Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних
ред.
Часто вдається виразити всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, через одну і зробити заміну, яка зведе дане рівняння до квадратного.Приклад 1. Розв’язати рівняння
sin
2
x
+
cos
x
+
1
=
0
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos x+1=0}
Розв’язання.
Використавши основну тригонометричну тотожність, маємо:
cos
2
x
−
cos
x
−
2
=
0
{\displaystyle \cos ^{2}x-\cos x-2=0}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
y
2
−
y
−
2
=
0
{\displaystyle y^{2}-y-2=0}
y
1
=
−
1
{\displaystyle y_{1}=-1}
y
2
=
2
{\displaystyle y_{2}=2}
cos
x
≤
1
<
2
{\displaystyle \cos x\leq 1<2}
x
{\displaystyle x}
cos
x
=
−
1
{\displaystyle \cos x=-1}
x
=
(
2
n
+
1
)
π
{\displaystyle x=\left(2n+1\right)\pi }
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
Приклад 2. Розв’язати рівняння
c
t
g
2
x
+
t
g
x
+
1
=
0
{\displaystyle ctg2x+tgx+1=0}
Розв’язання.
Використовуючи (43), виразимо
c
t
g
2
x
{\displaystyle ctg2x}
t
g
x
{\displaystyle tgx}
1
−
t
g
2
x
2
t
g
x
+
t
g
x
+
1
=
0
{\displaystyle {\frac {1-tg^{2}x}{2tgx}}+tgx+1=0}
t
g
x
≠
0
{\displaystyle tgx\neq 0}
cos
x
≠
0
{\displaystyle \cos x\neq 0}
1
−
t
g
2
x
+
2
t
g
2
x
+
2
t
g
x
=
0
{\displaystyle 1-tg^{2}x+2tg^{2}x+2tgx=0}
t
g
2
x
+
2
t
g
x
+
1
=
0
{\displaystyle tg^{2}x+2tgx+1=0}
y
=
t
g
x
{\displaystyle y=tgx}
y
2
+
2
y
+
1
=
0
{\displaystyle y^{2}+2y+1=0}
(
y
+
1
)
2
=
0
{\displaystyle \left(y+1\right)^{2}=0}
y
=
−
1
{\displaystyle y=-1}
t
g
x
=
−
1
{\displaystyle tgx=-1}
x
=
a
r
c
t
g
(
−
1
)
+
π
n
=
4
n
−
1
4
π
{\displaystyle x=arctg\left(-1\right)+\pi n={\frac {4n-1}{4}}\pi }
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
Розв’язати рівняння.
2
sin
2
x
+
sin
x
−
1
=
0
{\displaystyle 2\sin ^{2}x+\sin x-1=0}
t
g
3
x
+
2
t
g
2
x
+
3
t
g
x
=
0
{\displaystyle tg^{3}x+2tg^{2}x+3tgx=0}
4
sin
4
x
+
cos
4
x
=
1
+
12
cos
4
x
{\displaystyle 4\sin ^{4}x+\cos 4x=1+12\cos ^{4}x}
6
cos
2
x
+
cos
3
x
=
cos
x
{\displaystyle 6\cos ^{2}x+\cos 3x=\cos x}
2
sin
2
x
+
7
cos
x
=
5
{\displaystyle 2\sin ^{2}x+7\cos x=5}
cos
x
+
t
g
x
=
0
{\displaystyle \cos x+tgx=0}
t
g
2
x
+
2
t
g
x
−
3
=
0
{\displaystyle tg^{2}x+2tgx-3=0}
2
cos
2
x
+
5
cos
x
=
3
{\displaystyle 2\cos ^{2}x+5\cos x=3}
2
cos
2
x
=
sin
x
{\displaystyle 2\cos ^{2}x=\sin x}
cos
2
x
−
1
=
c
o
s
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \cos ^{2}x-1=cos\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
2
sin
2
x
=
2
+
5
cos
x
{\displaystyle 2\sin ^{2}x=2+5\cos x}
sin
x
+
cos
2
x
=
2
{\displaystyle \sin x+\cos 2x=2}
cos
2
x
−
2
sin
2
x
=
−
3
{\displaystyle \cos 2x-2\sin ^{2}x=-3}
Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до них
ред.
Рівняння вигляду
a
0
sin
n
x
+
a
1
sin
n
−
1
x
cos
x
+
a
2
sin
n
−
2
x
cos
2
x
+
a
3
sin
n
−
3
x
cos
3
x
+
.
.
.
+
a
n
cos
n
x
=
0
{\displaystyle a_{0}\sin ^{n}x+a_{1}\sin ^{n-1}x\cos x+a_{2}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x+a_{3}\sin ^{n-3}x\cos ^{3}x+...+a_{n}\cos ^{n}x=0}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
n
{\displaystyle n}
однорідним відносно
sin
x
{\displaystyle \sin x}
та
cos
x
{\displaystyle \cos x}
cos
x
≠
0
{\displaystyle \cos x\neq 0}
a
0
t
g
n
x
+
a
1
t
g
n
−
1
x
+
a
2
t
g
n
−
2
x
+
a
3
t
g
n
−
3
x
+
.
.
.
