Основні числові системи/Раціональні числа

У множині цілих чисел $\mathbb {Z}$ операція ділення не виконується. За розширення цілих чисел до раціональних $\mathbb {Q}$ керуються такими самими правилами, як і за розширення натуральних до цілих, зокрема:

система цілих чисел $\mathbb {Z}$ повинна бути підсистемою системи раціональних $\mathbb {Q}$ , тобто $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} ;$
у системі $\mathbb {Q}$ повинна виконуватися операція ділення, окрім ділення на нуль.

Раціональні числа - це множина цілих чисел та усі числа виду ${\frac {m}{n}},$ де $m\in \mathbb {Z} ,$ a $n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}.$ Для раціональних чисел справджуються наступні твердження:

якщо $a\neq 0$ та $a_{1}\neq 0,$ то ${\frac {b}{a}}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}\Leftrightarrow ba_{1}=ab_{1}$ ;
для усіх $a,b,a_{1},b_{1}\in \mathbb {Q}$ справджується $a\neq 0\land a_{1}\neq 0\Rightarrow {\frac {a}{b}}\pm {\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {ba_{1}\pm ab_{1}}{aa_{1}}}$ ;
для усіх $a,b,a_{1},b_{1}\in \mathbb {Q}$ справджується $a\neq 0\land a_{1}\neq 0\Rightarrow {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {ba_{1}}{aa_{1}}}$ ;
для усіх $a,b,a_{1},b_{1}\in \mathbb {Q}$ справджується $a\neq 0\land a_{1}\neq 0\land b_{1}\neq 0\Rightarrow {\frac {b}{a}}:{\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {ba_{1}}{ab_{1}}}$ ;
для усіх $a,b\in \mathbb {Q}$ справджується $a\neq 0\Rightarrow {\frac {-b}{a}}=-{\frac {b}{a}}$ ;
для усіх $a\in \mathbb {Q}$ та усіх $m,n\in \mathbb {Z}$ справджується $a^{m}\cdot a^{n}=a^{mn}\land (a^{m})^{n}=a^{mn}$

Систему $\mathbb {Q}$ можна впорядкувати. Вважаймо, що число $r={\frac {k}{l}},$ де $l\neq 0,$ додатним тоді, коли обидва числа $k$ та $l$ одночасно додатні або від'ємні. Інакше кажучи, число $r={\frac {k}{l}}$ будемо вважати додатним лише тоді, коли число $kl$ є додатним.

Нехай тепер раціональне число $r$ є меншим від раціонального числа $r_{1},$ а раціональне число $r_{1}$ - більше від числа $r$ (тобто $r<r_{1},$ якщо різниця $r_{1}-r$ є додатним раціональним числом). Зрозуміло, що додатні числа є більшими від $0,$ а від'ємні - менше від $0.$ Визначене таким чином відношення $<$ ("менше") є відношенням лінійного порядку. Таким чином, система раціональних чисел $\mathbb {Q}$ за допомогою відношення "менше" лінійно впорядковується. Визначене щойно відношення " $r$ менше $r_{1}$ " задовільняє наступним вимогам:

для усіх $r,r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q}$ справджується $r<r_{1}\Rightarrow r+r_{2}<r_{1}+r_{2}$ ;
для усіх $r,r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q}$ справджується $r<r_{1}\land r_{2}>0\Rightarrow rr_{2}<r_{1}r_{2}.$

Справді, якщо $r<r_{1},$ то $r_{1}-r$ дорівнює додатному числу. Тоді $(r_{1}+r_{2})-(r-r_{2})$ є додатним числом та, відповідно, $r+r_{2}<r_{1}+r_{2}.$ Якщо $r_{1}-r>0$ та $r_{2}>0,$ то число $r_{1}r_{2}-rr_{2}=(r_{1}-r)r_{2}$ також є додатним та, відповідно, $rr_{2}<r_{1}r_{2}.$ Таким чином, система $\mathbb {Q}$ із визначеним на ній відношенням "менше" є впорядкованою системою.

Дроби та їх властивості

Дробом є число виду ${\frac {a}{b}},$ де $a$ називається чисельником даного дробу, а $b$ - знаменником даного дробу.

Один торт ділиться на 4 частини - ілюстрація до дробу 1/4

Наприклад, дріб ${\frac {1}{2}}$ із чисельником $1$ та знаменником $2$ означає, що число $1$ ділиться на 2 частини (читається "одна друга"). Якщо у знаменнику покласти число $4,$ то отримаємо дріб ${\frac {1}{4}}$ (читається "одна четверта").

