Тотожні перетворення тригонометричних виразів
ред.
При доведенні тригонометричних тотожностей використовують як формули скороченого множення, так і формули, які пов’язують між собою тригонометричні функції.Приклад 1. Довести тотожність: 2 ⋅ ( sin 6 α + cos 6 α ) − 3 ⋅ ( sin 4 α + cos 4 α ) + 1 = 0 {\displaystyle 2\cdot \left(\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha \right)-3\cdot \left(\sin ^{4}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)+1=0} (*)Розв’язання.
Використаємо формулу скороченого множення x 3 + y 3 = ( x + y ) ⋅ ( x 2 − x ⋅ y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\cdot \left(x^{2}-x\cdot y+y^{2}\right)} , поклавши в ній x = sin 2 α {\displaystyle x=\sin ^{2}\alpha } , y = cos 2 α {\displaystyle y=\cos ^{2}\alpha } .
Тоді отримаємо, щоsin 6 α + cos 6 α = ( sin 2 α + cos 2 α ) ⋅ ( sin 4 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α + cos 4 α ) {\displaystyle \sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha =\left(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right)\cdot \left(\sin ^{4}\alpha -\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)} .
Врахувавши основну тригонометричну тотожність, маємо: sin 6 α + cos 6 α = sin 4 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α + cos 4 α {\displaystyle \sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha =\sin ^{4}\alpha -\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha } . Отримане значення виразу sin 6 α + cos 6 α {\displaystyle \sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha } підставимо у (*). Одержимо:2 ⋅ ( sin 4 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α + cos 4 α ) − 3 ⋅ ( sin 4 α + cos 4 α ) + 1 = 0 {\displaystyle 2\cdot \left(\sin ^{4}\alpha -\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)-3\cdot \left(\sin ^{4}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)+1=0} . Після відкриття дужок і зведення подібних членів маємо: 1 − 2 ⋅ sin 2 α ⋅ cos 2 α − sin 4 α − cos 4 α = 0 {\displaystyle 1-2\cdot \sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha -\sin ^{4}\alpha -\cos ^{4}\alpha =0} , звідки 1 − ( sin 2 α + cos 2 α ) 2 = 0 {\displaystyle 1-\left(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right)^{2}=0} , тому 1 − 1 = 0 {\displaystyle 1-1=0} , що й доводить (*).
47. Довести тотожність:
sin 6 α + cos 6 α = 1 − 3 4 ⋅ sin 2 2 α {\displaystyle \sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha =1-{\frac {3}{4}}\cdot \sin ^{2}2\alpha }
sin 4 α − cos 4 α = sin 2 α − cos 2 α {\displaystyle \sin ^{4}\alpha -\cos ^{4}\alpha =\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha } 48. Довести тотожність:
1 + sin 2 α + cos 2 α 1 + sin 2 α − cos 2 α = c t g α {\displaystyle {\frac {1+\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{1+\sin 2\alpha -\cos 2\alpha }}=ctg\alpha }
sin α + sin β + sin γ − sin ( α + β + γ ) = 4 ⋅ sin α + β 2 ⋅ sin β + γ 2 ⋅ sin α + γ 2 {\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=4\cdot \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}
sin α + sin 3 α + sin 5 α + sin 7 α = 4 ⋅ cos α ⋅ cos 2 α ⋅ cos 4 α {\displaystyle \sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\sin 7\alpha =4\cdot \cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 4\alpha }
sin 6 α 2 + cos 6 α 2 = sin 2 α − 4 4 ⋅ cos α {\displaystyle \sin ^{6}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{6}{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin ^{2}\alpha -4}{4}}\cdot \cos \alpha }
sin 2 x sin x − cos x − sin x + cos x t g 2 x − 1 = sin x + cos x {\displaystyle {\frac {\sin ^{2}x}{\sin x-\cos x}}-{\frac {\sin x+\cos x}{tg^{2}x-1}}=\sin x+\cos x} .49. Довести, що коли cos ( α + β ) = 0 {\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta \right)=0} , то sin ( α + 2 ⋅ β ) = sin α {\displaystyle \sin \left(\alpha +2\cdot \beta \right)=\sin \alpha } .
50. Довести, що якщо sin 2 β = sin α ⋅ cos α {\displaystyle \sin ^{2}\beta =\sin \alpha \cdot \cos \alpha } , то cos 2 β = 2 ⋅ cos 2 ( π 4 + α ) {\displaystyle \cos 2\beta =2\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)} , cos 2 β = 2 ⋅ sin 2 ( π 4 − α ) {\displaystyle \cos 2\beta =2\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)} .
