Розв’язування тригонометричних рівнянь

Многочлени від тригонометричних функційРедагувати

Рівняння вигляду  ,  ,  ,  , де   – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь.
Приклад 1. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо  , звідки  ,  ,  , а тому й  ,  .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння:
114.  .
115.  .
116.  .
117.  .

Тригонометричні рівняння, що зводяться до раціональнихРедагувати

Тригонометричні рівняння вигляду

 ,
де   – раціональна функція вказаних аргументів ( ), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів  , після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої   за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки (38), (40), (41) та (43), поклавши в них  .

Приклад 2. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Позначивши  , за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді:  ; коренями його будуть   та  . Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь   та  . (*)
Зробивши перевірку, переконуємось, що числа  , – корені рівняння   – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*):  .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння:
118.  .
119.  .
120.  .


Рівняння вигляду
 ,
де   – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної  , якщо використовувати тригонометричну тотожність
 ,
з якої випливає, що  . Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду:  . Так само рівняння вигляду   заміною   зводиться до рівняння  .
Приклад 3. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Позначивши   і використавши співвідношення  , зводимо дане рівняння до нового:  . Коренями цього рівняння будуть числа   та  . Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь:
 ,
 .
Домножуючи до обох частин цих рівнянь число  , зводимо їх до двох більш простих рівнянь
 ,
 ,
Звідки маємо, що
 ,
 .
За формулами синуса суми отримуємо
 ,
 ,
а тому
 ,
 .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння:
121.  .
122.  .
123.  .

Метод додаткового кутаРедагувати

Рівняння вигляду   рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню  , де   знаходиться з системи:  .
Приклад 3. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Так як  , то дане рівняння тотожно рівне рівнянню  , де   визначається рівняннями  . Так як   і   більше нуля, то за   можна взяти   і корінь даного рівняння матиме вигляд:  .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння:
124.  .
125.  .
126.  .
127.  .

Зниження степеняРедагувати

Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента.
Приклад 4. Розв’язати рівняння  .
Розв’язання. Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді  . Позначивши  , представимо дане рівняння у вигляді:  . Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння  , єдиний дійсний корінь якого  . Повертаючись до початкової змінної, отримуємо  .

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння:
128.  .
129.  . Дослідити розв'язок.
130.  .
131.  .


Зміст Наступна