Рівняння вигляду , , , , де – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь. Приклад 1. Розв’язати рівняння . Розв’язання. Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо , звідки , , , а тому й , .
,
де – раціональна функція вказаних аргументів (), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів , після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки (38), (40), (41) та (43), поклавши в них .
Приклад 2. Розв’язати рівняння . Розв’язання.
Позначивши , за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді: ; коренями його будуть та . Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь та . (*)
Зробивши перевірку, переконуємось, що числа , – корені рівняння – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*): .
Рівняння вигляду , де – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної , якщо використовувати тригонометричну тотожність ,
з якої випливає, що . Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду: . Так само рівняння вигляду заміною зводиться до рівняння . Приклад 3. Розв’язати рівняння . Розв’язання.
Позначивши і використавши співвідношення , зводимо дане рівняння до нового: . Коренями цього рівняння будуть числа та . Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь: , .
Домножуючи до обох частин цих рівнянь число , зводимо їх до двох більш простих рівнянь , ,
Звідки маємо, що , .
За формулами синуса суми отримуємо , ,
а тому , .
Рівняння вигляду рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню , де знаходиться з системи: . Приклад 3. Розв’язати рівняння . Розв’язання.
Так як , то дане рівняння тотожно рівне рівнянню , де визначається рівняннями
.
Так як і більше нуля, то за можна взяти і корінь даного рівняння матиме вигляд:
.
Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента. Приклад 4. Розв’язати рівняння . Розв’язання.
Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді
. Позначивши , представимо дане рівняння у вигляді: . Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння , єдиний дійсний корінь якого . Повертаючись до початкової змінної, отримуємо .
