Симетричний тензор внутрішньої кривини

Означення

Роззглянемо наступний тензор, складений з компонент тензора Рімана:

$(1)\qquad S_{ijkl}=R_{ikjl}+R_{iljk}$

Очевидно, що цей тензор симетричний відносно перестановки останніх двох індексів $(kl)$ — при цьому два доданки в формулі (1) просто міняються місцями.

Неважко також перевірити, що цей тензор симетричний і по першій парі індексів $(ij)$, оскільки тензор Рімана не змінюється при перестановці своїх двох пар індексів між собою:

$(2)\qquad S_{jikl}=R_{jkil}+R_{jlik}=R_{iljk}+R_{ikjl}$

Отже:

$(3)\qquad S_{ijkl}=S_{ijlk}=S_{jikl}$

Так само легко перевірити, що нововведений тензор симетричний відносно перестановки пар індексів:

$(4)\qquad S_{ijkl}=S_{klij}$

Цей тензор назвемо симетричним тензором внутрішньої кривини, оскільки як це слідує з наступного пункту, він містить стільки ж інформації про внутрішню кривину, як і тензор Рімана

Знаходження тензора Рімана через симетричний тензор внутрішньої кривини

Розглянемо різницю:

$(5)\qquad S_{ikjl}-S_{iljk}=(R_{ijkl}+R_{ilkj})-\left(R_{ijlk}+R_{iklj}\right)=3R_{ijkl}+\left(R_{ilkj}+R_{ikjl}+R_{ijlk}\right)$

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі останній вираз у дужках перетворюється в нуль, і ми одержуємо:

$(6)\qquad R_{ijkl}={1 \over 3}\left(S_{ikjl}-S_{iljk}\right)$

Повна симетризація

Утворимо з тензора $S_{ijkl}$ суму трьох доданків, циклічно переставляючи три перші індекса, аналогічно до виразу в алгебраїчній тотожності Біанкі:

$(7)\qquad \Sigma _{ijkl}=S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}$

Враховуючи симетрії (3) і (4), легко показати, що одержаний тензор $\Sigma _{ijkl}$ буде симетричним по всіх індексах (наприклад при перестановці індексів $(ij)$ перший доданок у формулі (7) залишиться на місці, а другий і третій поміняються місцями).

З іншого боку, суму в формулі (7) ми можемо легко обчислити, користуючись означенням (1):

$(8)\qquad S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}=R_{ikjl}+R_{iljk}+R_{jikl}+R_{jlki}+R_{kjil}+R_{klij}$

Але остання сума дорівнює нулю внаслідок симетрій тензора Рімана (перший доданок компенсується з четвертим, другий з пятим, і третій з шостим). Тобто одержуємо повний аналог алгебраїчної тотожності Біанкі, але цього разу для симетричного тензора:

$(9)\qquad S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}=0$

Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини

Маючи на увазі симетрії (3), (4) знаходимо кількість симетричних пар індексів (вибірка двох чисел із $n$ можливих з повтореннями):

$(10)\qquad \alpha =C_{n+1}^{2}={n(n+1) \over 2}$

Тоді кількість чисельно різних компонент тензора дається формулою (симетрія щодо перестановки пар індексів):

$(11)\qquad \beta =C_{\alpha +1}^{2}={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n+1)(n^{2}+n+2) \over 8}$

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями (9). Кількість цих залежностей дорівнює кількості різних компонент повністю симетричного тензора $\Sigma _{ijkl}$, тобто:

$(12)\qquad \gamma =C_{n+3}^{4}={n(n+1)(n+2)(n+3) \over 24}$

Віднімаючи (12) від (11), одержуємо кількість лінійно незалежних компонент тензора $S_{ijkl}$:

$(13)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n+1) \over 24}(3n^{2}+3n+6-(n^{2}+5n+6))={n^{2}(n^{2}-1) \over 12}$

Як і очікувалось, ми одержали те саме число, що і в підрахунках через тензор Рімана (див. Алгебраїчна тотожність Біанкі)

Порівняння з тензором Рімана

Оскільки симетричний тензор внутрішньої кривини пов'язаний з тензором Рімана простими рівняннями (1) і (6), то зв'язок з іншими величинами диференціальної геометрії по складності приблизно такий же, в деяких випадках формули дещо складніші, як у виразі через символи Крістофеля:

$(14)\qquad S_{\;ijk}^{s}=R_{\;jik}^{s}+R_{\;kij}^{s}=2\partial _{i}\Gamma _{jk}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}+2\Gamma _{jk}^{p}\Gamma _{pi}^{s}-\Gamma _{ji}^{p}\Gamma _{pk}^{s}-\Gamma _{ki}^{p}\Gamma _{pj}^{s}$

Але тензор $S_{ijkl}$ виявляється доречнішим при розгляді питання про поділ повної кривини многовида, вміщеного в евклідовий простір, на внутрішню та зовнішню кривини.