Основні числові системи/Комплексні числа

Дійсні числа відіграють велику роль у математиці, однак є задачі, для вирішення яких дійсних чисел недостатньо. Однією з таких задач є задача пошуку рішення квадратного рівняння $x^{2}+1=0.$ У системі дійсних чисел не віднайдеться таке $x,$ за якого справджувалася б дана рівність, оскільки у системі дійсних чисел немає дійсного числа, квадрат якого дорівнював б $-1.$ Тривалий час комплексні числа уводилися у розгляд за допомогою наступного міркування: рівняння $x^{2}=-1$" не має коренів, ${\sqrt {-1}}$ не існує. У 1833 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив що таке комплексні числа. Його підхід полягав у розширенні системи $\mathbb {R}$ до системи $\mathbb {C}$ за допомогою впорядкованих пар дійсних чисел $(a,b)$, де $a,b\in \mathbb {R} ,$ які називаються комплексними числами.

Логотип Вікіпедії

Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Комплексне число

Нехай $C$ - множина усеможливих впорядкованих пар $(a,b)$ дійсних чисел $a$ та $b.$ Числа $a$ та $b$ у парі називаються компонентами пари $(a,b),$ зокрема, $a$ - першою компонентою, а $b$ - другою компонентою.

У відповідності із загальним визначенням рівності впорядкованих пар, пари $(a,b)$ та $(c,d)$ є рівними лише у випадку, коли $a=c$ та $b=d.$ У цьому випадку пишуть $(a,b)=(c,d).$

Визначмо на множині таких пар $C$ операції додавання й множення. Сумою пар $(a,b)$ та $(c,d)$ є пара $(a+c,\,b+d),$ тобто $(a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d)$ Тобуток пар $(a,b)$ та $(c,d)$ - пара $(ac-bd,\,ad+bc),$ тобто $(a,b)(c,d)=(ac-bd,\,ad+bc).$

Операції додавання й множення пар комутативні, асоціативні й пов'язані законом дистрибутивності. Комутативність й асоціативність операції додавання пар слідують відповідно з комутативності й асоціативності додавання дійсних чисел, оскільки додавання пар зводиться до додавання їх компонент (дійсних чисел).

Операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання. Справді, для будь-яких $a,b,c,d,k,l\in \mathbb {R}$ одержимо:

${\begin{matrix}[(a,b)+(c,d)](k,l)=(a+c,\,b+d)(k,l)=((a+c)k-(b+d)l,\,(a+c)l+(b+d)k)=(ak+ck-bl-dl,\,al+cl+bk+dk),\\(a,b)(k,l)+(c,d)(k,l)=(ak-bl,\,al+bk)+(ck-dl,\,cl+dk)=(ak+ck-bl-dl,\,al+bk+cl+dk).\end{matrix}}$

Правы частини цих співвідношень є рівними, відтак рівними є й ліві частини.

1. Для будь-яких $a,b,c,d,k,l\in \mathbb {R}$ справджується розподільний закон множення пар відносно додавання: $[((a,b)+(c,d))(k,l)=(a,b)(k,l)+(c,d)(k,l)].$

У множині $C$ виконується також операція віднімання. Нехай $(a,b)$ та $(c,d)$ - довільні пари з множини $C.$ Різницею даних пар буде пара $(x,y),$ яка задовільняє умові $(c,d)+(x,y)=(a,b).$ Віднайдімо цю пару:

$(c,d)+(x,y)=(a,b)\Leftrightarrow (c+x,\,d+y)=(a,b)\Leftrightarrow c+x=a\land d+y=b\Leftrightarrow x=a-c\land y=b-d,$

відтак $(x,y)=(a-c,\,b-d).$

У системі $C$ виконується операція ділення (окрім ділення на нуль). Нехай $(a,b)$ та $(c,d)$ - довільні пари з $C,$ причому $(c,d)\neq (0,0).$ Тоді принаймні одна з компонент $c$ та $d$ є відмінною від нуля, тому $c^{2}+d^{2}\neq 0.$

Часткою від ділення пари $(a,b)$ на пару $(c,d)$ є пара $(x,y),$ яка задовільняє умові $(c,d)\cdot (x,y)=(a,b).$ Віднайдімо цю частку:

$(c,d)\cdot (x,y)=(a,b)\Leftrightarrow (cx-dy,\,cy+dx)=(a,b)\Leftrightarrow cx-dy=a\land dx+cy=b.$

З цього слідує, що віднаходження пари $(x,y)$ є рівносильним вирішенню системи рівнянь ${\begin{cases}cx-dy=a,\\dx+cy=b.\end{cases}}$ Вона має єдине рішення:

$x={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},\quad \quad y={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.$

Відповідно, у випадку, коли $(c,d)\neq (0,0),$ частка ${\frac {(a,b)}{(c,d)}}$ існує, причому лише одна:

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}=({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},\,{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}).$

Протилежною до пари $(a,b)$ є пара $-(a,b)=(-a,-b).$ Якщо вважати $(a,b)=(1,0),$ то одержимо, що для відмінною від нуля пари $(c,d)$ зворотною буде пара $({\frac {1\cdot c+0\cdot d}{c^{2}+d^{2}}},\,{\frac {0\cdot c-1\cdot d}{c^{2}+d^{2}}})=({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},\,{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}}).$

Вважаймо, що $(a,0)=a$ (наприклад, $(1,0)=1)$ та що $(0,0)=0.$ За такого міркування можна сказати, що система дійсних чисел $\mathbb {R}$ є підсистемою системи $\mathbb {C}$ (з огляду на співпадаючі в цих системах бінарні операції).

