Формули подвійного і половинного аргументів тригонометричних функцій

Формули подвійного аргументуРедагувати

Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):
 , тобто

 . (35)

Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:

 , (36)

або

 . (37)

Ще одну формулу отримаємо так:
 . Тут ми використали основну тригонометричну тотожність та розділили чисельник і знаменник дробу на  . Отримали:

 . (38)

Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:
 , тобто

 . (39)

Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на  :  . Маємо:

 . (40)

Використавши співвідношення (31), отримаємо:  , тобто

 . (41)

Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33):  , звідки

 , (42)

або

 . (43)

ВправиРедагувати

37. Довести формули подвійного аргументу:

  1.  
  2.  

38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).

41. Довести, що:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Формули половинного аргументуРедагувати

Покладемо у співвідношенні (36) кут  . Отримаємо:  , звідки

 . (44)

Аналогічно, поклавши у співвідношенні (37) кут  , маємо тотожність:

 , (45)

(переконайтесь у цьому самостійно). Використаємо співвідношення (44) та (45) для отримання формули половинного аргументу тангенса:  , тобто

 . (46)

Використавши до (46) співвідношення (13), отримуємо:

 . (47)

У співвідношеннях (44)-(47) знак перед радикалом (+ чи -) вибирається у відповідності з тим, в якій четверті знаходиться кут – аргумент  . Наприклад,  .

ВправиРедагувати

42. Обчислити:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

43. Довести, що:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  


Зміст Наступна