ред.
З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:
s
i
n
(
α
+
β
)
+
s
i
n
(
α
−
β
)
=
2
⋅
s
i
n
α
⋅
c
o
s
β
{\displaystyle sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )=2\cdot sin\alpha \cdot cos\beta }
або
s
i
n
α
⋅
c
o
s
β
=
1
2
⋅
(
s
i
n
(
α
+
β
)
+
s
i
n
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle sin\alpha \cdot cos\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta ))}
Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:
c
o
s
(
α
+
β
)
+
c
o
s
(
α
−
β
)
=
2
⋅
c
o
s
α
⋅
c
o
s
β
{\displaystyle cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )=2\cdot cos\alpha \cdot cos\beta }
тому
c
o
s
α
⋅
c
o
s
β
=
1
2
⋅
(
c
o
s
(
α
+
β
)
+
c
o
s
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle cos\alpha \cdot cos\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta ))}
Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:
c
o
s
(
α
−
β
)
−
c
o
s
(
α
+
β
)
=
2
⋅
s
i
n
α
⋅
s
i
n
β
{\displaystyle cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )=2\cdot sin\alpha \cdot sin\beta }
тобто
s
i
n
α
⋅
s
i
n
β
=
1
2
⋅
(
c
o
s
(
α
−
β
)
−
c
o
s
(
α
+
β
)
)
{\displaystyle sin\alpha \cdot sin\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta ))}
Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:
s
i
n
(
α
+
β
)
−
s
i
n
(
α
−
β
)
=
2
⋅
c
o
s
α
⋅
s
i
n
β
{\displaystyle sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )=2\cdot cos\alpha \cdot sin\beta }
звідки
c
o
s
α
⋅
s
i
n
β
=
1
2
⋅
(
s
i
n
(
α
+
β
)
−
s
i
n
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle cos\alpha \cdot sin\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta ))}
Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід.
t
g
α
+
t
g
β
=
t
g
α
(
1
+
t
g
β
t
g
α
)
=
t
g
α
⋅
t
g
β
⋅
(
1
t
g
α
+
1
t
g
β
)
==
t
g
α
⋅
t
g
β
⋅
(
c
t
g
α
+
c
t
g
β
)
{\displaystyle tg\alpha +tg\beta =tg\alpha \left(1+{\frac {tg\beta }{tg\alpha }}\right)=tg\alpha \cdot tg\beta \cdot \left({\frac {1}{tg\alpha }}+{\frac {1}{tg\beta }}\right)==tg\alpha \cdot tg\beta \cdot \left(ctg\alpha +ctg\beta \right)}
t
g
α
⋅
t
g
β
=
t
g
α
+
t
g
β
c
t
g
α
+
c
t
g
β
{\displaystyle tg\alpha \cdot tg\beta ={\frac {tg\alpha +tg\beta }{ctg\alpha +ctg\beta }}}
Аналогічно можна отримати співвідношення
c
t
g
α
⋅
c
t
g
β
=
c
t
g
α
+
c
t
g
β
t
g
α
+
t
g
β
{\displaystyle ctg\alpha \cdot ctg\beta ={\frac {ctg\alpha +ctg\beta }{tg\alpha +tg\beta }}}
t
g
α
⋅
c
t
g
β
=
t
g
α
+
c
t
g
β
c
t
g
α
+
t
g
β
{\displaystyle tg\alpha \cdot ctg\beta ={\frac {tg\alpha +ctg\beta }{ctg\alpha +tg\beta }}}
Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.
44. Доведіть, що:
s
i
n
x
⋅
s
i
n
y
⋅
s
i
n
z
=
1
4
⋅
(
s
i
n
(
x
+
y
−
z
)
+
s
i
n
(
y
+
z
−
x
)
+
s
i
n
(
z
+
x
−
y
)
−
s
i
n
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle sinx\cdot siny\cdot sinz={\frac {1}{4}}\cdot (sin(x+y-z)+sin(y+z-x)+sin(z+x-y)-sin(x+y+z))}
s
i
n
x
⋅
c
o
s
y
⋅
c
o
s
z
=
1
4
⋅
(
s
i
n
(
x
+
y
−
z
)
−
s
i
n
(
y
+
z
−
x
)
+
s
i
n
(
z
+
x
−
y
)
+
s
i
n
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle sinx\cdot cosy\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (sin(x+y-z)-sin(y+z-x)+sin(z+x-y)+sin(x+y+z))}
s
i
n
x
⋅
s
i
n
y
⋅
c
o
s
z
=
1
4
⋅
(
−
c
o
s
(
x
+
y
−
z
)
+
c
o
s
(
y
+
z
−
x
)
+
c
o
s
(
z
+
x
−
y
)
−
c
o
s
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle sinx\cdot siny\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (-cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)-cos(x+y+z))}
c
o
s
x
⋅
c
o
s
y
⋅
c
o
s
z
=
1
4
⋅
(
c
o
s
(
x
+
y
−
z
)
+
c
o
s
(
y
+
z
−
x
)
+
c
o
s
(
z
+
x
−
y
)
+
c
o
s
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle cosx\cdot cosy\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)+cos(x+y+z))}
45. Доведіть, що:
t
g
x
⋅
t
g
y
=
−
t
g
x
−
t
g
y
c
t
g
x
−
c
t
g
y
{\displaystyle tgx\cdot tgy=-{\frac {tgx-tgy}{ctgx-ctgy}}}
c
t
g
x
⋅
c
t
g
y
=
−
c
t
g
x
−
c
t
g
y
t
g
x
−
t
g
y
{\displaystyle ctgx\cdot ctgy=-{\frac {ctgx-ctgy}{tgx-tgy}}}
t
g
x
⋅
c
t
g
y
=
−
t
g
x
−
c
t
g
y
c
t
g
x
−
t
g
y
{\displaystyle tgx\cdot ctgy=-{\frac {tgx-ctgy}{ctgx-tgy}}}
ред.