Побудована таким чином числова система $\mathbb {C}$ повинна містити рішення рівняння $x^{2}+1=0.$ Одним із коренем цього рівняння є елемент $(0,1)$ системи $\mathbb {C} .$ Справді, $(0,1)^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.$ Елемент $(0,-1)$ є другим коренем рівняння $x^{2}+1=0.$ Елемент $(0,1)$ позначають символом $i,$ тоді елемент $(0,-1)=-(0,1)$ буде позначатися символом $-i.$ Відповідно, $i^{2}=(-i)^{2}=-1.$ Оскільки $(b,0)=b$ та $(0,1)=i,$ то $(0,b)=(b,0)(0,1)=bi$ і тому $(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi.$ Таким чином, кожний елемент $x$ системи $\mathbb {C}$ можна записати у вигляді $x=a+bi,$ де $a,b\in \mathbb {R} .$

Нехай ${\tilde {\mathbb {C} }}$ - будь-яке розширення системи дійсних чисел $\mathbb {R} ,$ яке містить декотрий елемент $j,$ для якого $j^{2}=-1.$ Оскільки $i\in \mathbb {C}$ та $j\in \mathbb {C} ,$ відповідно $j^{2}=i^{2},$ то $(j-i)(i+j)=i^{2}-j^{2}=0.$ Однак у системы немає дільників нуля. Тому принаймні один із співмножників $i-j$ та $i+j$ є рівним нулю. Якщо $i-j=0,$ то $i=j$ та для будь-якого елемента $x\in \mathbb {C}$ одержимо $x=a+bi=a+bj$; якщо ж $i+j=0,$ то $i=-j$ і тоді $x=a+bi=a-bj.$ У обох випадках кожний елемент $x$ системи $\mathbb {C}$ міститься у підсистемі ${\tilde {\mathbb {C} }}$ та, відповідно, ${\tilde {\mathbb {C} }}$ співпадає із $\mathbb {C} .$

Комплексні числа часто позначають грецькими літерами $\alpha ,\beta ,\gamma ,...\,$ або літерою $z.$ Таким чином, кожний елемент системи $\mathbb {C}$ (тобто кожне комплексне число $\alpha$) можна записати у вигляді $\alpha =a+bi,$ де $a$ та $b$ - декотрі дійсні числа, а $i={\sqrt {-1}}.$

Запис $\alpha =a+bi$ називається алгебричною формою комплексного числа. Комплексне число $i$ називається уявною одиницею, а числа $bi$ - уявними числами. У записі $\alpha =a+bi$ число $a$ називається дійсною частиною комплексного числа $\alpha ,$ число $bi$ - уявною частиною, а число $b$ - коефіцієнтом уявної частини комплексного числа $\alpha .$ Дійсна частина комплексного числа $z$ позначається $\mathrm {Re} \,z,$ а уявна - $\mathrm {Im} \,z.$

Комплексне число $z$ називається алгебричним, якщо воно задовільняє декотрому рівнянню виду $a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n}=0,$ де $a_{i}\in \mathbb {Z} ,$ серед яких є хоча б одне відмінне від нуля. Степенем алгебричного числа $z$ є найменше додатне ціле число $n,$ за якого $z$ задовільняє рівнянню степені $n.$ Наприклад, будь-яке раціональне число є алгебричним першої степені, ${\sqrt {2}}$ - алгебричне число другого степеня, ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ - алгебричне число степені $4.$ Число, яке не є алгебричним, називається трансцендентним.

Дії над комплексними числами

Додавання, віднімання, множення та ділення комплексних чисел здійснюється за наступними формулами:

• $\alpha +\beta =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$
• $\alpha -\beta =(a+bi)-(c+bi)=(a-c)+(b-d)i$
• $\alpha \cdot \beta =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i,$ де $\beta \neq 0.$

За додавання комплексних чисел додаються окремо їх дійсні частини й окремо коефіцієнти уявних частин, а за віднімання комплексних чисел віднімаються окремо їх дійсні частини та коефіцієнти уявних частин. Комплексні числа множаться по правилу множення суми на суму.

Розгляньмо приклади:

• $(1+3i)(3-2i)=1\cdot 3+3\cdot 3i-1\cdot 2i-i\cdot 2i=(3+6)+(9-2)i=9+7i.$
• ${\frac {11+3i}{2-3i}}={\frac {(11+7i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}}={\frac {1+47i}{13}}={\frac {1}{13}}+3{\frac {8}{13}}i.$

Два комплексних числа, які відрізняються один від одного лише знаком при уявній частині, називаються спряженими. Число, спряжене із комплексним числом $\alpha ,$ позначається $\alpha ^{*}.$ Наприклад, комплексне число $\alpha ^{*}=5+3i$ є спряженим із комплексним числом $\alpha =5-3i.$ Дійсне число $a$ є спряженим із самим собою.

