності можуть мати границю. Крім того, даних чисел не два (як у випадку бінарних операцій додавання чи множення з двома аргументами), а нескінченна множина; збіжна послідовність залишається збіжною, а розбіжна - розбіжною, в результаті відкидання, добавляння чи заміни скінченного числа членів послідовності. Справді, якщо точка $a$ є єдиною граничною точкою послідовності $(a_{n}),$ то вона буде єдиною й для видозміненої вказаним способом послідовності.

Відкидати можна й нескінченну множину членів послідовності. Нехай $(m_{n})\equiv m_{1},m_{2},...,m_{n},...$ - декотра зростаюча послідовність цілих додатних чисел. Якщо границя послідовності $(a_{n})$ існує, тобто $a_{n}\to a,$ то існує підпослідовність $(a_{m_{n}})$ із границею $a_{m_{n}}\to a,$ рівною границі $a_{n}\to a.$ Справді, оскільки послідовність $(a_{n})$ має границю $n$ (і є, відповідно, обмеженою), то це означає, що $a$ є єдиною граничною точкою цієї послідовності. Оскільки усі члени послідовності $(a_{m_{n}})$ містяться у послідовності $(a_{n}),$ то й послідовність $(a_{m_{n}})$ також обмежена і не може мати відмінних від $a$ граничних точок. За теоремою Больцано-Вейерштрасса послідовність $(a_{m_{n}})$ повинна мати хоча б одну граничну точку. Відтак $a$ є єдиною граничною точкою підпослідовності $(a_{m_{n}}),$ тобто границю цієї послідовності.

Послідовність $(a_{n})$ має границю $\infty$ ($a_{n}$ прямує до нескінченності), якщо, яким б не було заздалегідь відоме число $k,$ можна вказати таке число $N\equiv N_{k},$ що нерівність $n>N$ тягне за собою нерівність $a_{n}>k.$ Інакше кажучи, послідовність має границю $\infty ,$ якщо її член $a_{n}$ стає наскільки завгодно великим в залежності від достатньо великого індексу. При цьому пишуть $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ чи $a_{n}\to \infty .$

Аналогічно, послідовність $(a_{n})$ має границю $-\infty ,$ якщо, яким б не було заздалегідь відоме число $k,$ можна вказати таке число $N\equiv N_{k},$ за якого нерівність $n>N$ тягне за собою нерівність $a_{n}<-k.$ При цьому пишуть $\lim _{n\to -\infty }a_{n}$ чи $a_{n}\to -\infty .$

Наприклад, послідовність натуральних чисел $(n)$ має єдину граничну точку, тобто $\infty .$ Так само послідовність $(n^{m})$ за $m>0$ має єдину граничну точку $\infty .$

Послідовність $((-1)^{n+1}n)\equiv 1,-2,3,-4,5,-6,...$ має дві граничні точки: $\infty$ та $-\infty ,$ відтак не має границі.

У випадку нескінченних границь наступні теореми

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b,\quad \lim _{n\to \infty }x_{n}y_{n}=ab,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$

справджуються частково. При цьому справедливими є наступні теореми:

• $a_{n}\to \infty \land b_{n}>m\Rightarrow a_{n}+b_{n}\to \infty$;
• $a_{n}\to -\infty \land b_{n}<k\Rightarrow a_{n}+b_{n}\to -\infty$;
• $a_{n}\to \infty \land b_{n}>m>0\Rightarrow a_{n}b_{n}\to \infty$;
• $a_{n}\to 0\land |b_{n}|<k\Rightarrow a_{n}b_{n}\to 0$;
• $a_{n}\to \infty \land 0<b_{n}<k\Rightarrow {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to \infty$;
• $a_{n}\to 0\land |b_{n}|>m>0\Rightarrow {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to 0$;
• $|a_{n}|<k\land |b_{n}|\to \infty \Rightarrow {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to 0$;
• $|a_{n}|>m>0\land |b_{n}|\to 0\Rightarrow |{\frac {a_{n}}{b_{n}}}|\to \infty .$

У загальному випадку не можна дати однозначну відповідь на наступні запитання:

• якою буде різниця $a_{n}-b_{n}$ за $a_{n}\to \infty$ та $b_{n}\to \infty \,$?
• яким буде добуток $a_{n}b_{n}$ за $a_{n}\to \infty$ та $b_{n}\to 0\,$?
• якою буде частка ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ за $a_{n}\to \infty$ та $b_{n}\to \infty \,$?
• якою буде частка ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ за $a_{n}\to 0$ та $b_{n}\to 0\,$?

Відповіді на ці запитання залежать від конкретних послідовностей $(a_{n})$ та $(b_{n}).$

Міра Жордана

Вище були розглянуті множини з точки зору їх структури без кількісної характеристики. Нехай на прямій дана деяка обмежена множина $M$ та нехай є деякий еталон вимірювання (одиниця довжини) - прийнятий масштаб. Виникає запитання: що розуміти під довжиною тієї частини прямої, що зайнята множиною $M$? Побудуймо відрізок $[a,b],$ який включає у себе дану скінченну множину $M.$ Такий відрізок прямої для скіненної множини завжди існує. Нехай $a$ та $b$ - цілі числа. Довжиною довільного відрізка $[a,b],$ як й інтервалу $(a,b),$ будемо вважати різницю $b-a=k,$ де $k$ - ціле число. Розділимо відрізок $[a,b]$ на $k$ рівних частин та підрахуймо чисельність цих частин, що заповнені точками множини $M$ та скільки частин включають до себе хоча б одну точку множини $M.$ Наприклад, з наступного малюнку видно як точки множини $M$ зображені виступаючими мугами і червоними точками; число $k=6,$ тобто відрізок $[a,b]$ поділений на 6 частин.

Підрахуймо у даному масштабі загальну довжину частин відрізка $[a,b],$ суцільно заповнених точками множини $M$ (такі частини будемо називати заповненими). Позначмо цю загальну їх довжину $l.$ Підрахуймо також загальну довжину частин, які містять хоча б по одній точці множини $M$ (такі частини будемо називати включаючими, їх загальну довжину позначмо $L$). Іншими словами, $L$ дорівнює чисельності частин, що містять хоча б по одній точці множини $M,$ a $l$ дорівнює чисельності частин, які суцільно (повністю) заповнені точками множини $M.$ Зрозуміло, що число включаючих частин повинні входити до заповнених частин. У нашому прикладі $l=0$ та $L=6,$ оскільки жодна частина не є суцільно заповненою, однак кожна частина містить хоча б одну точку множини $M.$

Розділімо кожну частину на $s$ рівних підчастин. Нехай $s=2,$ тобто кожна частина ділиться на дві підчастини.

Підрахуймо чисельність заповнених підчастин $L'$ та чисельність включаючих підчастин $l'.$ На малюнку лише одна підчастина є суцільно заповненою, тому $l'={\frac {1}{2}};$ кожна підчастина мітсить хоча б одну точку $M$ і тому $L'=12.$

Можна продовжувати процес розділення підчастин на $s$ рівних частин із підрахунком кожного разу загальної довжини заповнених підчастин та загальної довжини включаючих підчастин, в результаті чого отримаємо дві послідовності невід'ємних чисел: $l^{\prime },l^{\prime \prime },l^{\prime \prime \prime },...$ та $L^{\prime },L^{\prime \prime },L^{\prime \prime \prime },...$ тощо. Перша з цих послідовностей ($l$) називається верхньою послідовністю Жордана, друга ($L$) - нижньою послідовністю Жордана. Неважко помітити, що верхня послідовність Жордана є монотонною й може лише зменшуватися, а нижня монотонна й може лише зростати. Верхня послідовність Жордана при цьому обмежується знизу будь-яким числом, що входить до нижньої послідовності, а нижня послідовність Жордана обмежена згори довільним числом, що входить до верхньої послідовності. Це означає, що кожна з вказаних послідовностей має границю. Границі можуть співпадати чи неспівпадати. Верхня та нижня послідовності Жордана мають спільну границю лише коли послідовність $L_{n}\setminus l_{n},$ яка є різницею послідовностей $L_{n}$ та $l_{n},$ збігається до нуля. Таким чином, границя верхньої послідовності Жордана, що складається для множини $M,$ називається зовнішньою мірою множини $M$ за Жорданом й позначається $\mathrm {mes} ^{*}(M),$ а границя нижньої послідовності - внутрішньою мірою $M$ за Жорданом й позначається $\mathrm {mes} _{*}(M).$ У випадку, якщо внутрішня та зовнішня міри за Жорданом множини $M$ співпадають, то множина $M$ називається вимірюваною за Жорданом й значення її внутрішньої та зовнішньої мір за Жорданом $\mathrm {mes} (M)=\mathrm {mes} ^{*}(M)+\mathrm {mes} _{*}(M)$ називається мірою множини $M$ за Жорданом.