51. Довести, що якщо t g α {\displaystyle tg\alpha } і t g β {\displaystyle tg\beta } – корені рівняння x 2 + p ⋅ x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+p\cdot x+q=0} , то правильна тотожність: sin 2 ( α + β ) + p ⋅ s i n ( α + β ) ⋅ c o s ( α + β ) + q ⋅ c o s 2 ( α + β ) = q {\displaystyle \sin ^{2}\left(\alpha +\beta \right)+p\cdot sin\left(\alpha +\beta \right)\cdot cos\left(\alpha +\beta \right)+q\cdot cos^{2}\left(\alpha +\beta \right)=q} .
52.Спростити вираз: 2 sin α + sin 2 α 2 cos α + sin 2 α ⋅ 1 − cos α 1 − sin α {\displaystyle {\frac {2\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha }{2\cos \alpha +\sin ^{2}\alpha }}\cdot {\frac {1-\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}} .
Обчислення значень тригонометричних функцій
ред.
Задачі, пов’язані з обчисленням значень тригонометричних функцій без використання таблиць, зазвичай розв’язуються за допомогою тотожних перетворень, які приводять шуканий вираз до вигляду, що містить тільки табличні значення тригонометричних функцій.
Приклад 2. Обчислити значення виразу ( sin 80 ∘ + sin 40 ∘ sin 70 ∘ ) 2 {\displaystyle \left({\frac {\sin 80^{\circ }+\sin 40^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}}\right)^{2}} .Розв’язання. З урахуванням формул (55) та (21), маємо ( sin 80 ∘ + sin 40 ∘ sin 70 ∘ ) 2 = ( 2 ⋅ cos 60 ∘ ⋅ cos 20 ∘ cos 20 ∘ ) 2 = ( 2 ⋅ 3 2 ) 2 = 3 {\displaystyle \left({\frac {\sin 80^{\circ }+\sin 40^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}}\right)^{2}=\left({\frac {2\cdot \cos 60^{\circ }\cdot \cos 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\right)^{2}=\left(2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}=3} .
Приклад 3. Обчислити значення виразу t g 20 ∘ ⋅ t g 40 ∘ ⋅ t g 80 ∘ {\displaystyle tg20^{\circ }\cdot tg40^{\circ }\cdot tg80^{\circ }} .Розв’язання. Так як t g 20 ∘ ⋅ t g 40 ∘ ⋅ t g 80 ∘ = sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ {\displaystyle tg20^{\circ }\cdot tg40^{\circ }\cdot tg80^{\circ }={\frac {\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }}{\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}}} , то будемо розглядати чисельник і знаменник.
З урахуванням формул (48') та (50'), маємо:sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ = 1 2 ⋅ ( cos 20 ∘ − cos 60 ∘ ) ⋅ sin 80 ∘ = 1 2 ⋅ ( cos 20 ∘ ⋅ sin 80 ∘ − 1 2 ⋅ sin 80 ∘ ) = 1 2 ⋅ ( 1 2 ⋅ ( sin 100 ∘ + sin 60 ∘ ) − 1 2 ⋅ sin 80 ∘ ) = {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {1}{2}}\cdot \left(\cos 20^{\circ }-\cos 60^{\circ }\right)\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {1}{2}}\cdot \left(\cos 20^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \left(\sin 100^{\circ }+\sin 60^{\circ }\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }\right)=} = 1 2 ⋅ ( 1 2 ⋅ sin 80 ∘ + 1 2 ⋅ 3 2 − 1 2 ⋅ sin 80 ∘ ) = 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 3 2 = 3 8 {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}} .
Використовуючи формулу (39), отримуємо:cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 2 ⋅ sin 20 ∘ ⋅ cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ 2 ⋅ sin 20 ∘ = sin 40 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ 2 ⋅ sin 20 ∘ = sin 80 ∘ ⋅ cos 80 ∘ 4 ⋅ sin 20 ∘ = sin 160 ∘ 8 ⋅ sin 20 ∘ = sin ( 180 ∘ − 20 ∘ ) 8 ⋅ sin 20 ∘ = sin 20 ∘ 8 ⋅ sin 20 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {2\cdot \sin 20^{\circ }\cdot \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}{2\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 40^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}{2\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 80^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}{4\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 160^{\circ }}{8\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{8\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 20^{\circ }}{8\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {1}{8}}}
Таким чином, t g 20 ∘ ⋅ t g 40 ∘ ⋅ t g 80 ∘ = 3 8 1 8 = 3 {\displaystyle tg20^{\circ }\cdot tg40^{\circ }\cdot tg80^{\circ }={\frac {\frac {\sqrt {3}}{8}}{\frac {1}{8}}}={\sqrt {3}}} .