Таким чином, щоб розділити комплексне число $a+bi$ на комплексне число $c+di,$ достатньо чисельник й знаменник дробу ${\frac {a+bi}{c+di}}$ помножити на число $c-di,$ яке є спряженим із знаменником.

Сума та добуток спряжених комплексних чисел є дійсними числами. Нехай $\alpha =a+bi.$ Тоді $\alpha ^{*}=a-bi.$ Одержимо:

• $\alpha +\alpha ^{*}=(a+bi)+(a-bi)=2a$;
• $\alpha \cdot \alpha ^{*}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$ (за $\alpha \neq 0$ добуток $\alpha \cdot \alpha ^{*}$ є додатним числом).

Якщо у сумі $\gamma =\alpha +\beta$ кожний доданок замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число $\gamma ^{*},$ спряжене із $\gamma .$ Зокрема, нехай $\alpha =bi$ та $\beta =c+di.$ Тоді:

• $\gamma =\alpha +\beta =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)$;
• $\alpha ^{*}+\beta ^{*}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i=\gamma ^{*}.$

Таким чином, число, спряжене із сумою двох чисел, дорівнюєсумі чисел, спряжених із доданками.

Якщо у добутку $\delta =\alpha \cdot \beta$ кожний співмножник замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число $\delta ^{*},$ спряжене із $\delta .$ Зокрема, якщо $\alpha =a+bi$ та $\beta =c+di,$ тоді:

• $\delta =\alpha \cdot \beta =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,$
• $\alpha ^{*}\cdot \beta ^{*}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i=\delta ^{*}.$

Таким чином, число, спряжене із добутком двох комплексних чисел, дорівнює добутку чисел, спряжених із співмножниками.

Якщо у різниці $\varepsilon =\alpha -\beta$ зменшуване й від'ємник замінити спряженими комплексними числами, то одержимо число $\varepsilon ^{*},$ спряжене із $\varepsilon .$ Таким чином, число, спряжене із різницею комплексних чисел $\alpha$ та $\beta ,$ дорівнює різниці чисел, спряжених із сислами $\alpha$ та $\beta .$

Якщо у частці $\mu ={\frac {\alpha }{\beta }}$ ділене та дільник замінити спряженими до них числами, то одержимо число $\mu ^{*},$ спряжене із $\mu .$ Таким чином, число, спряжене із часткою від ділення числа $\alpha$ на число $\beta ,$ дорівнює частці чисел, спряжених із числами $\alpha$ та $\beta .$

Якщо довільне число $\alpha$ виражається через комплексні числа $\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n}$ (не обо'язково різні) за допомогою додавання, віднімання, множення та ділення, то, замінюючи у цьому виразі усі числа $\beta$ спряженими, одержимо число $\alpha ^{*},$ спряжене із $\alpha .$ Запевнимося у цьому, використовуючи математичну індукцію. У виразі числа $\alpha$ через числа $\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n}$ вказано, у якому порядку виконуються операції додавання, множення, віднімання та ділення. Застосуймо одну з цих операцій до числа $\gamma _{1},$ яке виражається через числа $\beta _{i_{1}},\beta _{i_{2}},...,\beta _{i_{m}}$ та до числа $\gamma _{2},$ яке виражається через числа $\beta _{i_{m+1}},\beta _{i_{m+2}},...,\beta _{i_{n}}.$ Замінімо числа $\beta _{i_{1}},\beta _{i_{2}},...,\beta _{i_{m}}$ та $\beta _{i_{m+1}},\beta _{i_{m+2}},...,\beta _{i_{n}}$ спряженими до них числами. Тоді за індукцією числа $\gamma _{1}$ та $\gamma _{2}$ також заміняться спряженими числами $\gamma _{1}^{*}$ та $\gamma _{2}^{*},$ а відповідно, число $\alpha$ заміниться на спряжене до нього $\alpha ^{*}.$

Радикал

На основі визначення кореня пишуть $({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=.$ При цьому висловлюють теорему, за якою щоб піднести корінь до степеня, достатньо підкореневе число піднести до цього степеня, а показник кореня залишити без змін, тобто $({\sqrt[{n}]{a}})^{k}={\sqrt[{n}]{a}}^{k}.$ У випадку $k=n,$ одержуємо $({\sqrt[{n}]{a}})^{n}={\sqrt[{n}]{a}}^{n}.$ Однак у цьому випадку нічого не говориться про область застосування даної теореми, і можна дійти до висновку, що $i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {+1}}=\pm 1,$ що є невірним, оскільки $i^{2}=-1.$ Відповідно, висловлювана теорема є не завжди справедливою. Тому до даної теореми роблять зауваження про те, що мова йдеться про арифметичний корінь.