+
a
n
=
0
{\displaystyle a_{0}tg^{n}x+a_{1}tg^{n-1}x+a_{2}tg^{n-2}x+a_{3}tg^{n-3}x+...+a_{n}=0}
Приклад 3. Розв’язати рівняння
3
sin
2
x
−
5
sin
x
cos
x
+
8
cos
2
x
=
2
{\displaystyle 3\sin ^{2}x-5\sin x\cos x+8\cos ^{2}x=2}
Розв’язання. Для того, щоб звести дане рівняння до однорідного, використаємо основну тригонометричну тотожність (14). Маємо:
3
sin
2
x
−
5
sin
x
cos
x
+
8
cos
2
x
=
2
⋅
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
{\displaystyle 3\sin ^{2}x-5\sin x\cos x+8\cos ^{2}x=2\cdot \left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)}
sin
2
x
−
5
sin
x
cos
x
+
6
cos
2
x
=
0
{\displaystyle \sin ^{2}x-5\sin x\cos x+6\cos ^{2}x=0}
cos
2
x
≠
0
{\displaystyle \cos ^{2}x\neq 0}
t
g
2
x
−
5
t
g
x
+
6
=
0
{\displaystyle tg^{2}x-5tgx+6=0}
y
=
t
g
x
{\displaystyle y=tgx}
y
2
−
5
y
+
6
=
0
{\displaystyle y^{2}-5y+6=0}
y
1
=
2
{\displaystyle y_{1}=2}
y
2
=
3
{\displaystyle y_{2}=3}
x
1
=
a
r
c
t
g
2
+
π
n
{\displaystyle x_{1}=arctg2+\pi n}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
x
2
=
a
r
c
t
g
3
+
π
k
{\displaystyle x_{2}=arctg3+\pi k}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Приклад 4. Розв’язати рівняння
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle \sin x=\cos x}
Розв’язання.
Перенесемо
cos
x
{\displaystyle \cos x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sin
x
−
cos
x
=
0
{\displaystyle \sin x-\cos x=0}
t
g
x
−
1
=
0
{\displaystyle tgx-1=0}
x
=
a
r
c
t
g
1
+
π
k
=
π
4
+
π
k
{\displaystyle x=arctg1+\pi k={\frac {\pi }{4}}+\pi k}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Розв’язати рівняння:
cos
2
x
−
sin
x
cos
x
=
0
{\displaystyle \cos ^{2}x-\sin x\cos x=0}
sin
x
cos
x
=
0
,
5
{\displaystyle \sin x\cos x=0,5}
3
sin
x
−
3
cos
x
=
0
{\displaystyle 3\sin x-{\sqrt {3}}\cos x=0}
2
cos
x
−
2
sin
x
=
0
{\displaystyle 2\cos x-{\sqrt {2}}\sin x=0}
3
sin
x
+
5
cos
x
=
0
{\displaystyle 3\sin x+5\cos x=0}
sin
2
x
−
(
1
+
3
)
sin
x
cos
x
+
3
cos
2
x
=
0
{\displaystyle \sin ^{2}x-\left(1+{\sqrt {3}}\right)\sin x\cos x+{\sqrt {3}}\cos ^{2}x=0}
sin
2
x
−
4
sin
x
cos
x
+
3
cos
2
x
=
0
{\displaystyle \sin ^{2}x-4\sin x\cos x+3\cos ^{2}x=0}
3
sin
2
x
−
4
sin
x
cos
x
+
3
cos
2
x
=
0
{\displaystyle {\sqrt {3}}\sin ^{2}x-4\sin x\cos x+{\sqrt {3}}\cos ^{2}x=0}
2
sin
x
−
sin
x
cos
x
=
0
{\displaystyle 2\sin x-\sin x\cos x=0}
3
cos
x
+
sin
x
cos
x
=
0
{\displaystyle {\sqrt {3}}\cos x+\sin x\cos x=0}
sin
x
cos
x
=
1
3
cos
2
x
{\displaystyle \sin x\cos x={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cos ^{2}x}
cos
2
x
−
3
sin
x
cos
x
+
1
=
0
{\displaystyle \cos ^{2}x-3\sin x\cos x+1=0}
sin
2
x
+
3
cos
2
x
−
2
sin
x
cos
x
=
5
−
3
2
{\displaystyle \sin ^{2}x+3\cos ^{2}x-2\sin x\cos x={\frac {5-{\sqrt {3}}}{2}}}
sin
x
cos
x
=
−
0
,
25
{\displaystyle \sin x\cos x=-0,25}
sin
x
+
cos
x
=
2
{\displaystyle \sin x+\cos x={\sqrt {2}}}
2
sin
x
cos
x
+
5
cos
2
x
=
4
{\displaystyle 2\sin x\cos x+5\cos ^{2}x=4}
8
sin
2
x
−
3
cos
2
x
=
4
{\displaystyle 8\sin 2x-3\cos ^{2}x=4}
sin
4
x
+
cos
4
x
=
sin
2
x
−
0
,
5
{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\sin 2x-0,5}
sin
8
x
+
cos
8
x
=
sin
2
2
x
{\displaystyle \sin ^{8}x+\cos ^{8}x=\sin ^{2}2x}
sin
6
x
+
cos
6
x
=
a
(
sin
4
x
+
cos
4
x
)
{\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x=a\left(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x\right)}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
Зміст
Наступна
