Зовнішня кривина

Означення нового тензора

Порівняємо дві формули для тензора Рімана. Перша виражається через скалярні добутки векторів повної кривини:

$(1)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})$

Друга виражається через симетричний тензор внутрішньої кривини:

$(2)\qquad R_{ijkl}={1 \over 3}\left(S_{ikjl}-S_{iljk}\right)$

Ці формули наводять на думку розглянути детальніше різницю:

$(3)\qquad X_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-{1 \over 3}S_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-{1 \over 3}\left(R_{ikjl}+R_{iljk}\right)=$

$\qquad ={1 \over 3}\left(3(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-\left((\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})\right)-\left((\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})\right)\right)={1 \over 3}\left((\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})+(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})+(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})\right)$

Формула для кривини геодезичної лінії

Із формули (3) легко бачити, що тензор $X_{ijkl}$ симетричний по всіх індексах. Маємо такий розклад скалярного добутку векторів повної кривини:

$(4)\qquad (\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})=X_{ijkl}+{1 \over 3}S_{ijkl}$

Для вектора кривини $\mathbf {k}$ геодезичної лінії з одиничним напрямним вектором дотичної ${\boldsymbol {\tau }}$ ми мали таку формулу:

$(5)\qquad \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}$

Піднесемо (5) до квадрата:

$(6)\qquad \mathbf {k} ^{2}=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}=X_{ijkl}\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}+{1 \over 3}S_{ijkl}\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}$

Останній доданок у формулі (6) перетворюється на нуль внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі для симетричного тензора внутрішньої кривини:

$(7)\qquad S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}=0$

Остаточно знаходимо, що квадрат кривини геодезичної лінії обчислюється наступною формою четвертого степеня:

$(8)\qquad \mathbf {k} ^{2}=X_{ijkl}\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}$

Оскільки у внутрішній геометрії многовида геодезична лінія має нульову кривину, то формула (8) відноситься виключно до зовнішньої геометрії. Це дає підставу називати тензор $X_{ijkl}$ тензором зовнішньої кривини.

Зміна кривини геодезичної лінії

Ми можемо, рухаючись вздовж по геодезичній лінії, взяти похідну від формули (8) по натуральному параметру $s$. Враховуючи формулу для похідної одиничного напрямного вектора:

$(9)\qquad {d\tau ^{i} \over ds}=-\Gamma _{ps}^{i}\tau ^{p}\tau ^{s}$

Одержуємо після диференціювання добутку правої частини (8), і перейменування індексів в одержаних доданках:

$(10)\qquad {d\mathbf {k} ^{2} \over ds}=\left(\nabla _{p}X_{ijkl}\right)\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}$

Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент

Для формули (4) ми можемо написати як кількість лінійно незалежних компонент скалярних добутків векторів повної кривини розпадається на два доданки:

$(11)\qquad C_{n(n+1) \over 2}^{2}=C_{n+3}^{4}+{n^{2}(n^{2}-1) \over 12}$

Перший доданок відповідає кількості лінійно незалежних компонент симетричного тензора зовнішньої кривини, а другий — тензора внутрішньої кривини.

Нерівності

Скалярні добутки векторів задовольняють нерівності, які виражають невід'ємність визначників Грамма. Із них слідують такі нерівності за участю тензорів зовнішньої та внутрішньої кривин:

Координатні (компонентні) нерівності

Невід'ємність скалярного квадрата вектора дає (в цій та наступній формулах однакові індекси не підсумовуються):

$(12)\qquad (\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{ij})=X_{ijij}+{1 \over 3}S_{ijij}=X_{iijj}+{1 \over 3}R_{ijij}\geq 0$

Для визначника Грамма другого порядку маємо складнішу нерівність:

$(13)\qquad {\begin{vmatrix}(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{ij})&(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})\\(\mathbf {b} _{kl}\cdot \mathbf {b} _{ij})&(\mathbf {b} _{kl}\cdot \mathbf {b} _{kl})\end{vmatrix}}=\left(X_{iijj}+{1 \over 3}R_{ijij}\right)\left(X_{kkll}+{1 \over 3}R_{klkl}\right)-\left(X_{ijkl}+{1 \over 3}S_{ijkl}\right)^{2}\geq 0$

і аналогічно можна писати нерівності для визначників Грамма вищих порядків, до порядку $N={n(n+1) \over 2}$ включно. Визначники порядку більше $N$ тотожно дорівнюють нулю, оскільки пари індексів в рядках і стовпцять будуть повторюватися.