У своїй книзі "Елементи алгебри" Ейлер пише: "Точно так само, як ${\sqrt {a}},$ помножений на ${\sqrt {b}},$ дає корінь ${\sqrt {ab}},$ ми будемо мати ${\sqrt {6}}$ для значення добутку ${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-2}}$; та ${\sqrt {-4}}$ або $2$ для значення добутку ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-4}}.$ Ми бачимо, таким чином, що два уявних числа, перемножених один на одного, дають у добутку дійсне або можливе число". Далі він каже, що ${\frac {\sqrt {-4}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {4}}=2;$ ${\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {-3}}}={\sqrt {-1}}$ та що "одиниця, розділена на ${\sqrt {-1}},$ дасть ${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$ чи ${\sqrt {-1}},$ оскільки $1$ є те саме, що й ${\sqrt {1}}$".

Французький математик та викладач Луї П'єр Бурдон у книзі "Алгебра" пише: "Правила дій над кореневими величинами, справедливі для арифметичних чисел, можуть зазнати декотрих змін для чисто алгебричних виразів". Далі він говорить: "Вважаймо, наприклад, що необхідно віднайти добуток ${\sqrt {-a}}$ на ${\sqrt {-a}}$; тоді (за правилом 165) одержимо ${\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-a}}={\sqrt {a}}^{2}=\pm a$". А потім доводить, що ${\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}=-{\sqrt {ab}}$ за умови, що перед кожним з чисел ${\sqrt {-a}}$ та ${\sqrt {-b}}$ стоїть знак $+.$

Таким чином, за Ейлером ${\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}={\sqrt {ab}},$ а за Бурдоном ${\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}=-{\sqrt {ab}}$

Внаслідок багатозначності кореня втрачається сенс балакати про дії на коренями взагалі. Справді, що може означати добуток ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$? Який корінь необхідно помножити? Усі парадокси отримуються саме з того, що не враховується багатозначність кореня, підмінюючи одне значення кореня іншим. На цьому заснований відомий математичний софізм, у якому доводиться, що $2=3:$

$(2-{\frac {3}{2}})^{2}=(3-{\frac {3}{2}})^{2}$ й одержують $2-{\frac {3}{2}}=3-{\frac {3}{2}},$ звідки $2=3.$

Цей самий метод застосовується й для доказу теорем про корені. Зокрема, доказ теореми ${\sqrt[{n}]{a}}^{p}={\sqrt[{nk}]{a}}^{pk}$ проводиться наступним чином: обидві частини підносяться до одного й того ж степеня $nk,$ після чого одержуються однакові вирази $a^{pk},$ звідки робиться висновок, що числа є рівними між собою. Такий висновок можна було б зробити за єдиності кореня, однак корінь є багатозначним.

Коренем степені $n\in \mathbb {N}$ з комплексного числа $\alpha$ називається число $w,$ для якого $w^{n}=\alpha ,$ й позначається ${\sqrt[{n}]{\alpha }}.$

Нехай $\alpha =a+bi$ - довільне комплексне число. Припустімо, що квадратний корінь з числа $\alpha$ існує і дорівнвює $u+iv,$ тобто ${\sqrt {a+bi}}=u+vi.$ Тоді $(u+vi)^{2}=a+bi,$ або $(u^{2}-v^{2})+2uvi=a+bi.$ Визначмо $u$ та $v$ прирівнявши дійсні та уявні числа обох частин, внаслідок чого одержимо: ${\begin{cases}u^{2}-v^{2}=a,\\2uv=b.\end{cases}}$ Після піднесення кожного з цих рівнянь до квадрату й потім почленного їх додавання одержимо $(u^{2}+v^{2})^{2}=a^{2}+b^{2},$ звідки $u^{2}+v^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ (обераємо додатне значення кореня, оскільки числа $u$ та $v$ є дійсними, відповідно, $u^{2}+v^{2}>0$).

З рівнянь $u^{2}-v^{2}=a$ та $2uv=b$ одержуємо: ${\begin{matrix}u^{2}={\frac {1}{2}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a),\\v^{2}={\frac {1}{2}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a).\end{matrix}}$ Звідси слідує, що

$u=\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}},\quad \quad v=\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}.$

За будь-яких $a$ та $b$ підкореневі вирази у цих формулах числа є невід'ємними. Відтак усі значення $u$ та $v$ є дійсними. Для віднаходження $u+vi$ значення $u$ та $v$ не можна комбінувати довільно, оскільки у $2uv=b$ знак добутку $uv$ повинен співпадати із знаком числа $b.$ Відповідно, за $b>0$ значення $u$ та $v$ повинні мати протилежні знаки та, відповідно, радикали необхідно брати із протилежними знаками. Таким чином, якщо корінь квадратний з комплексного числа $\alpha =a+bi$ існує, то його значення визначаються формулами:

${\begin{matrix}{\sqrt {a+bi}}=\pm ({\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}+i{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}),\quad {\text{якщо}}\,b>0;\\{\sqrt {a+bi}}=\pm ({\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}),\quad {\text{якщо}}\,b<0.\end{matrix}}$