Теорема Кантора

Пригадаймо: що таке зліченність множин? Множина є зліченною, якщо її елементи множа поставити у взаємно однозначну відповідність натуральним числам $\{1,2,3,...\}$ (тобто занумерувати її елементи натуральними числами). Якщо множина скінченна й зліченна, то кажуть, що вона є не більш ніж зліченною. Наприклад, множина раціональних чисел є зліченною, оскільки для кожного додатного цілого $k$ існує лише скінченне число ($\leq 2k-1$) раціональних чисел ${\frac {p}{q}},$ які представлені у вигляді нескоротного дробу, у якому $|p|+q=k$ (тут $q>0,$ a $p$ та $q$ є взаємно простими). Занумеруймо спочатку числа, що відповідають $k=1,$ згодом $k=2$ тощо. Ми отримаємо послідовність, у якій кожне раціональне число зустрічається лише один раз.

Теорема Кантора полягає у тому, що для будь-якої послідовності $\{a_{n}\}$ дійсних чисел та для будь-якого інтервалу $I$ існує точка $p\in I,$ така, що $p\neq a_{n}$ за усіх $n.$ Наприклад, візмімо відрізок $I_{1}\subset I,$ такий, що $a_{1}\notin I_{1}.$ Потім відрізок $I_{2}\subset I_{1}$ такий, що $a_{2}\notin I_{2}.$ За індукцією оберемо $I_{n-1}$ відрізок $I_{n}$ такий, що $a_{n}\notin I_{n}.$ Отримана послідовність відрізків $I_{n}$ має непустий перетин, та якщо $p\in \bigcap _{n}I_{n},$ то $p\in I$ та $p\neq a_{n}$ за усіх $n.$ За такого роздуму ми нескінченно багато разів обираємо деякі відрізки, однак нічого не говориться про те, як здійснити такий вибір. Цього можна запобігти, якщо увести правило вибору. Можна, наприклад, ділити $I_{n-1}$ на три рівних один одному відрізки, а в якості $I_{n}$ брати перший ліворуч з них, який не містить точки $a_{n}.$ У такому випадку вибір є конкретно описаним і ми отримаємо цілком визначену функцію $(I,a_{1},a_{2},...)$, значеннями якої є точки інтервалу $I,$ відмінні від $a_{n}$ за усіх $n.$ Таким чином, жодний інтервал не є зліченною множиною.

Множина дійсних алгебричних чисел є зліченною. Число $n+\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|$ називається вагою полінома $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$ Для довільної ваги віднайдеться скінченне число поліномів, що мають дану вагу. Їх можна впорядкувати наприклад, за абетковим принципом (перш за все враховуючи степінь $n,$ потім величину $a_{0}$ тощо). Кожний поліном, який не є сталою, має вагу не менше $2.$ Оберімо спочатку усі поліноми ваги $2,$ потім ваги $3$ тощо, в результаті чого одержимо послідовність $f_{1},f_{2},...,$ у якій поліном степені $1$ й вище з'являється точно один раз. У кожного полінома може бути лише скінченне число дійсних коренів. Пронумеруймо корені $f_{1},$ потім корені $f_{2}$ тощо, пропускаючи ті, які вже зустрічалися раніше. Таким чином можна занумерувати усі алгебричні числа. Ця послідовність є нескінченною, оскільки до неї входять усі раціональні числа.

Властивості функцій

Функція $y=f(x)$ називається парною, якщо для усіх $x\in D(f)$ справджується рівність $f(-x)=f(x).$ Відповідно, функція називається непарною, якщо для усіх $x\in D(f)$ справджується рівність $f(-x)=-f(x).$

Функція є періодичною із періодом $T=0,$ якщо для усіх $x\in D(f)$ справджується рівність $f(x+T)=f(x).$

Функція $f(x)$ є зростаючою на деякому проміжку, якщо за будь-яких $x_{1}<x_{2}$ справджується нерівність $f(x_{1})<f(x_{2}).$ Відповідно, функція $y=f(x)$ є спадною, якщо за нерівності $x_{1}<x_{2}$ справджується нерівність $f(x_{1})>f(x_{2}).$

Точка $x\in D(f)$ називається максимальною точкою неперервної функції $y=f(x),$ якщо вона є зростаючою на інтервалі $(x-a,\,x)$ та спадною на $(x,\,x+a),$ де $a\in \mathbb {R} .$ Точка $x$ називається мінімальною точкою неперервної функції $y=f(x),$ якщо вона є спадною на інтервалі $(x-a,\,x)$ й зростаючо на $(x,\,x+a),$ де $a\in \mathbb {R} .$ Максимальну й мінімальну точки називають також точками екстремуму функції $y=f(x).$

Дійсною функцією $f(x)$ дійсної змінної називається неперервною за $x=a,$ якщо для кожного $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$ таке, що $|f(a+h)-f(a)|<\varepsilon$ для $|h|<\delta .$ Суми й добутки неперервних функцій - знову неперервні функції. Оскільки сталі та функція $f(x)=x$ є всюди неперервними, то усі поліноми від $x$ є усюди неперервними функціями від $x.$

Теорема Коші. Нехай функція $f(x)$ є неперервною на відрізку $[a,b],$ причому $f(a)=A$ та $f(b)=B.$ Тоді яким б не було число $C,$ яке знаходиться між числами $A$ та $B,$ на відрізку $[a,b]$ віднайдеться принамні одна точка $x$ така, що $f(x)=C.$ Справді, нехай $A<B.$ Розгляньмо функцію $g(x)=f(x)-C,$ де $A<B<C.$ Функція $g(x)$ є неперервною на сегменті $[a,b],$ причому на кінцях цього відрізка функція $g(x)$ приймає значення протилежного знаку,

$g(a)=f(a)-C=A-C<0,\quad \quad g(b)=f(b)-C=B-C>0.$

Нехай числа $f(a)$ та $f(b)$ протилежні за знаком. Точка $x={\frac {a+b}{2}}$ ділить відрізок навпіл. Якщо $f(x)\neq 0,$ то один з відрізків $[a,x]$ або $[x,b]$ буде таким, що у його кінцях значення функції мають різні знаки. Позначмо цей відрізок $[a_{1},b_{2}]$ та розділимо його навпіл точокою $x_{1}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}.$ Нехай $f(x_{1})\neq 0,$ тоді один з відрізків $[a_{1},x_{1}]$ чи $[x_{1},b_{1}]$ буде таким, що у його кінцях значення функції $f(x)$ мають різні знаки. Позначмо цей відрізок $[a_{2},b_{2}]$ й розділимо його навпіл: $x_{2}={\frac {a_{2}+b_{2}}{2}}.$ Продовжуючи цей процес на черговому етапі міркувань ми або зустрінемо точку $x\in (a,b),$ для якої $f(x)=0,$ або отримаємо нескінченну послідовність вкладених один в одного відрізків, довжини яких збігаються до нуля: $[a,b]\supset [a_{1},b_{1}]\supset ...\supset [a_{n},b_{n}],$ тобто $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{2^{n}}}=0,$

і на кінцях кожного з яких функція $f(x)$ має значення різних знаків. Функція $f(x)$ неперервна у точці $x$ та через стійкість знаку неперервної функції знайдеться такий інтервал $(x-\delta ,x+\delta ),$ у якому $f(x)$ зберігає знак. Оскільки $x=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n},$ то $n$ можна взяти настільки великим, що відрізок $[a_{n},b_{n}]$ буде міститися у інтервалі $(x-\delta ,x+\delta ),$ і тому числа $f(a_{n})$ та $f(b_{n})$ будуть однакового знаку. Однак по побудові відрізків $[a_{n},b_{n}]$ за будь-якого $n$ числа $f(a_{n})$ та $f(b_{n})$ є протилежними за знаком. Одержана суперечливість доказує, що припущення $f(x)\neq 0$ є невірним. Відповідно, $f(x)=0,$ де $a<x<b$ (точка $x\in [a,b]$ не може співпадати ні з точкою $a,$ ні з точкою $b,$ оскільки $f(a)\neq 0$ та $f(b)\neq 0$). У інтервалі $(a,b)$ віднайдеться така точка $x,$ що $g(x)=f(x)-C=0,$ тобто $f(x)=C.$