Приклад 4. Обчислити sin 18 ∘ {\displaystyle \sin 18^{\circ }} .Розв’язання. sin 18 ∘ = 2 ⋅ cos 18 ∘ ⋅ sin 18 ∘ 2 ⋅ cos 18 ∘ = sin 36 ∘ 2 ⋅ cos 18 ∘ = cos 54 ∘ 2 ⋅ cos 18 ∘ = cos ( 3 ⋅ 18 ) ∘ 2 ⋅ cos 18 ∘ = 4 ⋅ cos 3 18 ∘ − 3 ⋅ cos 18 ∘ 2 ⋅ cos 18 ∘ = 4 ⋅ cos 2 18 ∘ − 3 2 = 4 ⋅ ( 1 − sin 2 18 ∘ ) − 3 2 = 1 − 4 ⋅ sin 2 18 ∘ 2 {\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {2\cdot \cos 18^{\circ }\cdot \sin 18^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {\sin 36^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {\cos 54^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {\cos(3\cdot 18)^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {4\cdot \cos ^{3}18^{\circ }-3\cdot \cos 18^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {4\cdot \cos ^{2}18^{\circ }-3}{2}}={\frac {4\cdot (1-\sin ^{2}18^{\circ })-3}{2}}={\frac {1-4\cdot \sin ^{2}18^{\circ }}{2}}} .
Отже, sin 18 ∘ = 1 − 4 ⋅ sin 2 18 ∘ 2 {\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {1-4\cdot \sin ^{2}18^{\circ }}{2}}} , звідки 4 ⋅ sin 2 18 ∘ + 2 ⋅ sin 18 ∘ − 1 = 0 {\displaystyle 4\cdot \sin ^{2}18^{\circ }+2\cdot \sin 18^{\circ }-1=0} . Зробимо заміну t = sin 18 ∘ {\displaystyle t=\sin 18^{\circ }} . Тоді 4 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t − 1 = 0 {\displaystyle 4\cdot t^{2}+2\cdot t-1=0} . Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо, щоsin 18 ∘ = − 1 + 5 4 {\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}} .
(Другий корінь квадратного рівняння є стороннім, так як sin 18 ∘ > 0 {\displaystyle \sin 18^{\circ }>0} ).
Обчислити:
53.
sin 15 ∘ {\displaystyle \sin 15^{\circ }}
1 sin 10 ∘ − 4 ⋅ sin 70 ∘ {\displaystyle {\frac {1}{\sin 10^{\circ }}}-4\cdot \sin 70^{\circ }} 54. sin 2 70 ∘ ⋅ sin 2 50 ∘ ⋅ sin 2 10 ∘ {\displaystyle \sin ^{2}70^{\circ }\cdot \sin ^{2}50^{\circ }\cdot \sin ^{2}10^{\circ }}
55. sin 3 ⋅ π 10 ⋅ sin π 10 {\displaystyle \sin {\frac {3\cdot \pi }{10}}\cdot \sin {\frac {\pi }{10}}}
56. sin 42 ∘ {\displaystyle \sin 42^{\circ }}
Приклад 5. Обчислити 2 ⋅ sin 2 α − 3 ⋅ c o s 2 α 4 ⋅ sin 2 α + 5 ⋅ c o s 2 α {\displaystyle {\frac {2\cdot \sin 2\alpha -3\cdot cos2\alpha }{4\cdot \sin 2\alpha +5\cdot cos2\alpha }}} , якщо t g α = 3 {\displaystyle tg\alpha =3} .Розв’язання.
Виражаючи sin 2 α {\displaystyle \sin 2\alpha } і c o s 2 α {\displaystyle cos2\alpha } через t g α {\displaystyle tg\alpha } (співвідношення (38) і (40)), отримуємо:2 ⋅ sin 2 α − 3 ⋅ c o s 2 α 4 ⋅ sin 2 α + 5 ⋅ c o s 2 α = 4 ⋅ t g α − 3 + 3 ⋅ t g 2 α 8 ⋅ t g α + 5 − 5 ⋅ t g 2 α {\displaystyle {\frac {2\cdot \sin 2\alpha -3\cdot cos2\alpha }{4\cdot \sin 2\alpha +5\cdot cos2\alpha }}={\frac {4\cdot tg\alpha -3+3\cdot tg^{2}\alpha }{8\cdot tg\alpha +5-5\cdot tg^{2}\alpha }}} .
Підставляючи в праву частину цього виразу замість t g α {\displaystyle tg\alpha } його значення 3, знаходимо: 4 ⋅ 3 − 3 + 3 ⋅ 3 2 8 ⋅ 3 + 5 − 5 ⋅ 3 2 = − 9 4 = − 2 1 4 {\displaystyle {\frac {4\cdot 3-3+3\cdot 3^{2}}{8\cdot 3+5-5\cdot 3^{2}}}=-{\frac {9}{4}}=-2{\frac {1}{4}}} .
57. Обчислити sin α {\displaystyle \sin \alpha } , якщо sin α 2 + cos α 2 = 1 , 4 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\alpha }{2}}=1,4} .
