Середня кривина многовида у точці

Середня арифметична кривина

Усереднюючи формулу (1) в декартовій системі координат, маємо:

$(3)\qquad <\mathbf {k} >={\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>$

Якщо $i\neq j$, то середнє значення добутку $<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>$ дорівнюватиме нулю, оскільки при фіксованій координаті ${\tilde {\tau }}^{i}$, координата ${\tilde {\tau }}^{j}$ (на одиничній сфері) в однаковій мірі набуває додатніх і від'ємних значень. Якщо ж $i=j$, то при всіх індексах $i$ середнє значення довутку дорівнює одному й тому ж числу: $\alpha =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}>$ (в цій формулі нема додавання по індексах). Тепер ми можемо обчислити формулу (3):

$(4)\qquad <\mathbf {k} >={\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}\alpha \delta ^{ij}=\alpha {\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}{\tilde {g}}^{ij}$

Постійну $\alpha$ знаходимо, взявши до уваги, що вектор ${\tilde {\tau }}^{i}$ одиничний (формула (2)):

$(5)\qquad {\tilde {g}}_{ij}<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>=\delta _{ij}\alpha \delta ^{ij}=n\alpha =1$

$(6)\qquad \alpha ={1 \over n}$

Тепер, враховуючи інваріантність (відносно заміни координат) тензорної операції згортки по індексам, маємо середню арифметичну кривину многовида:

$(7)\qquad \mathbf {H} =<\mathbf {k} >={1 \over n}{\tilde {g}}^{ij}{\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}={1 \over n}g^{ij}\mathbf {b} _{ij}={1 \over n}\mathbf {b} _{i}^{i}$

Середня квадратична кривина

Піднесемо вираз (1) до квадрата, при цьому зробимо заміну індексів, щоб не повторювались, і результат усереднимо:

$(8)\qquad <\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} >=<\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}\cdot \mathbf {b} _{kl}\tau ^{k}\tau ^{l}>=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})<\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>$

Обчислення робимо в спеціальній (декартовій) системі координат. Якщо якийсь індекс $i$ входить в добуток ${\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{k}{\tilde {\tau }}^{l}$ непарну кількість разів (один раз або три рази), то при усередненні (як і раніше) ми одержимо нуль. Маємо дві серії ненульових довутків, які ми позначимо буквами $\beta ,\gamma$:

$(9)\qquad \beta =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}>=<({\tilde {\tau }}^{i})^{4}>$

$(10)\qquad \gamma =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{j}>=<({\tilde {\tau }}^{i})^{2}({\tilde {\tau }}^{j})^{2}>,\qquad (i\neq j)$

Ми можемо встановити зв'язок між $\beta$ і $\gamma$, помітивши, що $\beta$ є усередненням четвертої степені від проекції точок одиничної сфери на одну з координатних осей. Але сфера є симетричною фігурою стосовно поворотів, тому ця властивість буде і щодо проекції на будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат.
Знайдемо проекцію точки з координатами ${\tilde {\tau }}^{1},{\tilde {\tau }}^{2},...{\tilde {\tau }}^{n}$ на бісектрису кута між двома (одиничними і ортогональними) напрямними векторами осей координат ${\tilde {\mathbf {r} }}_{i},{\tilde {\mathbf {r} }}_{j}$. Напрямний вектор цієї бісектриси дорівнює:

$(11)\qquad {\tilde {\mathbf {n} }}={{\tilde {\mathbf {r} }}_{i}+{\tilde {\mathbf {r} }}_{j} \over {|{\tilde {\mathbf {r} }}_{i}+{\tilde {\mathbf {r} }}_{j}|}}={1 \over {\sqrt {2}}}({\tilde {\mathbf {r} }}_{i}+{\tilde {\mathbf {r} }}_{j})$

Звідси вже легко обчислити проекцію (позначимо буквою $\xi$) точки одиничної сфери $\tau$ на цю бісектрису:

$(12)\qquad \xi ={\tilde {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}={1 \over {\sqrt {2}}}({\tilde {\tau }}^{i}+{\tilde {\tau }}^{j})$

Середнє четвертої степені проекції $\xi$ також дорівнює $\beta$:

$(13)\qquad \beta =<\xi ^{4}>={1 \over 4}<({\tilde {\tau }}^{i}+{\tilde {\tau }}^{j})^{4}>=$

$={1 \over 4}{\big (}<({\tilde {\tau }}^{i})^{4}>+4<({\tilde {\tau }}^{i})^{3}{\tilde {\tau }}^{j}>+6<({\tilde {\tau }}^{i})^{2}({\tilde {\tau }}^{j})^{2}>+4<{\tilde {\tau }}^{i}({\tilde {\tau }}^{j})^{3}>+<({\tilde {\tau }}^{j})^{4}>{\big )}={1 \over 4}(\beta +6\gamma +\beta )$

З останньої рівності знаходимо:

$(14)\qquad \beta =3\gamma$

Враховуючи (9), (10), (14), а також рівність нулю усереднень з непарними степенями, ми можемо записати у нашій спеціальній системі координат:

$(15)\qquad <{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{k}{\tilde {\tau }}^{l}>=\gamma (\delta ^{ij}\delta ^{kl}+\delta ^{ik}\delta ^{lj}+\delta ^{il}\delta ^{jk})$

В останній сумі в дужках індекс $i$ лишається на місці, а індекси $j,k,l$ — циклічно переставляються.

Оскільки середнє значення тензорних величин є тензором, то в довільній системі координат маємо:

$(16)\qquad <\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>=\gamma (g^{ij}g^{kl}+g^{ik}g^{lj}+g^{il}g^{jk})$

Знайдемо тепер коефіцієнт $\gamma$, згорнувши рівняння (16) по індексам ($ij$), ($kl$). З одного боку рівняння:

$(17)\qquad <g_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}\;g_{kl}\tau ^{k}\tau ^{l}>=<1\cdot 1>=1$

З іншого боку рівняння (16), враховуючи перші дві формули із статті Прості обчислення диференціальної геометрії:

$(18)\qquad g_{ij}g_{kl}\gamma (g^{ij}g^{kl}+g^{ik}g^{lj}+g^{il}g^{jk})=\gamma {\big (}(g_{ij}g^{ij})(g_{kl}g^{kl})+(g_{ij}g^{jl}g_{lk}g^{ki})+(g_{ij}g^{jk}g_{kl}g^{li}){\big )}=$

$=\gamma (n\cdot n+n+n)=\gamma n(n+2)$

Отже знаходимо:

$(19)\qquad \gamma ={1 \over n(n+2)}$

Зібравши до купи рівняння (8), (16) і (19), обчислюємо:

$(20)\qquad <k^{2}>={1 \over n(n+2)}((\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}+2(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i}))={{3n^{2}<\mathbf {k} >^{2}-2R} \over n(n+2)}$

В останній формулі буквою $R$ позначено скалярну внутрішню кривину:

$R=(\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}-(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i})$