Теорема Вейерштрасса. Функція $f(x),$ неперервна для $a\leq x\leq b$ і така, що $f(a)<0$ та $f(b)>0,$ має корінь між $a$ та $b.$ Запевнимося у цьому, розглянувши $\sup(A)$ верхню грань множини $A$ усіх $x,$ які знаходяться між $a$ та $b,$ для яких $f(x)<0.$ Існують три наступні можливості. 1. $f(\sup(A))>0.$ Тоді перш за все $\sup(A)>a,$ і існує $\delta >0$ таке, що для $0<h<\delta$ одержимо

$|f(\sup(A)-h)-f(\sup(A))|<f(\sup(A)),\quad \quad f(\sup(A))-f(\sup(A)-h)<f(\sup(A)),$

тобто $f(\sup(A)-h)>0$ та $f(x)>0$ для усіх $\sup(A)-\delta <x\leq \sup(A).$

2. $f(\sup(A))<0.$ У цьому випадку $\sup(A)<b$ та існує $\delta >0$ таке, що для $0<h<\delta$ одержимо

$f(\sup(A)+h)-f(\sup(A))<-f(\sup(A)),\quad \quad f(\sup(A)+h)<0.$

Тому $\sup(A)$ не є верхньою границею множини $A.$ Таким чином, цей випадок також неможливий.

3. $f(\sup(A))=0$ - єдиний випадок, який ще залишився. Відповідно, $\sup(A)$ є коренем $f(x).$

Ці міркування є основними у теоремах про дійсні корені алгебричних рівнянь.

Класифікація функцій

У елементарній математиці вивчаються дії додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня й вилучення квадратного кореня, логарифмування й відшукання значень тригонометричних й зворотних тригонометричних функцій (синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу, косекансу, арксинусу, арккосинусу, арктангенсу, арккотантенсу, арксекансу, арккосекансу). Ці дії називаються елементарними. Елементарні дії діляться на алгебричні й елементарні трансцендентні. Додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до цілого степеня й вилучення квадратного кореня називаються алгебричними діями. Операції піднесення до степеня й вилучення квадратного кореня є частковими випадками однієї і тої самої операції - піднесення до раціонального степеня. Піднесення до іраціонального степеня, логарифмування та знаходження значень тригонометричних й зворотних тригонометричних функцій називаються елементарними трансцендентними діями. Елементарні дії можуть виконуватися у певній послідовності над даними числами й літерами - аргументами, тобто літерами, які можуть приймати різні чисельні значення. За допомогою елементарних дій задаються також елементарні функції.

Функція є елементарною, якщо її значення можуть бути отримані із значень аргументів та констант за виконання скінченного числа елементарних дій. Інші елементарні функції можна одержати з констант й основних елементарних функцій за допомогою певного числа елементарних дій. Запис тих елементарних дій, що необхідно виконати, щоб отримати відповідні значення елементарної функції, називаються елементарним аналітичним виразом. Елементарні аналітичні вирази класифікуються на алгебричні й трансендентні. Вираз, що складається з аргументів та чисел (які позначені цифрами чи літерами) за допомогою лише алгебричних дій, називають алгебричними; вирази, що складаються з аргументів та чисел за допомогою елементарних дій, у числі яких є елементарні трансцендентні дії над аргументами, називаються елементарними трансенднетними. Наприклад, вираз ${\frac {ax^{2}-by}{x-y}}+3xy$ є алгебричним, а вираз ${\frac {ax{\sqrt {2}}-3^{x}}{bx^{2}}}$ є трансцендентним.

Алгебричний вираз називається раціональним, якщо він не містить дії піднесення до раціонального степеня. Алгебричний вираз, що містить дію вилучення кореня (тобто піднесення до раціонального степеня) з аргумента, називається іраціональним. Раціональний вираз, що не містить дії ділення на вирази, до складу яких входять аргументи, називається цілим раціональним виразом чи поліномом. Раціональний вираз є дробним, якщо він містить дії ділення на вирази, до складу яких входять аргументи. Наприклад, вираз $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-{\sqrt {2}}xyz$ є цілим раціональним, а вираз ${\frac {ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}{x+y+z}}+{\sqrt {3}}xyz$ є дробним. Вирази ж ${\frac {k{\sqrt {x}}+bz}{xz-y}}+3xyz$ та $ax^{2}-b{\sqrt {y}}+2z$ є іраціональними.

Елементарні функції діляться на алгебричні й елементарні трансцендентні. Елементарні функції, що можуть задаватися за допомогою алгебричних виразів, називаються алгебричними; елементарні функції, які не є алгебричними, називаються елементарними трансцендентними. Інакше кажучи, елементарна трансцендентна функція - функція, яка задається за допомогою елементарного трансцендентного виразу й не може бути задана за допомогою алгебричного виразу.

Лінійна функція - функція, що задається рівністю $y=kx+b,$ де $b$ - ордината точки перетину із віссю $Oy,$ a $k=\tan \alpha ,$ де $\alpha$ - кут між прямою графіка й додатним напрямком осі абсцис.

Властивості лінійних функцій:

• область визначення $D(y)=(-\infty ,\,+\infty );$
• область значень $E(y)=(-\infty ,\,+\infty )$ для $k\neq 0$ та $E(y)=\{b\}$ для $k=0;$
• функція не є ні парною, ні непарною за $k\neq 0$ та $b\neq 0;$ є непарною за $k\neq 0$ та $b=0;$ є парною за $k=0$ та $b=0;$
• функціє є неперіодичною за $k\neq 0;$ функція періодична за $k=0,$ періодом є будь-яке число $T\neq 0;$
• функція зростаюча на $D(y)$ за $k>0$ та спадна на $D(y)$ за $k<0,$ а також стала за $k=0;$
• функція не містить точок екстремумів;
• над лінійними функціями визначені усього три геометричні операції: перенесення, поворот та гомотетія.

Графіки лінійних функцій

$y=2x+1$	$y=-2x+1$	$y=2x$	$y=1$
$k>0,\,\,\,b\neq 0$	$k<0,\,\,\,b\neq 0$	$k>0,\,\,\,b=0$	$k=0,\,\,\,b\neq 0$

Квадратична функція - функція, що може бути задана рівністю $y=ax^{2}+bx+c,$ де $a\neq 0.$ Тут $c$ є ординатою точки перетину із віссю $Oy,$ $a$ та $b$ визначають координати вершин функції на графіку (яка представляється параболою) - точки $(x_{0},y_{0}),$ де $x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$ та $y_{0}=ax_{0}^{2}+bx_{0}+c$ чи $y_{0}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$ Параметр $a$ визначає напрям гілок параболи: за $a>0$ вони спрямовані догори, а за $a<0$ - донизу.

функція $y=x^{2}+3x+1$

функція $y=-x^{2}+2x$

Властивості квадратичних функцій:

• область визначення $D(y)=(-\infty ,+\infty );$
• множина значень $E(y)=[y_{0},+\infty )$ за $a>0$ й $E(y)=(-\infty ,y_{0}]$ за $a<0;$
• функція не є ні парною, ні непарною за $b\neq 0,$ парна за $b=0;$
• функція є неперіодичною
• за $a>0$ квадратична функція є спадною на інтервалі $(-\infty ,x_{0})$ й зростаючою на $(x_{0},+\infty );$ за $a<0$ функція зростаюча на $(-\infty ,x_{0})$ і спадна на $(x_{0},+\infty );$
• за $a>0$ точка $x_{0}$ є мінімальною точкою, а за $a<0$ - максимальною.

Степенева функція може бути задана рівністю $y=x^{a},$ де $a\in \mathbb {R} .$

1. Випадок $y=x^{n},$ де $n\in \mathbb {N} .$

функція $y=x^{2n}$

функція $y=x^{2n+1}$

Властивості:

• область визначення $D(y)=(-\infty ,+\infty );$
• область значень $E(y)=[0,+\infty )$ функції $y=x^{n}$ за парного значення степеня $n$ та $E(y)=(-\infty ,+\infty )$ за неперного $n;$
• функція є неперіодичною
• за парного значення $n$ функція є спадною на інтервалі $(-\infty ,0)$ та зростаючою на $(0,+\infty ),$ за непарного $n$ функція зростаюча на $(-\infty ,+\infty );$
• за парного значення $n$ точка $x_{0}=0$ є точкою мінімуму, за непарного $n$ екстремуми відсутні.