Відмітимо, що у випадку гіперповерхні вектори $\mathbf {b} _{ij}$ для всіх пар індексів паралельні між собою, а тому нерівність (13) перетворюється на рівняння. Аналогічно ми одержимо рівняння третього степеня між внутрішньою та зовнішньою кривинами, якщо розмірність охоплюючого евклідового простору буде на два більша за розмірність многовида, і так далі…

Скалярні нерівності

Усереднимо формулу (8) по всіх напрямках одиничних векторів ${\boldsymbol {\tau }}$. Скористаємося обчисленнями із статті Середня кривина многовида у точці — середнє значення добутку чотирьох компонент одиничного вектора дорівнює:

$(14)\qquad <\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>={1 \over n(n+2)}\left(g^{ij}g^{kl}+g^{jk}g^{il}+g^{ki}g^{jl}\right)$

Тоді усереднення формули (8) дає:

$(15)\qquad <\mathbf {k} ^{2}>={1 \over n(n+2)}X_{ijkl}\left(g^{ij}g^{kl}+g^{jk}g^{il}+g^{ki}g^{jl}\right)={3 \over n(n+2)}X$

де ми позначили

$(16)\qquad X=g^{ij}g^{kl}X_{ijkl}$

Отже з формули (15) слідує перша скалярна нерівність:

$(17)\qquad X\geq 0$

причому рівність досягається тільки на плоских многовидах (афінних підпросторах). Зазначимо принагідно, що метричний тензор зявився в формулі (14) внаслідок усереднення $\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}$ по гіперсфері в дотичному до многовиду лінійному просторі. Якщо ж проводити усереднення по еліпсоїду, що еквівалентно вибору іншого метричного тензора $a_{ij}$ — довільної додатньо-визначеної матриці, то одержимо наступний результат: квадратична форма

$(18)\qquad X_{ijkl}a^{ij}a^{kl}\geq 0$

невід'ємна на множині додатньо-визначених матриць $a^{ij}$.

Тепер перейдемо до усереднення визначника Грамма другого порядку. Нехай ми маємо два одиничних вектора $\tau ^{i},\,{\tilde {\tau }}^{i}$. Відповідні вектори кривини геодезичних дорівнюють:

$(19)\qquad \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j},\qquad {\tilde {\mathbf {k} }}=\mathbf {b} _{ij}{\tilde {\tau ^{i}}}{\tilde {\tau ^{j}}}$

З цих векторів складаємо (невідємний) визначник Грамма:

$(20)\qquad {\begin{vmatrix}\mathbf {k} ^{2}&(\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})\\({\tilde {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {k} )&{\tilde {\mathbf {k} }}^{2}\end{vmatrix}}=\mathbf {k} ^{2}{\tilde {\mathbf {k} }}^{2}-(\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})^{2}=(X_{ijkl}X_{pqrs}-(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{pq})(\mathbf {b} _{kl}\cdot \mathbf {b} _{rs}))\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}{\tilde {\tau }}^{p}{\tilde {\tau }}^{q}{\tilde {\tau }}^{r}{\tilde {\tau }}^{s}\geq 0$

Тепер усереднимо нерівність (20) спочатку по $\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}$, а потім по ${\tilde {\tau }}^{p}{\tilde {\tau }}^{q}{\tilde {\tau }}^{r}{\tilde {\tau }}^{s}$. Скориставшись фомулами (4) і (14) після деяких обчислень приходимо до формули:

$(21)\qquad \left(X+{2 \over 3}R\right)^{2}+\left(X_{ij}+{2 \over 3}R_{ij}\right)\left(X^{ij}+{2 \over 3}R^{ij}\right)+4X_{ijkl}X^{ijkl}+{4 \over 3}R_{ijkl}R^{ijkl}\leq 9X^{2}$

З цієї формули зокрема видно, що при нульовій зовнішній кривині внутрішня кривина також дорівнює нулю.