Квадрат довільного з чисел, заданих цими формулами, дорівнює $a+bi.$ Таким чином, ці числа є значеннями квадратного коленя з числа $\alpha =a+bi.$ У випадку, коли $\alpha =0,$ то ${\sqrt {\alpha }}=0.$

Таким чином, операція вилучення квадратного кореня у системі $\mathbb {C}$ завжди виконувана: якщо $\alpha =0,$ то ${\sqrt {\alpha }}=0,$ а якщо $\alpha \neq 0,$ то ${\sqrt {\alpha }}$ має у системі $\mathbb {C}$ два значення, які відрізняються один від одного лише знаком. Зокрема, квадратний корінь з від'ємного числа у системі $\mathbb {C}$ приймає два уявних значення. Справді, якщо $a<0$ та $b=0,$ то ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=-a,$ оскільки корінь ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ повинен бути додатним. Відтак $u^{2}=0$ та $v^{2}=-a,$ тобто $u=0$ та $v=\pm {\sqrt {-a}}$ та, відповідно, ${\sqrt {a}}=u+vi=\pm {\sqrt {-a}}i.$

Наприклад, розгляньмо квадратний корінь ${\sqrt {-5-12i}}=\pm ({\sqrt {\frac {{\sqrt {169}}-5}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {169}}+5}{2}}})=\pm (2-3i).$ Розгляньмо також ${\sqrt {-4}}=\pm {\sqrt {4}}i=\pm 2i.$

Цей метод вилучення квадратного кореня з комплексного числа не можна застосовувати на корені більш високого степеня, оскільки вилучити корінь вищого (більшого, ніж другого) степеня з комплексного числа у алгебричній формі неможливо. Наприклад, вже для кубічного кореня з припущення ${\sqrt[{3}]{a+bi}}=x+yi$ одержуємо систему рівнянь ${\begin{cases}x^{3}-3xy^{2}=a,\\3x^{2}y-y^{3}=b,\end{cases}}$ для вирішення якої необхідно уміти знаходити корені кубічного рівняння.

Припущення про те, що корінь непарного степеня з додатного числа має лише одне додатне значення, а корінь парного степеня з додатного числа має два значення, є невірним.

Питання про вилучення кореня будь-якого степеня $n$ з комплексного числа можна вирішити, якщо скористатися тригонометричною формою числа $\alpha .$

Геометричний зміст комплексного числа

Кожне комплексне число $z=x+iy,$ де $i$ - уявна одиниця ($i^{2}=-1$), зручно зображувати точкою $M$ площини із декартовими координатами $x,y.$ Із кожною точкою $M$ площини пов'язаний взаємно однозначно вектор $r$ із початком у точці $O$ координат (тобто проводиться від початкової точки). Такий вектор називають радіус-вектором точки $M,$ а координати точки $M$ називаються компонентами радіус-вектора. Тому комплексне число $z=a+ib$ геометрично можна зобразити за допомогою радіус-вектора із координатами $(x,y).$ Точку $(x,y)$ із декартовими координатами називають афіксом (лат. affixus - прикріплений, причеплений).

Якщо $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ та $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ - два комплексних числа, а $r_{1}$ та $r_{2}$ - відповідні їм радіус-вектори, то формули для чисел $z_{1}-z_{2}$ та $z_{1}+z_{2}$ за визначенням наступні: $z_{1}+z_{1}=(x_{1}+y_{2})+i(y_{1}+y_{2})$ та $z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).$ З правил додавання й віднімання векторів (правило паралелограму) слідує, що вектори $r_{1}+r_{2}$ та $r_{1}-r_{2}$ мають координати $x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}$ та $x_{1}-x_{2},\,y_{1}-y_{2}$ відповідно. Тому сумі й різниці комплексних чисел відповідають радіуси вектори, які є сумою та різницею радіусів-векторів, які позначають дані комплексні числа.

Число $z^{*}=x-iy$ є числом, спряженим $z=x+iy.$ Нехай $M$ є кінцем радіус-вектора $r,$ який відповідає числу $z=x+iy,$ a $M_{1}$ є кінцем радуса-вектора $r_{1},$ який відповідає спряженому $z^{*}=x-iy.$ Оскільки точки $M$ та $M_{1}$ мають відповідно координати $x,y$ та $x,-y,$ то $M_{1}$ одержується з $M$ відбиттям у осі $x.$

Нехай $z$ - декотре комплексне число та $r$ - радіус-вектор, який зображує це число. Позначмо через $|z|$ довжину вектора $r,$ а через $\varphi$ кут, відлічуваний від додатної частини осі $x$ до вектора $r$ проти годинкової стрілки. Число $|z|$ називається модулем комплексного числа, а кут $\varphi$ - його аргументом. Модуль позначають літерою $\rho ,$ а аргумент $\varphi =\mathrm {arg} \,z.$ Таким чином, для комплексного числа $z=x+iy$ одержимо $x=\rho \cos \varphi$ та $y=\rho \sin \varphi .$ Звідси $z=x+iy=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi ).$ Запис числа $z=x+iy$ у вигляді $z=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ називається тригонометричною формою комплексного числа.