2. Випадок $y=x^{m},$ де $m\in \mathbb {Z} _{-}$ Множина $\mathbb {Z} _{-}$ складається з від'ємних цілих чисел.

функція $y=x^{2m}$

функція $y=x^{2m+1}$

Властивості:

• область визначення $D(y)=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$;
• множина значень $E(y)=(0,+\infty )$ за парного значення $m,$ та $E(y)=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ за непарного значення $m$;
• функція парна за парності $m,$ відповідно непарна за непарності $m$
• функція неперіодична
• за парності $m$ функція зростаюча на інтервалі $(-\infty ,0)$ та спадна на $(0,+\infty );$ за непарності $m$ функція спадна на $(-\infty ,0)$ та на $(0,+\infty ).$

3. Випадок $y={\sqrt[{n}]{x}}.$

функція $y={\sqrt[{2n}]{x}}$

функція $y={\sqrt[{2n+1}]{x}}$

Властивості:

• область визначення $D(y)=[0,+\infty )$ за парного значення $n$ та $D(y)=(-\infty ,+\infty )$ за непарного $n$;
• множина значень $E(y)=[0,+\infty )$ за парного $n$ та $E(y)=(-\infty ,+\infty )$ за непарного $n$;
• функція не є парною та не є непарною за парного значення $n,$ і непарна за непарного значення $n$;
• функція неперіодична
• за парного $n$ функція зростаюча на інтервалі $(0,+\infty ),$ а за непарного $n$ функція зростаюча на інтервалі $(+\infty ,-\infty )$;
• точок екстремуму функція не має.

Логарифмічна функція - функція, що може бути задана рівністю $y=\log _{a}x,$ де $a>0$ та $a\neq 1.$

функція $y=\log _{a}x$ за $a=0.5$

функція $y=\log _{a}x$ за $a=3$

Властивості:

• область визначення $D(y)=(0,+\infty )$;
• множина значень $E(y)=(-\infty ,+\infty )$;
• функція не є парною й не є непарною;
• функція періодична;
• за $a>1$ функція зростає на $D(y),$ а за $0<a<1$ - спадає на $D(y)$;
• точок екстремуму функція не має.

Рівняння

Рівнянням із однією зміною називається рівність, яку можна звести до вигляду $f(x)=0,$ де $f(x)$ - функція. У залежності від виду функції $f(x)$ рівняння класифікуються на цілі, дробові раціональні, іраціональні, тригонометрчні, показникові, логарифмічні тощо. Коренем (розв'язком) рівняння називається таке число, яке за підстановки його до рівняння замість $x$ перетворює це рівняння на правильну числову рівність.

Лінійним рівнянням із однією змінною називається рівність виду $ax=b,$ де $x$ - змінна, $a,b$ - відомі числа.

Властивості лінійних рівнянь:

• якщо $a\neq 0,$ то $x={\frac {b}{a}}$ - єдиний розв'язок рівняння
• якщо $a=0,\,\,b=\neq 0,$ то $0\cdot x=b$ і рівняння не має розв'язків
• якщо $a=0,\,\,b=0,$ то $0\cdot x=0$ та розв'язками рівняння є усі дійсні числа.

Квадратним рівнянням (рівнянням другого степеня із однією змінною) називається рівняння виду $ax^{2}+bx+c=0,$ де $a,b,c\in \mathbb {R}$ - відомі числа, причому $a\neq 0.$ Дискримінантом квадратного рівняння називається число $D=b^{2}-4ac.$ Від значення дискримінанта залежить чисельність коренів квадратного рівняння:

• якщо $D<0,$ то рівняння не має коренів;
• якщо $D=0,$ то рівняння має один корінь $x=-{\frac {b}{2a}};$
• якщо $D>0,$ то рівняння має два корені: $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}$ та $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}.$

Біквадратним рівнянням називається рівняння $ax^{4}+bx^{2}+c=0,$ де $x$ - змінна, а $a,b,c$ - відомі числа. Шляхом заміни $x^{2}=y$ біквадратне рівняння зводиться до квадратного $ay^{2}+by+c=0,$ яке вирішується як квадратне.

Якщо степінь полінома $P(x)$ у рівнянні $P(x)=0$ є більшою від числа $2,$ то таке рівняння називається цілим рівнянням вищого степеня. Вирішення таких рівнянь частіше зводиться до приведення їх до лінійних, квадратних та двочленних рівнянь шляхом розкладу на множники та методом заміни (підстановки).

Дробові раціональні рівняння - рівняння виду ${\frac {P_{1}(x)}{P_{2}(x)}}=0,$ де $P_{1}(x)$ та $P_{2}(x)$ - поліноми. Вирішення таких рівнянь зводиться до вирішення рівняння $P_{1}(x)=0$ за умови, що $P_{2}(x)\neq 0,$ де $P_{2}(x)$ - область припустимих значень рівняння.

Іраціональні рівняння - рівняння типів ${\sqrt {f(x)}}=g(x)$ та ${\sqrt {f(x)}}={\sqrt {g(x)}}.$ Для вирішення таких рівнянь частіше користуються двома способами: 1) спершу позбуваються іраціональності, підносячи ліву й праву частини рівняння до квадрату, а згодом отримане раціональне рівняння розв'язуть, завершуючи розв'язок перевіренням шляхом підстановки одержаних коренів до початкового рівняння; 2) спочатку записується область припустимих значень, яка має вигляд ${\begin{cases}f(x)\geq 0,\\g(x)\geq 0;\end{cases}}$ згодом область припустимих значень перевіряється на непорожність; у разі непорожності області припустими значень ліву та праву частини рівняння підносять до квадрата і знаходять корені одержаного раціонального рівняння, перевіряючи приналежність коренів до області припустимих значень підстановкою до лівої частиини кожної з нерівностей.

Використовуються також методи розкладу на множники, заміни змінної (підстановки) і графічний метод.

У множині раціональних чисел $\mathbb {Q}$ рівняння $a+b=b$ та $ax=b$ за усіх $a\neq 0$ є вирішуваними. Однак раціональних чисел недостатньо для вирішення багатьох, навіть елементарних задач. Зокрема, їх надостатньо для вирішення квадратних рівнянь $x^{2}=q,$ де $q>0.$ Справді, у множині раціональних чисел $\mathbb {Q}$ рівняння $x^{2}=2$ не має рішення, тобто немає такого раціонального ${\frac {m}{n}},$ за якого справджується рівність $({\frac {m}{n}})^{2}=2.$ Запевнимося у цьому, розгляньмо раціональне число ${\frac {m}{n}},$ для якого справджувалася б рівність $({\frac {m}{n}})^{2}=2.$ Число ${\frac {m}{n}}$ не може бути цілим; будемо вважати, що ${\frac {m}{n}}$ - нескоротний дріб, тобто числа $m$ та $n$ є взаємно простими. З рівності $({\frac {m}{n}})^{2}=2$ слідує, що $m^{2}=2n^{2}$ та, відповідно, $m$ - парне число. Нехай $m=2s,$ де $s\in \mathbb {Z} .$ Тоді $4s^{2}=2n^{2}\Rightarrow 2s^{2}=n^{2}$ і тому $n$ також повинне бути парним числом. Але $m$ та $n$ не можуть бути одночасно парними числами, оскільки вона є взаємно простими. Таким чином, припущення, що рівняння $x^{2}=2$ має рішення у множині раціональних чисел, приводить до суперечливості і тому є невірним.

Раціональних чисел недостатньо й для вимірювання величин. Наприклад, довжина діагоналі квадрату, у якого сторона дорівнює одиниці довжини, не може виразитися жодним раціональним числом ${\frac {m}{n}},$ оскільки у протилежному випадку квадрат цієї довжини $({\frac {m}{n}})^{2}$ дорівнював би $2,$ що неможливо.