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне й те саме число, то результуючий дріб буде рівний початковому. Зокрема, ${\frac {a\cdot n}{b\cdot n}}={\frac {a}{b}}.$ Аналогічно, якщо чисельник і знаменник поділити на одне й те саме число, то отримаємо дріб, рівний початковому. Зокрема, ${\frac {a:n}{b:n}}={\frac {a}{b}}.$ Відтак ми можемо вважати, що ${\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$ чи ${\frac {6}{4}}={\frac {36}{24}}$ тощо.

Скоротити дріб - означає поділити чисельник і знаменник дробу на їх спільний дільник. Наприклад, дріб ${\frac {27}{25}}$ не можна скоротити, оскільки числа $27$ та $25$ не мають спільних дільників. У такому випадку дріб називають нескоротним. Зокрема, якщо чисельник і знаменник дробу - взаємно прості числа, то такий дріб є нескоротним. Наприклад, дріб ${\frac {7}{13}}$ є нескоротним. Взагалі, якщо дріб розділити на найбільший спільний дільник чисельника і знаменника, то отримаємо нескоротний дріб. Наприклад, ${\frac {4}{16}}={\frac {1}{4}}.$ Дріб ${\frac {1}{4}}$ не скорочується далі.

Зведення дробів до спільного знаменника. Нехай дані дроби ${\frac {3}{4}}$ та ${\frac {5}{6}}.$ На які числа числа потрібно помножити кожний з цих дробів, щоб їхні знаменники були однаковими? В якості таких чисел можна обрати, наприклад, $12$ та $8$ відповідно. Відтак, дроби ${\frac {3\cdot 12}{4\cdot 12}}={\frac {36}{48}}$ та ${\frac {5\cdot 8}{6\cdot 8}}={\frac {40}{48}}$ мають однакові знаменники - число $48.$ Однак при зведенні дробів до спільного знаменника зручніше зводити їх до найменошого спільного знаменника. Зокрема, замість чисел $12$ та $8$ ми могли б обрати числа $6$ та $4$ і отримали б найменший з можливих спільний знаменник для дробів ${\frac {3}{4}}$ та ${\frac {5}{6}},$ зокрема ${\frac {18}{24}}$ та ${\frac {20}{24}}.$

Щб звести дроби до спільних знаменників можна користуватися наступною послідовністю дій:

знайти НСК знаменників даних дробів;
- віднайти додаткові множники для кожного з дробів окремо, поділивши спільний знаменник на знаменники даних дробів;
  - помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

Розгляньмо дроби ${\frac {5}{4}}$ та ${\frac {7}{6}}.$ НСК(4; 6) $=12.$ Розділимо $12$ на кожний із знаменників даних дробів: $12:4=3$ та $12:6=2.$ Множником дробу ${\frac {5}{4}}$ є число $3,$ а множником дробу ${\frac {7}{6}}$ є число $2.$ Зведімо дані дроби до спільного знаменника: ${\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}={\frac {15}{12}}$ й ${\frac {7\cdot 2}{6\cdot 2}}={\frac {14}{12}}.$

Щоб порівняти два дроби, їх спочатку потрібно звести до спільного знаменника, а потім порівняти їх числельники. Наприклад, нас може цікавити питання про те, який з дробів ${\frac {5}{4}}$ та ${\frac {7}{6}}$ є більшим. Зводячи їх до спільного знаменника й порівнюючи чисельники $15>14$ (або $14<15$ ) можна переконатися у тому, що ${\frac {5}{4}}>{\frac {7}{6}}$ чи, навпаки, ${\frac {7}{6}}<{\frac {5}{4}}.$ Зрозуміло також, що $-{\frac {32}{7}}<{\frac {2}{7}},$ оскільки дріб $-{\frac {32}{7}}$ є від'ємним.

