Формули подвійного аргументу
ред.
Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):
c
o
s
2
α
=
c
o
s
(
α
+
α
)
=
c
o
s
α
⋅
c
o
s
α
−
s
i
n
α
⋅
s
i
n
α
=
c
o
s
2
α
−
s
i
n
2
α
{\displaystyle cos2\alpha =cos(\alpha +\alpha )=cos\alpha \cdot cos\alpha -sin\alpha \cdot sin\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha }
c
o
s
2
α
=
c
o
s
2
α
−
s
i
n
2
α
{\displaystyle cos2\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha }
Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:
c
o
s
2
α
=
1
−
2
⋅
s
i
n
2
α
{\displaystyle cos2\alpha =1-2\cdot sin^{2}\alpha }
або
c
o
s
2
α
=
2
⋅
c
o
s
2
α
−
1
{\displaystyle cos2\alpha =2\cdot cos^{2}\alpha -1}
Ще одну формулу отримаємо так:
c
o
s
2
α
=
c
o
s
2
α
1
=
c
o
s
2
α
−
s
i
n
2
α
c
o
s
2
α
+
s
i
n
2
α
=
1
−
t
g
2
α
1
+
t
g
2
α
{\displaystyle cos2\alpha ={\frac {cos2\alpha }{1}}={\frac {cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }}={\frac {1-tg^{2}\alpha }{1+tg^{2}\alpha }}}
c
o
s
2
α
≠
0
{\displaystyle cos^{2}\alpha \neq 0}
c
o
s
2
α
=
1
−
t
g
2
α
1
+
t
g
2
α
,
α
≠
π
2
+
n
π
,
n
∈
Z
{\displaystyle cos2\alpha ={\frac {1-tg^{2}\alpha }{1+tg^{2}\alpha }},\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+n\pi ,n\in \mathbb {Z} }
Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:
s
i
n
2
α
=
s
i
n
(
α
+
α
)
=
s
i
n
α
⋅
c
o
s
α
+
c
o
s
α
⋅
s
i
n
α
=
2
s
i
n
α
c
o
s
α
{\displaystyle sin2\alpha =sin(\alpha +\alpha )=sin\alpha \cdot cos\alpha +cos\alpha \cdot sin\alpha =2sin\alpha cos\alpha }
s
i
n
2
α
=
2
s
i
n
α
c
o
s
α
{\displaystyle sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha }
Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на
c
o
s
2
α
≠
0
{\displaystyle cos^{2}\alpha \neq 0}
s
i
n
2
α
=
s
i
n
2
α
1
=
2
s
i
n
α
c
o
s
α
c
o
s
2
α
+
s
i
n
2
α
=
2
t
g
α
1
+
t
g
2
α
{\displaystyle sin2\alpha ={\frac {sin2\alpha }{1}}={\frac {2sin\alpha cos\alpha }{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }}={\frac {2tg\alpha }{1+tg^{2}\alpha }}}
s
i
n
2
α
=
2
t
g
α
1
+
t
g
2
α
{\displaystyle sin2\alpha ={\frac {2tg\alpha }{1+tg^{2}\alpha }}}
Використавши співвідношення (31), отримаємо:
t
g
2
α
=
t
g
(
α
+
α
)
=
t
g
α
+
t
g
α
1
−
t
g
α
t
g
α
=
2
t
g
α
1
−
t
g
2
α
{\displaystyle tg2\alpha =tg(\alpha +\alpha )={\frac {tg\alpha +tg\alpha }{1-tg\alpha tg\alpha }}={\frac {2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha }}}
t
g
2
α
=
2
t
g
α
1
−
t
g
2
α
{\displaystyle tg2\alpha ={\frac {2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha }}}
Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33):
c
t
g
2
α
=
c
t
g
(
α
+
α
)
=
c
t
g
α
c
t
g
α
−
1
c
t
g
α
+
c
t
g
α
=
c
t
g
2
α
−
1
2
c
t
g
α
{\displaystyle ctg2\alpha =ctg(\alpha +\alpha )={\frac {ctg\alpha ctg\alpha -1}{ctg\alpha +ctg\alpha }}={\frac {ctg^{2}\alpha -1}{2ctg\alpha }}}
c
t
g
2
α
=
c
t
g
2
α
−
1
2
c
t
g
α
{\displaystyle ctg2\alpha ={\frac {ctg^{2}\alpha -1}{2ctg\alpha }}}
або
c
t
g
2
α
=
1
−
t
g
2
α
2
t
g
α
{\displaystyle ctg2\alpha ={\frac {1-tg^{2}\alpha }{2tg\alpha }}}
37. Довести формули подвійного аргументу:
s
e
c
2
x
=
1
+
t
g
2
x
1
−
t
g
2
x
{\displaystyle sec2x={\frac {1+tg^{2}x}{1-tg^{2}x}}}
c
o
s
e
c
2
x
=
1
+
t
g
2
x
2
t
g
x
{\displaystyle cosec2x={\frac {1+tg^{2}x}{2tgx}}}
38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).
39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).
40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).
41. Довести, що:
s
i
n
3
x
=
3
s
i
n
x
−
4
s
i
n
3
x
{\displaystyle sin3x=3sinx-4sin^{3}x}
c
o
s
3
x
=
4
c
o
s
3
x
−
3
c
o
s
x
{\displaystyle cos3x=4cos^{3}x-3cosx}
s
i
n
4
x
=
8
c
o
s
3
x
s
i
n
x
−
4
c
o
s
x
s
i
n
x
{\displaystyle sin4x=8cos^{3}xsinx-4cosxsinx}
c
o
s
4
x
=
8
c
o
s
4
x
−
8
c
o
s
2
x
+
1
{\displaystyle cos4x=8cos^{4}x-8cos^{2}x+1}
t
g
3
x
=
3
t
g
x
−
t
g
3
x
1
−
3
t
g
2
x
{\displaystyle tg3x={\frac {3tgx-tg^{3}x}{1-3tg^{2}x}}}
c
t
g
3
x
=
c
t
g
3
x
−
3
c
t
g
x
3
c
t
g
2
x
−
1
{\displaystyle ctg3x={\frac {ctg^{3}x-3ctgx}{3ctg^{2}x-1}}}
t
g
4
x
=
4
t
g
x
−
4
t
g
3
x
1
−
6
t
g
2
x
+
t
g
4
x
{\displaystyle tg4x={\frac {4tgx-4tg^{3}x}{1-6tg^{2}x+tg^{4}x}}}
c
t
g
4
x
=
c
t
g
4
x
−
6
c
t
g
2
x
+
1
4
c
t
g
3
x
−
4
c
t
g
x
{\displaystyle ctg4x={\frac {ctg^{4}x-6ctg^{2}x+1}{4ctg^{3}x-4ctgx}}}
Формули половинного аргументу
ред.