Геометричне число

Геометричною величиною, або вектором, називається відрізок прямої ${\overrightarrow {AB}},$ який має мочаток у точці $A$ та кінець у точці $B.$ Якщо підрізок ${\overrightarrow {AB}}$ нескінченно продовжити у обидві сторони, то одержимо пряму $a,$ яка називається лінією дії вектора, або його основою. Вектор визначається наступними елементами:

• своїм початком (точкою, від якої проводиться вектор);
• лінією дії;
• напрямком, який позначається стрілкою на кінці $B,$ який співпадає із напрямком, у якому рухається точка, що переміщується від початку $A$ до кінця $B$;
• своїм модулем $|{\overrightarrow {AB}}|,$ який є довжиною відрізка ${\overrightarrow {AB}}.$

Якщо напівпряма $a$ та $b$ однаково спрямовані та напівпрямі $b$ та $c$ однаково спрямовані, то напівпрямі $a$ та $c$ також спрямовані однаково. Справді, якщо $a$ та $b$ спрямовані однаково, то існує паралельне перенесення, за якого напівпряма $a$ переводиться у напівпряму $b.$ Так само паралельним перенесенням напівпряма $b$ переводиться у напівпряму $c.$ Обидва паралельних перенесення, виконані послідовно, дають паралельне перенесення, яке переводить напівпряму $a$ у $c.$

Вектори ${\overrightarrow {AB}}$ та ${\overrightarrow {CD}}$ є однаково спрямованими, якщо їх лінії дії $a$ та $b$ відповідно однаково спрямовані. Абсолютною величиною (модулем) вектора називається довжина відрізка, який зображує вектор. Два вектори називаються рівними, якщо їх можна сумістити за допомогою паралельного перенесення. Це значить, що існує паралельне перенесення, за якого початок та кінець одного вектора переводиться у початок та кінець другого вектора. З цього слідує, що рівні вектори спрямовані однаково та є рівними по абсолютній величині. І навпаки, якщо вектори однаково спрямовані й рівні по абсолютній величині, то вони рівні між собою. Справді, розгляньмо вектори ${\overrightarrow {AB}}$ та ${\overrightarrow {CD}},$ відкладені від прямої $a$ у одному і тому самому напрямку. За паралельного перенесення, який переводить точку $C$ у точку $A$ ми сумістимо лінії дії $b$ та $d,$ оскільки вони спрямовані однаково.

Початок вектора може співпадати із його кінцем. Такий вектор називається нульовим із позначається $\theta .$ Абсолютна величина нульового вектора дорівнює нулю.

Аналітично вектор визначається координатами $A(x_{1},y_{1})$ його початку та $B(x_{2},y_{2})$ його кінця відносно абсциси $x$ й ординати $y.$ Координатами вектора ${\overrightarrow {AB}}$ будуть числа $\alpha _{1}=x_{2}-x_{1}$ та $\alpha _{2}=y_{2}-y_{1}.$ Координати нульового вектора дорівнюють нулю. Абсолютна величина вектора із координатами $\alpha _{1}$ та $\alpha _{2}$ дорівнює $|{\overrightarrow {AB}}|={\sqrt {\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}}}.$

Рівні між собою вектори мають рівні відповідні координати. Справді, нехай $A(x_{1},y_{1})$ та $B(x_{2},y_{2})$ - відповідно початок та кінець вектора ${\overrightarrow {AB}}.$ Оскільки рівний вектору ${\overrightarrow {AB}}$ вектор ${\overrightarrow {CD}}$ одержується шляхом паралельного перенесення, то початком й кінцем вектора ${\overrightarrow {CD}}$ будуть відповідно $C(x_{1}+\lambda ,\,y_{1}+\mu )$ та $D(x_{2}+\lambda ,\,y_{2}+\mu ).$ Таким чином, обидва вектори ${\overrightarrow {AB}}$ та ${\overrightarrow {CD}}$ мають однакові координати: $\alpha _{1}=x_{2}-x_{1},\,\alpha _{2}=y_{2}-y_{1}.$

Відповідно, під вектором площини можна розуміти впорядковану пару дійсних чисел $(x,y).$ Таким самим чином можна визначити вектор у $n$-вимірному просторі: вектор $n$-вимірного простору є впорядкованою сукупністю $n$ дійсних чисел $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}).$ Вектори будемо позначати літерами латинської абетки ($a,b,c,...$), а елементи числових систем - грецькими літерами ($\alpha ,\beta ,\gamma ,...$). Векторний простір - поняття, яке узагальнює звичайний (трьохвимірний) простір.

Репером $n$-вимірного евклідового простору називається впорядкована сукупність $n$ лінійно незалежних базисних векторів $e_{1},e_{2},...,e_{n},$ які прокладаються від однієї (початкової) точки - початку системи координат. Якщо вектори $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ репера спрямовані по осям координат $n$-вимірного простору, то вектори, які визначають репер, називають також координатними (базисними) векторами, а репер - базисом $n$-вимірного простору. Вектори $e$ називають також ортами. Для довільного вектора $a$ його орт можна виразити наступним чином: $e={\frac {a}{|a|}},$ де $|a|$ - довжина вектора $a.$

Наприклад, базисні вектори на площині, напрямки яких співпадають із напрямками осей $x$ та $y,$ зображені на наступному малюнку. Вектор $e_{1}=(1,0),$ а вектор $e_{2}=(0,1).$

Якщо у множині векторів простору обраний деякий базис цього простору $e_{1},e_{2},e_{3},$ то будь-який вектор $v$ може бути розкладений по векторам $e_{1},e_{2},e_{3},$ тобто $a=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3},$ де коефіцієнти $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ визначаються єдиним чином: їх називають координатами вектора $a$ у базисі $e_{1},e_{2},e_{3}.$ Відтак вектор можна записати наступним чином: $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}).$

Якщо $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$ та $b=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})$ та $\lambda \in \mathbb {R} ,$ то за визначенням

$a=b\Leftrightarrow \alpha _{1}=\beta _{1}\land \alpha _{2}=\beta _{2}\land \alpha _{3}=\beta _{3},\quad \quad \lambda a=(\lambda \alpha _{1},\lambda \alpha _{2},\lambda \alpha _{3}),\quad \quad a+b=(\alpha _{1}+\beta _{1},\,\alpha _{2}+\beta _{2},\,\alpha _{3}+\beta _{3}).$

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел, а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. З алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел. За такої інтерпретації векторів простору можна узагальнити поняття вектора, тобто увести поняття вектора, який має будь-яке скінченне число координат.

Нехай $P$ - числова система, числа якої будемо позначати грецькими літерами. В якості числової системи може бути, наприклад, система дійсних чисел $\mathbb {R} ,$ чи система комплексних чисел $\mathbb {C} .$

Будь-яка впорядкована система $n$ чисел $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ називається $n$-вимірним числовим вектором; числа $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ називаются його координатами або компонентами: $\alpha _{1}$ - перша координата, $\alpha _{2}$ - друга координата, ..., $\alpha _{n}$ - остання координата $n.$

Координати $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ $n$-вимірного числового вектора $a$ розташовується у рядок чи стовпець. У першому випадку пишуть $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ та говорять про вектор-рядок, а у другому випадку пишуть $a={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\...\\\alpha _{n}\end{pmatrix}}$ та говорять про вектор-стовпець.

Вибір запису вектора у вигляді рядка чи стовпця є несуттєвим: у обох випадках запис буде коректним.

Числові вектори $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ та $b=(\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n})$ називаються рівними, якщо рівні їх відповідні координати, тобто за визначенням $a=b\Leftrightarrow \alpha _{1}=\beta _{1}\land \alpha _{2}=\beta _{2}\land ...\land \alpha _{n}=\beta _{n}.$

Таким чином, рівність двох $n$-вимірних числових векторів є рівносильною $n$ числовим рівностям. Два числових вектора не можуть бути рівними, якщо число координат у них неоднакове.