Разом із кутами, відлічуваними від додатної частини осі $x$ до вектора проти годинкової стрілки, розглядають й від'ємні кути, які відлічуються від додатної частини осі $x$ до вектора $r$ за напрямком годинкової стрілки.

Якщо $z^{*}=x-iy$ - число, спряжене числу $z=x+iy=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi ),$ то $z^{*}=\rho (\cos \varphi -i\sin \varphi )=\rho (\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ))=\rho (\cos(2\pi -\varphi )+i\sin(2\pi -\varphi )).$

Тому в якості аргумента числа $z^{*}$ можна взяти будь-який з кутів $-\varphi$ чи $2\pi -\varphi .$ Оскільки синус та косинус є періодичними функціями із періодом $2\pi ,$ то значення аргумента комплексного числа $z$ визначається із точністю до цілого кратного $2\pi .$ Тому виділяють серед значень аргумента так зване головне значення, яке знаходиться в межах від нуля до $2\pi .$

Логарифм комплексного числа

За будь-яких значень числа $z$ під виразом $e^{z}$ розуміють наступну рівність: $e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{1\cdot 2}}+{\frac {z^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+...\,.$

Число $w$ називається логарифмом комплексного числа $z,$ якщо справджується наступна рівність: $e^{w}=z.$ Наприклад, нехай $z=0.$ У системі дійсних чисел $\mathbb {R}$ для будь-якого $a\in \mathbb {R}$ рівність $e^{a}=0$ є неможливою. Однак за припущення, що число $z=0$ має комплексний логарифм $w=a+bi,$ то $e^{w}=0,$ при цьому $e^{a}\cdot e^{bi}=0.$

За розгляду модулів обох частин одержимо $e^{a}=0,$ тобто повинне існувати дійсне число $a\in \mathbb {R} ,$ для якого $e^{a}=0,$ однак це неможливо. Відтак число $0$ у системі комплексних чисел $\mathbb {C}$ логарифмів не має.

Аналітична функція

Похідна $f'(z)$ функції $f(z)$ у точці $z$ визначається за формулою: $f'(z)=\lim _{d\to 0}{\frac {f(z+d)-f(z)}{d}}.$ Якщо $f(z)$ має похідну не лише у точці $z,$ але й у кожній точці з декотрого околу точки $Zz$ (декотрого кола із центром у точці $z$), то функція називається аналітичною у точці $z.$

Функція $f(z)$ називається аналітичною на множині $\mathbb {C} ,$ якщо вона є аналітичною у кожній точці $z\in \mathbb {C} .$ Наприклад, функція $f(z)=z^{2}$ має похідну у кожній точці комплексної $z$-площини (площини із точками $z$): $\lim _{d\to 0}{\frac {f(z+d)-f(z)}{d}}=\lim _{d\to 0}{\frac {(z+d)^{2}-z^{2}}{d}}=\lim _{d\to 0}(2z+d)=2z.$ Таким чином, $f'(z)=2z.$ Однак вона має похідну й у околі точки $z,$ тобто функція $z^{2}$ є аналітичною на усій комплексній $z$-площині. Функція ж $f(z)=|z|^{2}$ має похідну лише у точці $z=0.$ У цьому випадку функція $|z|^{2}$ у даній точці не є аналітичною. Не є аналітичними й функції $|z|,\,\,\mathrm {Re} \,z,\,\,\mathrm {Im} \,z.$

До аналітичних функцій відносяться раціональні функції від змінної $z$ (тобто відношення поліномів ${\frac {P(z)}{\mathbb {Q} (z)}}$) та функції, які можна визначити у деякому колі у вигляді степеневого ряду $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ чи $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.$

Основна теорема алгебри

За основною теоремою алгебри, будь-який поліном із показником степеня $n>0$ має хоча б один корінь (комплексний чи дійсний). Іншими словами, у системі $\mathbb {C}$ не лише квадратний поліном $x^{2}=a+bi,$ але й будь-який поліном $P(z),$ який не є константою, має корені. Якщо б поліном $P(z)$ не мав жодного комплексного кореня, то ${\frac {1}{P(z)}}=f(z)$ була б функцією, регулярною в усій площині комплексної змінної $z$ та обмеженою (навіть збігалася б до нуля) за $z\to \infty$ (за теоремою Ліувіля - константною). Тоді й $P(z)$ був би константою.

Геометричний зміст основної теореми алгебри

Основна теорема алгебри була доведена Гаусом у 1799 році для часткового випадку поліномів із дійсними коефіцієнтами. Математик Л.С.Понтрягін запропонував несуворий, але геометрично наочний її доказ, який полягає у наступному. На відміну від системи дійсних чисел $\mathbb {R} ,$ система комплексних чисел $\mathbb {C}$ є алгебрично замкнутою: розглядаючи корені поліномів у системі $\mathbb {C}$ не можна одержати нових чисел. Система $\mathbb {C}$ слідує з системи дійсних чисел $\mathbb {R}$ приєднанням лише одного кореня рівняння $z^{2}+1=0.$

Якщо вважати, що точка $z$ у площині $P$ комплексної змінної переміщується у часі, тоді час $t$ змінюється у межах $t_{0}\leq t\leq t_{1}.$ Таким чином можна вважати, що у площині $P$ заданий шлях. Розгляньмо функцію $z(t)$ дійсної змінної $t.$ Ця функція приймає комплексні значення, задані на відрізку $D(z)=[t_{0},t_{1}]:$

$z(t),\quad \quad t_{0}\leq t\leq t_{1}.$

Ця формула задає шлях точки $z$ без стрибків, відтак $z(t)$ є неперервною функцією. Варто відзначити, що шлях - це процес руху, а не лінія, яка описує рух точки.