Розгляньмо приклад:

Розмістимо наступні дроби у порядку зростання: ${\frac {1}{12}};\,{\frac {5}{12}};{\frac {12}{12}};\,{\frac {18}{24}};\,{\frac {5}{3}};\,{\frac {4}{12}};\,{\frac {10}{12}}.$ Звернімо увагу на те, що частина наведених дробів мають однакові знаменники; зведімо інші дроби до спільного знаменника $12.$ Отримаємо: ${\frac {18}{24}}={\frac {18:2}{24:2}}={\frac {9}{12}};\,\,\,\,{\frac {5}{3}}={\frac {5\cdot 4}{3\cdot 4}}={\frac {20}{12}}.$ Тепер розташуймо у ланцюг виділені дроби: ${\frac {1}{12}}<{\frac {4}{12}}<{\frac {9}{12}}<{\frac {10}{12}}<{\frac {12}{12}}<{\frac {20}{12}}.$ Ми отримали лінійно впорядковану множину, мінімальним елементом якої є дріб ${\frac {1}{12}},$ а максимальним - дріб ${\frac {20}{12}}.$

Масштаб

Щоб по зображенню мати уяву про розміри й положення у просторі якого-небудь предмета, потрібно, щоб це зображення мало наступні властивості:

зворотність - властивість зображення, яке дозволяє по ньому однозначно встановити реальну форму, розміри предмета та його положення у просторі;
наочність - властивість зображення, яке викликає в уяві спостерігача просторові уявлення про предмет; найкращою формою наочності є натуральність; зорове судження про предмет по його натуральному зображенню є близьким до того, яке виникає за розгляду самого предмету у натурі;
єдиність умовностей, прийнятих при виконанні зображення; ці конвенції (домовленості) повинні бути такими, щоб кожний спеціаліст міг "прочитати" зображення, виконане іншою особою.

Карта є прикладом малюнку, який містить відомості про просторове розташування об'єктів. Щоб скласти карту навіть невеличкого села із перенесенням на неї усіх відстаней між нерухомими об'єктами з їх розмірами потрібно було б багато паперу. Тому при складанні карт малюють зменшене кратно зображення і при цьому обов'язково вказують масштаб, тобто у скільки разів було зменшене зображення із збереженням усіх відстаней, щоб за необхідності можна було здійснити виміри по цій карті. При цьому один сантиметр на малюнку може означати 100 метрів (або більше) у натурі. При цьому пишуть ${\frac {1}{10\,000}}$ або $1:10\,000$ см (один сантиметр до десяти тисяч сантиметрів). Відношення довжини лінії з малюнку до її справжньої довжини у натурі називається масштабом. Відтак, у випадку, якщо лінія на малюнку дорівнює 1 м, а у натурі 1 км (1000 метрів), то масштаб буде складати $1:1000$ м. Варто враховувати, що зображення може бути й більшим за реальний об'єкт, особливо, якщо цей об'єкт у натурі мікроскопічного розміру.

Масштаби можна порівнювати. Більш крупним є той масштаб, у якого знаменник менший. Наприклад, масштаб $1:10\,000$ крупніший, ніж масштаб $1:100\,000.$ Відтак, ${\frac {1}{10\,000}}>{\frac {1}{100\,000}}.$

Дії над дробами

У дробі ${\frac {a}{b}}$ чисельник може бути або меншим від знаменника $a<b,$ або рівним знаменнику $a=b,$ або більшим від нього $a>b.$ В залежності від значень чисельників й знаменників дроби діляться на правильні й неправильні. Дріб, чисельник якого є меншим від знаменника, тобто $a<b,$ називається правильним; дріб, у якому чисельник більший від знаменника, тобто $a>b,$ або рівний знаменнику, $a=b,$ називається неправильним. Розгляньмо дві групи дробів: першу

${\frac {1}{3}},\quad \quad {\frac {3}{5}},\quad \quad {\frac {4}{7}},\quad \quad {\frac {2}{3}},$

та другу

${\frac {7}{7}},\quad \quad -{\frac {24}{6}},\quad \quad {\frac {32}{28}},\quad \quad {\frac {12}{9}}.$