Розгляньмо множину $V_{n}$ усіх $n$-вимірних числових векторів із координатами з системи $P.$ Визначмо у цій множині операції додавання векторів та множення вектора з $V_{n}$ на число з числової системи $P.$

Сумою $a+b$ векторів $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ та $b=(\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n})$ називається вектор $c=(\alpha _{1}+\beta _{1},\,\alpha _{2}+\beta _{2},...,\alpha _{n}+\beta _{n}),$ тобто за визначенням $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})+(\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n})=(\alpha _{1}+\beta _{1},\,\alpha _{2}+\beta _{2},...,\alpha _{n}+\beta _{n}).$

Добутком вектора $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ на число $\lambda \in P$ називається вектор $\lambda a=(\lambda \alpha _{1},\lambda \alpha _{2},...,\lambda \alpha _{n}),$ тобто за визначенням $\lambda (\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})=(\lambda \alpha _{1},\lambda \alpha _{2},...,\lambda \alpha _{n}).$

Оскільки додавання $n$-вимірних числових векторів зводиться до додавання їх відповідних координат, то воно є комутативним й асоціативним:

• для будь-яких $a,b,c\in V_{n}$ справджується рівність $(a+b)+c=a(b+c)$;
• для будь-яких $a,b\in V_{n}$ справджується рівність $a+b=b+a.$

У множині $V_{n}$ існує нульовий елемент, який називають нульовим вектором, $\theta =(0,0,...,0).$

• Для будь-якого $a\in V_{n}$ справджується рівність $a+\theta =(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})+(0,0,...,0)=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})=a.$

Для кожного $n$-вимірного числового вектора $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ у множині $V_{n}$ існує протилежний йому вектор $-a=(-\alpha _{1},-\alpha _{2},...,-\alpha _{n}),$ для якого $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})+(-\alpha _{1},-\alpha _{2},...,-\alpha _{n})=\theta .$

У системі $n$-вимірних числових векторів $V_{n}$ виконується операція віднімання: різницею числових векторів $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ та $b=(\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n})$ є вектор $a-b=a+(-b),$ тобто

$a-b=(\alpha _{1}-\beta _{1},\,\alpha _{2}-\beta _{2},...,\alpha _{n}-\beta _{n}).$

З визначення добутку вектора на число слідують наступні властивості:

• для будь-яких $\lambda ,\nu \in P$ та будь-якого $a\in V_{n}$ справджується рівність $\lambda (\nu a)=(\lambda \nu )a$;
• для будь-якого $\lambda \in P$ та будь-яких $a,b\in V_{n}$ справджується рівність $\lambda (a\pm b)=\lambda a\pm \lambda b$;
• для будь-якого $a\in V_{n}$ справджується рівність $1\cdot a=a$;
• для будь-якого $a\in V_{n}$ справджується рівність $(-1)a=-a$;
• для будь-якого $a\in V_{n}$ справджується рівність $0\cdot a=0$;
• для будь-якого $\lambda \in P$ справджується рівність $\lambda \cdot 0=0$;
• для будь-якого $\lambda \in P$ та будь-якого $a\in V_{n}$ справджується пропозиція $\lambda a=0\Rightarrow \lambda =0\land a=0.$

Множина $V_{n}$ усіх $n$-вимірних числових векторів із координатами з системи $P,$ розглядувана з визначеними на ній операціями додавання векторів й множення вектора на число з системи $P$ називається $n$-вимірним арифметичним простором над системою $P.$

Аналітичний вираз

Нехай дані дві непусті множини $M$ та $N.$ Якщо кожному елементу $x\in M$ поставлений у відповідність декотрий цілком визначений елемент $y\in N,$ то говорять, що на множині $M$ задана функція $f(x),$ тобто $y=f(x).$ Символ $y$ позначає той елемент множини $N,$ який відповідає елементу $x$ множини $M.$ Символ $x,$ який позначає будь-який елемент множини $M,$ називається аргументом функції $f(x).$

Елементи множини $M$ називаються значеннями аргумента $x,$ а відповідні їм елементи множини $N$ - значеннями функції $f(x).$ Множина $M$ називається областю визначення функції $D(y),$ множина відповідних значень функції $y=f(x)$ називається множиною значень функції $E(y).$

Якщо групі $n$ елементів $(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ які належать декотрій множині $M,$ яка складається з таких груп, поставлений у відповідність декотрий цілком визначений елемент $y$ множини $N,$ то говорять, що задана функція $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ від $n$ змінних, тобто $y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ У цьому випадку $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ називаються аргументами, а множина $M$ - областю визначення функції. Якщо областю визначення функції $y=f(x)$ та множиною її значень є декотрі множини чисел, то функція називається числовою функцією числового аргумента. Таким самим чином функцію $y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ областю визначення якої є декотра множина систем чисел $(k_{1},k_{2},...,k_{n})$ та множиною значень якої є декотра множина чисел, називають числовою функцією числових аргументів. Числові функції можуть задаватися за допомогою таблиць, графіків, формул тощо. Частіше вони задаються за допомогою формул або, як прийнято говорити, за допомогою аналітичних виразів.

Під аналітичним виразом (тобто формулою), який задає функцію $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ розуміють запис тих обчислювальних операцій, які необхідно виконати у певній послідовності над сталими числами й чисельними значеннями аргументів $x_{1},x_{2},...,x_{n},$ щоб отримати відповідне чисельне значення функції $y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ До обчислювальних (або аналітичних) операцій відносяться операції додавання, множення, віднімання, ділення та операцію переходу до границі, тобто знаходження по заданій послідовності чисел $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ її границі $\lim _{n\to \infty }a_{n},$ якщо вона існує. Прикладами аналітичних виразів є, наприклад, наступні вирази

${\frac {(a-b)^{2}-(a+c)^{2}}{(b+c)^{3}}}-4abc,\quad \quad \lim _{n\to \infty }[x-{\frac {x^{3}}{3!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}-...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}].$

Функції, які можна задати за допомогою аналітичних виразів, називаються аналітично зображуваними. Не потрібно ототожнювати поняття функції та аналітчного виразу; будь-який аналітичний вираз задає декотру функцію, але не будь-яка функція є аналітичним виразом. Оскільки будь-який аналітичний вираз задає декотру функцію, то для запису аналітичних виразів вживають ті самі символи, що й для запису функцій. Якщо аргументам $x_{1},x_{2},...,x_{n},$ що входять до аналітичного виразу $F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ дати певні чисельні значення, наприклад $x_{1}=k_{1},\,\,x_{2}=k_{2},...,x_{n}=k_{n}$ та виконати після цього усі вказані у цьому виразі дії, то отримаємо число, яке позначають символом $F(k_{1},k_{2},...,k_{n})$ й називають значенням цього виразу при значеннях аргументів $x_{1}=k_{1},\,\,x_{2}=k_{2},...,x_{n}=k_{n}.$ При розгляді аналітичного виразу чи функції, заданої за допомогою аналітичного виразу, вказується, які саме системи числових значень аргументів є припустимими. У декотрих випадках із змісту аналітичного виразу буває зрозуміло, які значення аргумента чи системи значень аргументів варто вважати припустимими. Наприклад, довжина окружності $L$ задається формулою $L=2\pi r,$ де $r$ - радіус окружності. У аналітичному виразі $r$ - аргумент. Зрозуміло, що припустимими значеннями $r$ є додатні дійсні числа. Якщо немає вказівок на геометричний зміст аргумента $r,$ то припустимими значеннями варто вважати усі значення $r$ з розглядуваної числової множини, оскільки для цих значень завжди виконується операція множення на $2\pi .$ У випадку виразу ${\frac {1}{x_{1}-x_{2}}}$ припустимою буде система значень $x_{1}=l_{1},\,\,x_{2}=l_{2},$ що задовільняє умові $l_{1}\not \equiv l_{2}.$

Два аналітичних вирази від даних аргументів (а також функції, задані цими виразами) називаються тотожно рівними або тотожними, якщо їхні значення є рівними за будь-якох припустимої системи значень аргументів. Зокрема, якщо $f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ та $f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ є тотожними виразами, то за усіх припустимих систем значень аргументів справджується рівність $f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ Ця рівність називається тотожністю. Для позначення тотожності іноді застосовують символ $\equiv .$ Прикладами тотожностей є розглянуті раніше рівності за розгляду цілих виразів. Необхідно зауважити, що поняття тотожності двох виразів є відносним; воно залежить від множини припустимих систем значень аргументів. Два виразу можуть бути тотожними на одній множині припустимих систем значень аргументів й не бути тотожними на іншій, чисельнішій їх множині. Наприклад, вирази ${\sqrt {x^{2}}}$ та $x$ є тотожними на множині невід'ємних дійсних чисел, однак виявляються нетотожними на множині усіх дійсних чисел, оскільки ${\begin{cases}{\sqrt {x^{2}}}=x\,\,{\text{за}}\,\,x\geq 0,\\{\sqrt {x^{2}}}=-x\,\,{\text{за}}\,\,x<0.\end{cases}}$

Один аналітичний вираз можн бути замінений на тотожний йому; така заміна називається тотожним перетворенням даного виразу. За вирішення задач їх записують у вигляді певних співвідношень між декотрими аналітичними виразами. Такий запис задачі називається аналітичним.