У процесі руху точка $z(t)$ може у різні моменти часу повертатися у одну й тусаму точку площини, відтак можлива рівність $z(t_{2})=z(t_{3})$ за $t_{2}\neq t_{3}.$ Відтак шлях може мати самоперетин. Точка $z(t_{0})=z_{0}$ називається початком шляху, а точка $z(t_{1})=z_{1}$ - кінцем шляху. Якщо $z_{0}=z_{1},$ то шлях називається замкнутим.

Будемо вважати, що шлях не проходить через початок координат, тобто значення функції $z(t)$ не набуває значення $0$ ні за якого значення $t.$ Для будь-якого значення $t$ визначений аргумент $\varphi (t)$ комплексного числа $z(t)$ із точністю до доданка $2k\pi ,$ де $k$ є індексом замкнутого шляху у площині комплексної змінної $z.$ Індекс можна визначити лише за умови, якщо шлях не проходить через початок координат. Оберімо початкове значення аргумента $\varphi (t_{0})=\varphi _{0}.$ Якщо аргумент $\varphi (t)$ точки $z(t)$ змінюється разом із плином $t$ неперервно, то функція $\varphi (t)$ є неперервною (без стрибків). Якщо початкове значення аргумента замінити на $2k\pi ,$ то він буде відрізнятися від попереднього рівно на $2k\pi$ на протязі виміру $t.$ Таким чином, за такого задання функції $\varphi (t)$ величина $\varphi (t_{1})-\varphi (t_{0})$ є незалежною від довільного обраного початкового значення аргумента числа $z_{0}.$ Якщо точки $z_{0}$ та $z_{1}$ співпадають, то шлях замкнутий, відповідно, їх аргументи $\varphi (t_{0})$ та $\varphi (t_{1})$ можуть відрізнятися лише на $2k\pi .$ Тому у випадку замкнутого шляху різниця $\varphi (t_{1})-\varphi (t_{1})=2k\pi .$

Уведімо у розгляд поняття деформації шляху. Вважаймо, що шлях деформується, якщо він поступово змінюється без стрибків в залежності від декотрого параметра. Оберімо у площині $P$ пряму, паралельну осі $Oy.$ Ця пряма має рівняння $x=a,$ де $a$ - фіксоване число. Вважаймо, що $a\neq 0.$ Для точок прямої маємо $z=a+yi,$ де $-\infty <y<+\infty .$ Нехай $w=u+vi$ для точок площини ${\tilde {P}},$ які відповідають точкам прямої $x=a.$ Визначмо залежності $u=a^{2}-y^{2},\,v=2ay,$ де $-\infty <y<+\infty .$ Коли $y$ пробігає усі дійсні числа, то точка $w=u+vi$ опише деяку фігуру. Виключимо з останніх двох рівнянь $y,$ виразивши $y={\frac {v}{2ay}}.$ Відтак для $u=a^{2}-y^{2}$ одержимо $u=a^{2}-{\frac {v^{2}}{4a^{2}}}.$ Це рівняння задає у ${\tilde {P}}$ деяку параболу. Віссю ${\tilde {P}}$ є дійсна вісь, а гілки цієї параболи спрямовані ліворуч. Знайдімо її точки перетину із осями координат: якщо $v=0,$ то $u=a^{2}$; якщо $u=0,$ то $v^{2}=4a^{4}$ та $v=\pm 2a^{2}.$ Таким чином, функція $w=z^{2}$ деформує пряму, паралельну $Oy,$ у параболу. Множина прямих, паралельних уявній осі (тобто прямі, задані рівняннями $x=a$), перетворюється у множину парабол, чиї гілки йдуть ліворуч. За будь-якого $a\neq 0$ пряма із рівнянням $x=a$ та пряма із рівнянням $x=-a$ (вони є симетричними відносно уявної осі) переходять у одну і ту саму параболу. Із наближенням прямої $x=a$ до уявної осі (із зменшенням числа $|a|$) відповідна парабола все ближче прилягає до від'ємному променю дійсної осі.

Так само можна показати, що та сама функція $w=z^{2}$ деформує кожну пряму $y=b$ (де $b$ - деяка фіксована величина, причому $b\neq 0$) у параболу $u={\frac {v^{2}}{4b^{2}}}-b^{2}.$ У цьому випадку функція $w=z^{2}$ деформує множину прямих $y=b$ у множину парабол, гілки яких спрямовані праворуч.

Кожна парабола першої множини (із гілками ліворуч) перетинає кожну параболу другої множини (із гілками праворуч). На наступному малюнку показані параболи, у які функція $w=z^{2}$ деформує прямі, паралельні осям ординат.