Перша група складається з правильних дробів (чисельник є меншим від знаменника); друга група складається з неправильних дробів (чисельник більший від знаменника або дорівнює йому). Можна помітити, що серед дробів другої групи є такі неправильні дроби, що в результаті виконання дії діленя чисельника на знаменник ми отримаємо цілі числа. Зокрема, такими дробами є дроби ${\frac {7}{7}}=1,\,\,\,-{\frac {24}{6}}=(-24):6=-4.$ У випадку із іншими неправильними дробами, тобто ${\frac {32}{28}}$ та ${\frac {12}{9}},$ необхідно вдаватися до ділення із остачею. Зокрема, можна здійснити ділення ${\frac {32}{28}}$ наступним чином: ${\frac {32-4}{28}}+{\frac {4}{28}}=1+{\frac {1}{7}}.$ Так само у випадку із неправильним дробом ${\frac {24}{9}}$ маємо ${\frac {24-6}{9}}+{\frac {6}{9}}={\frac {18}{9}}+{\frac {6}{9}}=2+{\frac {2}{3}}.$ У цих обох прикладах ми виділили цілі частини $1$ та $2$ неправильного дробу - неповні частки. Дробові лишкові доданки ${\frac {1}{7}}$ та ${\frac {2}{3}}$ - остачі від неповного ділення. В загальному, для дробу ${\frac {a}{b}},$ де $b\leq a,$ маємо неповну частку $k={\frac {a-r}{b}}$ (ділення чисельника, зменшеного на остачу $r,$ на знаменник) та лишковий доданок ${\frac {r}{b}},$ тобто $k+{\frac {r}{b}}.$ Зворотне перетворення здійснюється наступним чином: ${\frac {k\cdot b+r}{b}}={\frac {a}{b}}.$ Наприклад, для дробу ${\frac {8}{3}}$ матимемо $k={\frac {\overbrace {8} ^{a}-\overbrace {2} ^{r}}{\underbrace {3} _{b}}}+{\frac {\overbrace {2} ^{r}}{\underbrace {3} _{b}}};$ здійснюючи обчислення, отримуємо ${\frac {8}{3}}={\frac {8-2}{3}}+{\frac {2}{3}}=2+{\frac {2}{3}}.$ Зворотне перетворення: ${\frac {\overbrace {2} ^{k}\cdot \overbrace {3} ^{b}+\overbrace {2} ^{r}}{\underbrace {3} _{b}}}={\frac {8}{3}}.$

Отже, щоб виділити цілу частину (неповну частку) з неправильного дробу ${\frac {a}{b}}$ , необхідно поділити чисельник $a$ , зменшений на остачу $r$ , тобто $a-r,$ на знаменник $b$ ; одержана неповна частка $k={\frac {a-r}{b}}$ буде цілою частиною, яка у сумі із лишковим дробовим доданком ${\frac {r}{b}}$ дорівнюють даному дробові ${\frac {a}{b}}.$

Навпаки, якщо у чисельнику знаменник $b$ помножити на неповну частку $k$ та до отриманого добутку додати остачу $r$ , а знаменник залишити тим самим $b,$ то дістанемо неправильний дріб ${\frac {a}{b}}$ .

Важливо зауважити, що дріб із виділеною цілою частиною записують без знаку додавання; зокрема, дріб $3+{\frac {7}{10}}$ записується просто $3{\frac {7}{10}}.$ Тобто ціла частина завжди записується ліворуч, а лишковий дробовий доданок - праворуч від цілої частини.

Додавання дробів та віднімання дробів

Щоб додати (або відняти) два дроби з різними знаменниками, необхідно звести ці дроби до спільного знаменника, а потім застосувати правило додавання (віднімання) дробів із рівними знаменниками.

Наприклад, розгляньмо суму дробів ${\frac {4}{9}}$ та ${\frac {4}{5}}.$ Знайдімо ${\frac {4}{9}}+{\frac {4}{5}}.$ Спільний знаменник цих дробів дорівнює $45.$ Одержуємо: ${\frac {4\cdot 5}{9\cdot 5}}+{\frac {4\cdot 9}{5\cdot 9}}={\frac {20+36}{45}}={\frac {56}{45}}=1{\frac {11}{45}}.$

Розгляньмо різницю дробів ${\frac {3}{7}}$ та ${\frac {1}{2}}.$ Знайдімо ${\frac {3}{7}}-{\frac {1}{2}}.$ Спільний знаменник цих дробів дорівнює $14.$ Одержуємо: ${\frac {6-7}{14}}=-{\frac {1}{14}}.$

Для дробів справджуються наступні властивості додавання:

переставна властивість: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}$ ;
сполучна властивість: $({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})+{\frac {p}{q}}={\frac {a}{b}}+({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}).$

Розгляньмо декілька прикладів:

