Основні числові системи/Ірраціональні числа

Найновіші відкриття встановили, що ще давні вавилоняни знали про існування ірраціональностей. А у "Началах" Евкліда подається доказ їх існування. Цей доказ виходить з такої основної властивості сумірних й несумірних величин: сумірні величини відносяться між собою, як декотрі (раціональні) числа, а несумірні величини не можуть відноситися між собою як числа. Справді, коли величини та сумірні, то вони мають спільну міру. Нехай ця міра міститься у першій величині три рази, а у другій п'ять, тоді

Логотип Вікіпедії
Логотип Вікіпедії
Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Ірраціональні числа

Якщо б несумірні величини відносилися як числа, то це означало б, що вони мають спільну мір. Евклід у дев'ятій теоремі книги встановлює таку умову несумірних відрізків: "Квадрати, які відносяться між собою, як квадратні числа, мають сторони по довжині сумірні, а квадрати, які не відносяться між собою, як декотрі числа, мають сторони за довжиною несумірні".

Припустімо, що діагональ та сторона квадрата є сумірними, тобто де та є взаємно простими числами. Тоді але тоді тобто число є парним. Нехай тоді або тобто та числа парні, що суперечить умові про те, що числа та є взаємно простими. Звідси висновок: відрізки та є несумірними.

Арифметичний корінь ред.

Арифметичний корінь - невід'ємне значення кореня парного або непарного степеня з невід'ємного числа. Наприклад, коренем з числа   формально   називається таке число  , квадрат якого дорівнює   тобто   Наприклад, для числа 25 квадратними коренями є числа   та   бо   та   Таким чином, для будь-якого додатного числа існує два корені (які є протилежними числами); вважають, що   для від'ємних чисел квадратних коренів немає.

Дія вилучення квадратного кореня може розумітися як дія, зворотна до піднесення до степеня (розуміючи під дією вилучення квадратного кореня не збільшення показника степеня, а його зменшення, необхідно визнати, що позначення цієї дії показником   достатньо ясно виражає поняття "вилучення квадратного кореня"). Знак   уведенй К.Рудольфом, є аналогічним до позначення С.Cтевіна  

При цьому справедливими є наступні рівності:

  •   якщо   та  ;
  •  ;
  •  

Властивості квадратного кореня:

  •   якщо   та  ;
  •  
  •  

Корінь степені   де   з числа   є число, яке у степені   дорівнює   При цьому корінь другого степеня називають квадратним коренем, а корінь третього степеня - кубічним коренем. Зокрема, коренем четвертого степеня з числа   є числа   та   оскільки   та   Кубічний корінь з числа   дорівнює   оскільки   Таким чином, у випадку, якщо   є непарним натуральним числом, то існує лише один корінь степеня   з довільного числа  

Арифметичним коренем степені   з невід'ємного числа   є невід'ємне число, яке у степені   дорівнює   Арифметичний корінь степені   позначають   У виппадку, якщо   - непарне число, то запис   використовується й для від'ємних значень   (такий корінь не є арифметичним).

Для арифметичного кореня справджуються наступні рівності:

  •   якщо   та  ;
  •  ;
  •  

Властивості арифметичного кореня:

  •   якщо   та  
  •   якщо   та  ;
  •   якщо  ;
  •   якщо   а   та   є натуральними числами   та  ;
  •   якщо   a   та   є натуральними числами.

Раціональні числа · Дійсні числа