Системи лінійних рівнянь

Лінійним рівнянням з $n$ невідомими називається рівняння вигляду $\alpha x_{1}+\alpha x_{2}+...+\alpha x_{n}=\xi ,$ де $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ - невідомі, а $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ та $\xi$ - декотрі числа з числової системи $P.$ Числа $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ називають коефіцієнтами рівняння, а число $\xi$ - вільним членом цього рівняння.

Рішенням вищенаведеного рівняння називається такий $n$-вимірний числовий вектор $v=(v_{1},v_{2},...,v_{n}),$ що рівняння перетворюється на правильну числову рівність після заміни у ньому невідомих $x_{i}$ відповідними координатами $v_{i},$ де $i={\overline {1,n}}.$

За вивчення систем лінійних рівнянь (рівнянь першого степеня) у школі знайомляться із декотрими практичними задачами, вирішення яких вимагає складання та вирішення систем. Розгляньмо просту задачу. Необхідно віднайти остачу та лишок від ділення полінома $P_{1}(x)=2x^{5}-3x^{4}+2x^{3}+5x^{2}-7$ на поліном $P_{2}(x)=x^{2}-2x+3.$ Цю задачу можна вирішити діленням поліномів ${\frac {P_{1}(x)}{P_{2}(x)}},$ однак це можна зробити й не вдаваючись у ділення, застосовуючи співвпідношення між показниками степенів компонент дії ділення поліномів. Зокрема, показник степені частки дорівнює різниці між показниками степенів діленого та дільника, показник степені остачі є меншим (принаймні на одиницю) від показника степені дільника. В результаті одержуємо: степінь частких дорівнює $3$ ($5-2$), а степінь остачі не перебільшує $1$ ($2-1$). Таким чином, нам вже відомий вид шуканих функцій, але невідомі значення числових коефіцієнтів (частка - поліном третього степеня, чотири коефіцієнти його ще невідомі).

У випадку, коли відомий вид функції, але невідомі коефіцієнти, то вдаються до методу невизначених коефіцієнтів. Цей метод полягає у тому, що уводяться літерні позначення для невідомих коефіцієнтів, а згодом, користуючись умовою задачі та існуючими між розглядуваними величинами тотожними співвідношеннями, встановлюють зв'язки, які існують між невідомими коефіцієнтами й заданими величинами. Ці зв'язки зазвичай виражаються у вигляді рівняння чи системи рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Розв'язуючи рівняння (або систему рівнянь) знаходять значення коефіцієнтів.

Для вирішення даної задачі запишімо частку у вигляді $ax^{3}+bx^{2}+cx+d,$ а остачу у вигляді $ex+f$ й скористуймося співвідношенням, яке пов'язує компоненти дії ділення: ділене дорівнює сумі добутку дільника на частку й остачі. Одержуємо: $2x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+5x^{2}-7=(x^{2}-2x+3)(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)+ex+f.$ Ця рівність повинна виконуватися тотожно відносно $x,$ що є можливим коли у її лівій та правій частинах будуть співпадати коефіцієнти при кожній степені $x.$ Виконуючи дії у правій частині й прирівнюючи послідовно коефіцієнти при $x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x$ та $x^{0}$ (вільні члени), одержимо систему шести рівнянь відносно шести невідомих коефіцієнтів:

${\begin{cases}a=2,\\-2a+b=-3,\\3a-2b+c=2,\\3b-2c+d=5,\\3c-2d+e=0,\\3d+f=-7.\end{cases}}$

Таким чином, вирішуючи послідовно лінійні рівняння, одержимо результати: $a=2,\,b=1,\,c=-2,\,d=-2,\,e=2,\,f=-1.$ Звідси робимо висновок, що частка від ділення $2x^{3}+x^{2}-2x-2,$ а остача $2x-1.$

Відмінність різних систем. Системи відрізняються за числом рівнянь й числом невідомих. Не обов'язково, щоб число рівнянь $i$ співпадало із числом невідомих $n.$ Разом із системами, для яких справедлива рівність $i=n,$ існують системи, у яких може мати місце довільна нерівність $i>n$ чи $i<n.$ У випадку значення $i=n$ називають порядком системи. У молодшій школі зосереджуються, в основному, на системах другого та третього порядків.

Системи із невеликим числом невідомих записують як у елементарній алгебрі: невідомі позначають останніми літерами латинської абетки $(x,y,z,u,v,w)$; коефіцієнти при невідомих й вільні члени - першими літерами тієх ж абетки, причому кожну з них наділяють знизу числом (індексом), який показує номер рівняння, до якого входить цей коефіцієнт або вільний член. Наприклад, системи другого й третього порядків запишуться відповідно

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=\xi {1},\\a_{2}x+b_{2}y=\xi _{2}\end{cases}}$

та

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=\xi _{1},\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=\xi _{2},\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=\xi _{3}.\end{cases}}$

У випадку $n$ невідомих така система позначень є незручною, оскільки незручно за допомогою літер виразити $n$ невідомих. У цьому випадку користуються двохіндексною системою, як у загальній алгебрі. Невідомі позначаються однією і тою самою літерою (зазвичай $x$), яку наділяють індексом, який вказує номер невідомої у системі рівнянь. Вільні члени позначаються однією і тою самою літерою, наділеною індексом, який повинен вказувати номер рівняння, до якого входить відповідний вільний член. Коефіцієнти при невідомих позначаються однією і тою самою літерою (зазвичай грецькою), наділеною двома індексами, з яких перший вказує на номер рівняння, а другий - на номер невідомої, при якому знаходиться даний коефіцієнт. Таким чином, система довільного порядку $n$ запишеться у загальному вигляді:

${\begin{cases}\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x+\alpha _{13}x+...+\alpha _{1n}x_{n}=\xi _{1},\\\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+\alpha _{23}x_{3}+...+\alpha _{2n}x_{n}=\xi _{2},\\\alpha _{31}x_{1}+\alpha _{32}x_{2}+\alpha _{33}x_{3}+...+\alpha _{3n}x_{n}=\xi _{3},\\...\\\alpha _{n1}x_{1}+\alpha _{n2}x_{2}+\alpha _{n3}x_{3}+...+\alpha _{nn}x_{n}=\xi _{n}.\end{cases}}$

Система із $m$ невідомими запишеться, відповідно,

${\begin{cases}\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+...+\alpha _{1n}x_{n}=\xi _{1},\\\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+...+\alpha _{2n}x_{n}=\xi _{2},\\...\\\alpha _{m1}x_{1}+\alpha _{m2}x_{2}+...+\alpha _{mn}x_{n}=\xi _{m}.\end{cases}}$

Рішенням системи називається така сукупність значень невідомих (які входять у дану систему) яка, якщо буде підставлена замість невідомих до рівнянь системи, перетворює усі рівняння у числову рівність (чи тотожність, якщо рівняння містять вирази із літерами, які вважаються невідомими). При цьому до супності значень навідомих, яка дає рішення системи, входить стільки чисел (виразів), скільки є невідомих $(n\geq 2),$ але така сукупність приймається за одне рішення. Наприклад, система чисел $x=2,\,\,y=-1$ та $z=4$ є рішенням системи

${\begin{cases}3x+2y+z=8,\\x-3y-z=1,\\3x+13y+5z=13.\end{cases}}$

У той же час система чисел $x=3,\,y=3,\,z=-7$ також є рішенням цієї системи.

Системи класифікуються за кількістю їх рішень:

• системи, які мають лише одне рішення, називаються визначеними;
• системи, які не мають жодного рішення, називають несумісними (суперечливими);
• системи, які мають більше одного рішення, називаються невизначеними; будь-яка невизначена система має нескінченне число рішень.

Дві системи називаються рівносильними (еквівалентними), якщо будь-яке рішення першої системи є також рішенням другої системи, і навпаки, рішення другої системи є рішенням першої системи.

Окрім наведених типів систем існують також й інші. Якщо у системі усі вільні члени дорівнюють нулю, то система називається однорідною. Така система є завжди сумісною, оскільки їй задовільняє рішення, яке складається з нульових значень невідомих - таке рішення називається нульовим. Якщо однорідна система є визначеною, то нульове рішення є єдиним її рішенням; якщо однорідна система є невизначеною, то разом із нульовим вона містить також принаймні одне ненульове рішення (тобто рішення, яке має у своєму складі хоча б одне число, відмінне від нуля).