Якщо числове значення комплексної змінної $w$ можна віднайти, знаючи значення іншої комплексної змінної $z,$ то змінна $w$ називається функцією змінної $z$ й записується $w=f(z).$ Якщо комплексна функція $f(z)$ комплексної змінної $z$ має похідну, то вона називається аналітичною функцією.

Розгляньмо поліном $w=f(z)=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n},$ де $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ є комплексними коефіцієнтами, а степінь полінома $n$ - невід'ємне ціле число. Головна ідея полягає у тому, щоб запевнитися, що цей поліном має корінь, тобто рівняння $f(z)=0$ за $n>0$ має рішення.

Переконаймося у існуванні такого рішення, розглянувши шлях $f[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )],$ де $\alpha \in [0,2\pi ].$ Цей шлях описує замкнутий шлях $r(\cos \alpha +i\sin \alpha ),$ де $\alpha \in [0,2\pi ].$ Він залежить від параметра $r$ та за його зміни деформується. За $r=0$ число $z$ дорівнює $0$ і шлях $f(z)$ складається із нерухомої точки $a_{n}.$ Відтак його індекс за $r=0$ дорівнює $0.$ Якщо взяти параметр $r$ достатньо великим, то цей шлях буде дорівнювати $n.$ Випадок, коли вільний член $a_{n}$ дорівнює нулю, є тривіальним, оскільки поліном $f(z)$ має відповідно корінь $f(z)=0.$ Якщо $n\neq 0,$ то за зміни числа $r\to 0,$ шлях, деформуючись, пройде за деякого значення $r$ через початок координат, а це означає, що за деякого значення $z$ поліном $f(z)$ буде рівним нулю, тобто корінь у цього полінома існує.

Продеформуймо шлях $(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ у більш простий. Для цього розкладімо поліном $f(z)$ на суму двох поліномів $f(z)=z^{n}+g(z),$ де $g(z)$ задається формулою $g(z)=a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{n-2}+...+a_{n-1}z+a_{n}.$ Оскільки коефіцієнти $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ полінома $f(z)$ є визначеними числами, то усі вони не перебільшують по модулю деяку константу $C.$ За правилом паралелограму $z_{1}+z_{2}$ - це діагональ паралелограму, побудованого на векторах $z_{1}+z_{2}.$ Звідси слідує нерівність $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|.$ За $|z|>1$ одержимо $|g(z)|\leq nc|z^{n-1}|.$

Розгляньмо поліном $f(z,s),$ який залежить від параметра $s,$ де $s\in [0,1].$ Він задається формулою $f(z,s)=z^{n}+sg(z).$ Маємо рівність $z^{n}=f(z,s)-sg(z),$ звідки $|z^{n}|\leq |f(z,s)|+|-sg(z)|\leq |f(z,s)|+nc|z^{n-1}|s\leq |f(z,s)|+nc|z^{n-1}|,$ звідки слідує $|f(z,s)|\geq |z^{n}|-nc|z^{n-1}|.$

Якщо $|z|$ позначити через $r,$ одержимо нерівність $|f(z,s)|\geq r^{n}-ncr^{-1}=r^{n-1}(r-cn).$ Відтак за $r>cn$ права частина попередньої нерівності є додатною. Відповідно, модуль функції $f(z,s)$ не набуває нульового значення за будь-якого значення параметра $s,$ якщо лише $r>cn.$

За $s=0$ поліном $f(z,s)$ перетворюється на поліном $z^{n}.$ Індекс шляху $z^{n},$ коли $z$ описує коло $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ дорівнює $n.$ За $s=1$ поліном $f(z,s)$ перетворюється на поліном $f(z),$ та замкнутий шлях $f[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )],\,\,\alpha \in [0,\,2\pi ]$, який ним описується, має індекс $n$ за $r>cn.$ Якщо вважати, що за зміни $r$ від $0$ до $cn+\varepsilon ,$ де $\varepsilon >0,$ цей шлях перетворюється у одну точку та його індекс дорівнює $0,$ а за $r=cn+\varepsilon$ його індекс дорівнює $n.$ Таким чином, у процесі зміни $r$ шлях за деякого значення $r$ проходить через початок координат, а це значить, що поліном $f(z)$ за деякого значення $z,$ $|z|\leq cn+\varepsilon ,$ набуває нульового значення.

Резольвенти

Резольвентою рівняння $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0$ степені $n,$ незвідним у системі $\mathbb {C} ,$ називається рівняння $g(x)=0$ (де $g(x)$ - поліном) таке, що приєднання одного з коренів рівняння $g(x)=0$ до системи $\mathbb {C}$ дає систему, яка містить усі корені рівняння $f(x)=0.$ Коефіцієнти алгебричного рівняння $g(x)=0$ раціонально залежать від коефіцієнтів $f(x),$ тому знання коренів рівняння $g(x)=0$ дозволяє віднайти корені $f(x)=0.$

Поняття резольвенти було уведене у зв'язку із задачею рішення довільного рівняння степені $n.$