Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Однорідні тригонометричні рівняння. Розв’язування вправ

Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратнихРедагувати

Часто вдається виразити всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, через одну і зробити заміну, яка зведе дане рівняння до квадратного.
Приклад 1. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Використавши основну тригонометричну тотожність, маємо:  . Позначимо  . Отримаємо квадратне рівняння  , яке має два корені:  ,  . Другий корінь не підходить, так як   при будь-якому значенні  . Розв’язуючи рівняння  , знаходимо, що  ,  .
Приклад 2. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Використовуючи (43), виразимо   через  . Отримаємо рівняння:  . На множині  ,   воно рівносильне рівнянню  , або  . Виконаємо заміну  . Маємо:  , або  . Звідси  , тобто  . Відповідно,  ,  .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння.
81.  .
82.  .
83.  .
84.  .
85.  .
86.  .
87.  .
88.  .
89.  .
90.  .
91.  .
92.  .
93.  .

Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до нихРедагувати

Рівняння вигляду  , де   – дійсні числа і сума показників степенів при   та   у кожному доданку дорівнює  , називається однорідним відносно   та  . Такі рівняння при   рівносильні рівнянням  . За допомогою тотожних перетворень деякі тригонометричні рівняння можна звести до однорідних.
Приклад 3. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Для того, щоб звести дане рівняння до однорідного, використаємо основну тригонометричну тотожність (14). Маємо:  . Після зведення подібних членів отримуємо:  . Розділивши обидві частини рівняння на  , переходимо до еквівалентного рівняння  , яке звідне до квадратного рівняння. Зробимо заміну  , тоді  , звідки  ,  . Врахувавши це, маємо розв’язки:
 ,  ,
 ,  .
Приклад 4. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Перенесемо   у ліву частину і поділимо обидві частини рівняння на  . Маємо:  ,  , звідси  ,  .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння:
94.  .
95.  .
96.  .
97.  .
98.  .
99.  .
100.  .
101.  .
102.  .
103.  .
104.  .
105.  .
106.  .
107.  .
108.  .
109.  .
110.  .
111.  .
112.  .
113. Знайти розв’язки рівняння   для всіх  .

Зміст Наступна