$4{\frac {5}{12}}+2{\frac {3}{4}}=4{\frac {5}{12}}+2{\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}=4{\frac {5}{12}}+2{\frac {9}{12}}=6{\frac {14}{12}}=6{\frac {7}{6}}=7{\frac {1}{6}}$ ;
$4{\frac {1}{6}}-2{\frac {4}{9}}=5{\frac {1\cdot 3}{6\cdot 3}}-2{\frac {4\cdot 2}{9\cdot 2}}=5{\frac {3}{18}}-2{\frac {8}{18}}=4{\frac {21}{18}}-2{\frac {8}{18}}=2{\frac {13}{18}}$ ;
${\frac {3a}{8b}}-{\frac {a}{5b}}={\frac {15a-8a}{40b}}={\frac {7a}{40b}}$ ;
${\frac {11x}{14y}}+{\frac {z}{21y}}={\frac {3\cdot 11x}{3\cdot 14y}}+{\frac {2\cdot z}{2\cdot 21y}}={\frac {33x+2z}{42y}}.$

Множення дробів

Щоб помножити дріб на ціле число, необхідно його чисельник помножити на це число, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, $0\cdot {\frac {15}{20}}={\frac {15\cdot 0}{20}}={\frac {0}{20}}=0.$ Зрозуміло, що число $0$ не містить частин (не може бути розбитим на $20$ частин діленням на число $20$ ). Використовуючи літери, можна записати правило множення дробів на числа: ${\frac {a}{b}}\cdot m={\frac {a\cdot m}{b}}.$ Для $m=0$ будемо мати $0\cdot {\frac {a}{b}}=0.$ Так само ${\frac {a}{b}}\cdot 0=0.$ Розгляньмо декілька прикладів:

${\frac {5}{6}}\cdot -5=-{\frac {25}{6}}=-4{\frac {1}{6}};$
$(-{\frac {12}{7}})\cdot (-7)={\frac {84}{7}}=12;$
$(-3)\cdot (4+2):7={\frac {(-3)\cdot 4+(-3)\cdot 2}{7}}=-{\frac {18}{7}}=-2{\frac {4}{7}}.$

При множенні двох дробів перемножуються їхні чисельники та знаменники. Іншими словами, добуток двох дробів представляє собою дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник - добутку знаменників. Зокрема, ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}.$ При цьому варто зауважити, що множення дробів підпорядковується комутативному, асоціативному та дистрибутивному законам:

переставний закон: ${\frac {x}{y}}\cdot {\frac {w}{z}}={\frac {w}{z}}\cdot {\frac {x}{y}};$ наприклад, ${\frac {5}{6}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {5\cdot 2}{6\cdot 3}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 6}}={\frac {10}{18}};$
сполучний закон: ${\frac {a}{b}}({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {w}{z}})=({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}})\cdot {\frac {w}{z}};$ наприклад, ${\frac {2}{5}}\cdot ({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{7}})=({\frac {2}{5}}\cdot {\frac {1}{2}})\cdot {\frac {4}{7}}={\frac {2\cdot 1\cdot 4}{5\cdot 2\cdot 7}}={\frac {8}{70}};$
розподільний закон: ${\frac {a}{b}}\cdot ({\frac {c}{d}}+{\frac {w}{z}})={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}+{\frac {a\cdot w}{b\cdot z}};$ наприклад, ${\frac {2}{3}}\cdot ({\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}})=({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}})\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {2\cdot 1\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 4}}={\frac {6}{24}}={\frac {1}{4}}.$

Ділення дробів

Щоб розділити один дріб на другий, необхідно діене помножити на число, обернене до дільника. Засосовуючи літери, це можна записати наступним чином:

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.$

Необхідно відзначити, що $1:{\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}$ та $0:{\frac {a}{b}}=0.$ На нуль ділити не можна.

Розгляньмо декілька прикладів:

${\frac {4}{21}}:{\frac {12}{7}}={\frac {\not {4}^{1}}{21}}\cdot {\frac {7}{\not {12}^{3}}}={\frac {1\cdot \not {7}^{1}}{\not {21}^{3}\cdot 3}}={\frac {1\cdot 1}{3\cdot 3}}={\frac {1}{9}}$ ;
${\frac {3}{7}}:1{\frac {1}{5}}={\frac {3}{7}}:{\frac {6}{5}}={\frac {1}{7}}\cdot {\frac {5}{2}}={\frac {5}{14}}$ .