У записі системи $m$ лінійних рівнянь з $n$ невідомими

${\begin{cases}\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+...+\alpha _{1n}x_{n}=\xi _{1},\\\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+...+\alpha _{2n}x_{n}=\xi _{2},\\...\\\alpha _{m1}x_{1}+\alpha _{m2}x_{2}+...+\alpha _{mn}x_{n}=\xi _{m}.\end{cases}}$

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ - невідомі, а числа $\alpha _{11},\alpha _{12},...,\alpha _{m1},\alpha _{m2},...,\alpha _{mn}$ та $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{m}$ - декотрі числа з системи $P.$ Числа $\alpha _{11},\alpha _{12},...,\alpha _{mn}$ є коефіцієнтами системи, а числа $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{m}$ - вільні члени системи. Для скорочення письма індекси не розділяються комою, однак записи $\alpha _{13},\alpha _{43}$ варто читати "$\alpha$ один три" та "$\alpha$ чотири три" відповідно, а не "$\alpha$ тринадцять" чи "$\alpha$ сорок три".

Коефіцієнти, які у системі стоять при невідомих, та вільні члени цієї системи складають $m$-вимірні числові вектори

$\alpha _{j}={\begin{pmatrix}\alpha _{1j}\\\alpha _{2j}\\...\\\alpha _{mj}\end{pmatrix}},$ де $j={\overline {1,n}},$ та $b={\begin{pmatrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\\...\\\xi _{m}\end{pmatrix}}.$

З визначення рівності числових векторів, суми векторів та множення вектора на число слідує, що

${\begin{cases}\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x+\alpha _{13}x+...+\alpha _{1n}x_{n}=\xi _{1},\\\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+\alpha _{23}x_{3}+...+\alpha _{2n}x_{n}=\xi _{2},\\\alpha _{31}x_{1}+\alpha _{32}x_{2}+\alpha _{33}x_{3}+...+\alpha _{3n}x_{n}=\xi _{3},\\...\\\alpha _{m1}x_{1}+\alpha _{m2}x_{2}+\alpha _{m3}x_{3}+...+\alpha _{mn}x_{n}=\xi _{m}.\end{cases}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=b.$

Таким чином, рівняння $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=b,$ коефіцієнти й вільний член якого є числовими векторами $a_{j}={\begin{pmatrix}\alpha _{1j}\\\alpha _{2j}\\...\\\alpha _{mj}\end{pmatrix}}$ та $b={\begin{pmatrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\\...\\\xi _{m}\end{pmatrix}}.$ Це рівняння є скороченим записом системи лінійних рівнянь і називається векторною формою системи лінійних рівнянь.

Рішенням системи лінійних рівнянь називається будь-який $n$-вимірний числовий вектор $v=(\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{n}),$ який є рішенням кожного з рівнянь цієї системи. Іншими словами, рішенням системи лінійних рівнянь називається такий $n$-вимірний числовий вектор $v=(\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{n}),$ що кожне з рівнянь цієї системи перетворюється на правильну числову рівність після заміни у ньому невідомих $x_{i}$ відповідними координатами. Кажуть також, що вектор $v=(\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{n})$ задовільняє системі, якщо він є рішенням цієї системи.

Якщо система лінійних рівнянь має два рішення, то вона має їх нескінченну кількість. Розгляньмо систему лінійних рівнянь із $n$ невідомими $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=b,$ яка має два різних рішення: $c=(\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{n})$ та $v=(\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{n}).$ Тоді вектор $d=\tau c+(1-t)v=(\tau \gamma _{1}-(1-\tau )\nu _{1},\,\tau \gamma _{2}-(1-\tau )\nu _{2},...,\tau \gamma _{n}-(1-\tau )\nu _{n}),$ де $\tau$ - довільне число з системи $P,$ також є рішенням даної системи. Справді, оскільки $\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+...+\gamma {a}_{n}=b$ та $\nu _{1}a_{1}+\nu _{2}a_{2}+...+\nu _{n}a_{n}=b,$ то $[\tau \gamma _{1}-(1-\tau )\nu _{1}]a_{1}+[\tau \gamma _{2}(1-\tau )\nu _{2}]a_{2}+...+[\tau \gamma _{n}-(1-\tau )\gamma _{n}]a_{n}=\tau (\gamma a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+...+\gamma _{n}a_{n})+(1-\tau )(\nu _{1}a_{1}+\nu a_{2}+...+\nu _{n}a_{n})=\tau b+(1-\tau )b=b.$

Якщо $\tau _{1}\neq \tau _{2},$ то $d_{1}=\tau _{1}\gamma +(1-\tau _{1})\nu$ та $d_{2}=\tau _{2}\gamma +(1-\tau _{2})\nu _{2}$ є різними рішеннями. Справді, розгляньмо випадок, коли $d_{1}=d_{2}.$ Тоді $\tau _{1}\gamma _{i}+(1-\tau _{1})\nu _{i}=\tau _{2}\gamma _{i}+(1-\tau _{2})\nu _{i},$ де $i={\overline {1,n}},$ та $\gamma _{i}(\tau _{1}-\tau _{2})=\nu _{i}(\tau _{1}-\tau _{2})$ за $i={\overline {1,n}}.$ Оскільки $\tau _{1}\neq \tau _{2},$ то $\gamma _{i}=\nu _{i}$ за $i={\overline {1,n}}.$ Але це суперечить припущенню, що $c=(\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{n})$ та $v=(\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{n})$ є різними рішеннями системи. Відповідно, $d_{1}\neq d_{2}.$ Оскільки $\tau$ пробігає нескінченну множину значень у системі $P,$ то із сказаного слідує, що система має нескінченне число рішень.

Таким чином, сумісна система може мати або одне рішення, або нескінченну кількість рішень. Вирішити систему лінійних рівнянь - означає дослідити, сумісна вона чи ні; у випадку сумісності встановити число її рішень й віднайти усі ці рішення.

Диференціальне й інтегральне числення

Диференціальне числення є розділом математики, у якому вивчають властивості функцій за допомогою похідних й диференціалів. Основною ідеєю диференціального числення є ідея про те, що у дослідженні й вивченні локальних властивостей функцій для опису властивостей функцій в цілому.

Диференціалом (інфінітезималлю) функції називається головна лінійна частина прирощення функції. Інфінітезималь функції позначається або $df:X\to Y,$ або $df(x)$ (або просто $df$). В загальному випадку, прирощення функції $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ має вигляд $df=f(x_{1}+dx_{1},\,x_{2}+dx_{2},\,...,x_{n}+dx_{n})-f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Похідна. Розгляньмо функцію $y=f(x)$ із областю визначення $X.$ Оберімо точку $x_{0}\in X.$ Надамо приросту аргументу функції $dx$ (де $dx>0$ або $dx<0$) такого, що $(x_{0}+dx)\in X.$ Відповідно, функція зазнає приросту $dy=f(x_{0}+dx)-f(x_{0}).$

Диференціювання (лат. differentia - різниця) функції $f(x)$ - це віднаходження похідної $f'(x)$ даної функції. Поняття диференціювання пов'язане із визначенням похідної як границі частки відповідних різниць значень функції та значень аргумента. Розгляньмо відношення ${\frac {df}{dx}}={\frac {f(x_{0}+dx)-f(x_{0})}{dx}}.$ Відношення прирощення функції до прирощення аргумента називають середньою швидкістю зміни функції; воно показує, скільки одиниць приросту функції відповідає одиниці приросту аргументу.

Границя частки відповідних різниць значень функції та значень аргумента (де прирощення функції - ділене, прирощення аргумента - дільник) за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, називаєтся похідною. Похідна позначається наступним чином: або $f'(x_{0}),$ або $y'(x_{0}),$ або ${\frac {df(x_{0})}{dx}}.$ Отже, похідна буде дорівнювати $f'(x_{0})=\lim _{dx\to 0}{\frac {dy}{dx}}=\lim _{dx\to 0}{\frac {f(x_{0}+dx)-f(x_{0})}{dx}}.$ Якщо похідна $f'(x)$ функції $f(x)$ існує у точці $x_{0},$ то функція називається диференційовуваною у точці $x_{0}.$

Диференційовувана функція - функція однієї чи багатьох змінних $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ (за $1\leq n<\infty$) називається диференційовуваною у точці $P(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ якщо у цій точці існує диференціал $df$ функції $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ Функція називається диференційовуваною у області $D,$ якщо вона є диференційовуваною у кожній точці області $D.$