58. Знайти значення t g 4 α + c t g 4 α {\displaystyle tg^{4}\alpha +ctg^{4}\alpha } , якщо t g α + c t g α = a {\displaystyle tg\alpha +ctg\alpha =a} .
59. Сума трьох додатних чисел α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } і γ {\displaystyle \gamma } дорівнює π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} . Обчислити добуток c t g α ⋅ c t g γ {\displaystyle ctg\alpha \cdot ctg\gamma } , якщо відомо, що c t g α {\displaystyle ctg\alpha } , c t g β {\displaystyle ctg\beta } і c t g γ {\displaystyle ctg\gamma } утворюють арифметичну прогресію.
60. Обчислити cos ( θ − ϕ ) {\displaystyle \cos \left(\theta -\phi \right)} , якщо cos θ + cos ϕ = a {\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =a} , sin θ + sin ϕ = b {\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =b} , a 2 + b 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0} .
61. Обчислити значення sin 3 α − cos 3 α {\displaystyle \sin ^{3}\alpha -\cos ^{3}\alpha } , якщо sin α − cos α = n {\displaystyle \sin \alpha -\cos \alpha =n} .
Обчислення сум рядів
ред.
Співвідношення у трикутнику. Задачі з геометричним змістом
ред.
Вправи. Довести, що коли α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } – кути трикутника, то:
66. cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 ⋅ sin α 2 ⋅ sin β 2 ⋅ sin γ 2 {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =1+4\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}} .
67. t g α 2 ⋅ t g β 2 + t g β 2 ⋅ t g γ 2 + t g γ 2 ⋅ t g α 2 = 1 {\displaystyle tg{\frac {\alpha }{2}}\cdot tg{\frac {\beta }{2}}+tg{\frac {\beta }{2}}\cdot tg{\frac {\gamma }{2}}+tg{\frac {\gamma }{2}}\cdot tg{\frac {\alpha }{2}}=1} .
68. c t g α ⋅ c t g β + c t g β ⋅ c t g γ + c t g γ ⋅ c t g α = 1 {\displaystyle ctg\alpha \cdot ctg\beta +ctg\beta \cdot ctg\gamma +ctg\gamma \cdot ctg\alpha =1} .
69. sin 2 α − cos 2 β − cos 2 γ = 2 ⋅ cos α ⋅ cos β ⋅ cos γ {\displaystyle \sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma =2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma } .Приклад 7. Довести, що для кутів α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } довільного трикутника виконується нерівністьcos α + cos β + cos γ ≤ 3 2 {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma \leq {\frac {3}{2}}} . (*)Розв’язання.
Відмітимо, що при α = β = γ = π 3 {\displaystyle \alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}} нерівність (*) перетворюється в рівність.
Нехай хоча б два кути трикутника, наприклад, α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } , не рівні. Тодіcos α + cos β + cos γ = cos α + cos β − cos ( α + β ) = {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\cos \alpha +\cos \beta -\cos \left(\alpha +\beta \right)=} {56}= 2 ⋅ cos α + β 2 ⋅ cos α − β 2 − cos ( α + β ) < {\displaystyle =2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos \left(\alpha +\beta \right)<} < {\displaystyle <} {37}< 2 ⋅ cos α + β 2 − 2 ⋅ cos 2 α + β 2 + 1 = − 1 2 ⋅ ( 2 ⋅ cos α + β 2 − 1 ) 2 + 3 2 < 3 2 {\displaystyle <2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}-2\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha +\beta }{2}}+1=-{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}-1\right)^{2}+{\frac {3}{2}}<{\frac {3}{2}}} ,
тобто нерівність (*) також виконується, але строго. Таким чином, рівність має місце лише для правильного трикутника.
70. Довести, що для кутів α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } довільного трикутника виконується нерівність cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ≥ 3 4 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma \geq {\frac {3}{4}}} .
Визначити, коли досягається рівність.
71. Довести, що у довільному не тупокутному трикутнику виконуються нерівності:
cos α − β 2 < 2 ⋅ cos γ 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}<2\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}} , cos α − γ 2 < 2 ⋅ cos β 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha -\gamma }{2}}<2\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}} , cos β − γ 2 < 2 ⋅ cos α 2 {\displaystyle \cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}<2\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}} .
72. Довести, що для кутів α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } довільного нетупокутного трикутника виконується нерівність:
sin α + sin β + sin γ > cos α + cos β + cos γ {\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma >\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma } .
73. Довести, що:
Площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.
З усіх прямокутників з даною діагоналлю найбільшу площу має квадрат.
Який чотирикутник з діагоналями d 1 {\displaystyle d_{1}} та d 2 {\displaystyle d_{2}} має максимальну площу? Чому?
Зміст
Наступна