Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Формули добутку тригонометричних функційРедагувати

З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:

 , (48)

або

 . (48′)

Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:

 , (49)

тому

 .  (49′)

Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:

 , (50)

тобто

 . (50′)

Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:

 , (51)

звідки

 . (51′)

Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід.
Маємо:
 , звідки

 . (52)

Аналогічно можна отримати співвідношення

 , (53)
 . (54)

Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.

ВправиРедагувати

44. Доведіть, що:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

45. Доведіть, що:

  1.  
  2.  
  3.  

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функційРедагувати

Розглянемо співвідношення (48)-(51). Виконаємо в них заміну  ,  . Тоді й  ,  . Звідси маємо:

 , (55)
 , (56)
 , (57)
 . (58)

Розглянемо суму тангенсів:
 , тобто

 . (59)

Аналогічно можна довести співвідношення для різниці тангенсів:

 . (60)

Доведіть це самостійно. Виведемо формулу для суми котангенсів:
 , тобто

 . (61)

Аналогічно можна довести, що:

 . (62)

Доведіть це самостійно.

ВправиРедагувати

46. Доведіть, що:

  1.  
  2.  

Зміст Наступна