Раціональні вирази

Вирази, які містять додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня із натуральним показником чисел та змінних, називаються раціональними. У випадку, коли раціональний вираз не містить ділення на вираз із змінною, його називають цілим, у протилежному випадку - дробовим. Серед виразів

$2x+y^{2},\quad \quad {\frac {7b(a+3)}{12}},\quad \quad {\frac {a}{13}},\quad \quad x^{3}-2x,\quad \quad {\frac {2h-g}{z-14z}},\quad \quad x^{2}+axy+{\frac {1}{x}}$

вирази $2x+y^{2},\,\,{\frac {7b(a+3)}{12}},\,\,{\frac {a}{13}},\,\,x^{3}-2x$ є цілими раціональними, а вирази ${\frac {2h-g}{z-14z}},\,\,x^{2}+axy+{\frac {1}{x}}$ - дробово-раціональні.

Тотожно рівними є вирази, якщо за усіх припустими значень змінних значення цих виразів є рівними. Наприклад, тотожно рівними є вирази $2a^{2}-18$ та $(2a+6)(x-3).$

Раціональним дробом називається вираз ${\frac {P_{1}}{P_{2}}},$ де $P_{1}$ та $P_{2}$ - поліноми. Якщо чисельник й знаменник раціонального дробу помножити чи поділити на поліном $P_{3}$ (відмінний від нуль-полінома, $P_{3}\neq 0$ ), то отримаємо дріб, який є тотожно рівним даному: ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {P_{1}\cdot P_{3}}{P_{2}\cdot P_{3}}},$ де $P_{3}\neq 0.$

Дії над раціональними виразами

На основі властивості дробу скорочуватися (ділення чисельника та знаменника на спільний множник) можно скорочувати й раціональні вирази. Щоб скоротити дріб, необхідно спершу чисельник й знаменник розкласти на множники. Зокрема, розгляньмо дріб ${\frac {12-3a^{2}}{15a+30}}.$ Застосовуючи основну властивість дробу, одержимо: ${\frac {12-3a^{2}}{15a+30}}={\frac {3(4-a^{2})}{15(a+2)}}={\frac {3(2-a)(2+a)}{15(2+a)}}={\frac {2-a}{5}}.$

Для зведення дробів до спільного знаменника потрібно:

розкласти на множники знаменники дробів;
- віднайти спільний знаменник за внесення до нього усіх різних множників у найвищих степенях, у яких вони входять до розкладів знаменників;
  - віднайти додатковий множник для кожного дробу (при цьому спільник знаменник необхідно розділити на знаменник дробу);
    - помножини чисельник та знаменник кожного дробу на знайдений додатковий множник.

Для того, щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно для початку звести їх до спільного знаменника. Зокрема, розгляньмо різницю ${\frac {x^{2}-2y}{x^{2}-y^{2}}}-{\frac {x}{x+y}}.$ Одержуємо: ${\frac {x^{2}-2y}{x^{2}-y^{2}}}-{\frac {x}{x+y}}={\frac {x^{2}-2y}{(x-y)(x+y)}}-{\frac {x}{x+y}}={\frac {x^{2}-2y}{(x-y)(x+y)}}-{\frac {x(x-y)}{(x-y)(x+y)}}={\frac {x^{2}-2y-x^{2}+xy}{(x-y)(x+y)}}={\frac {-2y+xy}{x^{2}-y^{2}}}.$

Добутком двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник - добутку знаменників. Зокрема, розгляньмо добуток двох дробів ${\frac {2x^{2}}{y}}$ та ${\frac {y}{8xz}}.$ Одержимо: ${\frac {2x^{2}}{y}}\cdot {\frac {y}{8xz}}={\frac {2x^{2}\cdot y}{y\cdot 8xz}}={\frac {x}{4z}}.$

Тепер розділимо ${\frac {2x^{2}}{y}}$ на ${\frac {y}{8xz}}.$ Одержимо: ${\frac {2x^{2}}{y}}:{\frac {y}{8xz}}={\frac {2x^{2}}{y}}\cdot {\frac {8xz}{y}}={\frac {16x^{3}z}{y^{2}}}.$

Щоб піднести до степеня із цілим показником раціональний дріб, необхідно піднести чисельник й знаменник до цього степеня. Зокрема, $({\frac {P_{1}}{P_{2}}})^{m}={\frac {P_{1}^{m}}{P_{2}^{m}}}.$ Наприклад, $({\frac {2z+7h}{y^{4}}})^{2}={\frac {(2z+7h)^{2}}{(y^{4})^{2}}}={\frac {4z^{2}+49h^{2}}{y^{8}}}.$