Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута

Насамперед відмітимо уже відомі нам тотожності:

1. $\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}$
2. $\mathrm {ctg} \,\varphi ={\frac {\cos \varphi }{\sin \varphi }}$
3. $\sec \varphi ={\frac {1}{\cos \varphi }}$
4. $\mathrm {cosec} \,\varphi ={\frac {1}{\sin \varphi }}$

Ці співвідношення є означеннями відповідних тригонометричних функцій. Доведемо ще декілька співвідношень:

5. $\mathrm {tg} \,\varphi \cdot \mathrm {ctg} \,\varphi =1$ (13)

Дійсно, перемноживши почленно співвідношення (7) і (8), отримаємо (13).

6. $sin^{2}\phi +cos^{2}\phi =1$ (14)

До доведення основної тригонометричної тотожності

Нехай $\phi$ – довільний кут. Відмітимо на одиничному колі точку $B$, що відповідає кінцевій стороні кута $\phi$. Розглянемо прямокутний трикутник $OAB$ ($\angle A=90$ °). У ньому $OA=cos\phi$, $AB=sin\phi$, $OB=1$. За теоремою Піфагора $OA^{2}+AB^{2}=OB^{2}$. Підставивши відповідні значення у цю рівність, отримаємо (14).
Співвідношення (14) називають основною тригонометричною тотожністю.

7. $1+tg^{2}\phi =sec^{2}\phi$ (15)

Для того, щоб отримати дане співвідношення, потрібно (14) почленно розділити на $cos^{2}\phi$ і врахувати (7) і (9).

8. $1+ctg^{2}\phi =cosec^{2}\phi$ (16)

Доведіть останнє співвідношення самостійно.

Значення тригонометричних функцій деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій деяких кутів.

Кут І четверті

1. Нехай вектор одиничної довжини ${\overrightarrow {OA}}$ утворює з віссю абсцис кут $\phi =0$. Тоді його координати $x$ і $y$ дорівнюють відповідно $1$ і $0$. Але, як ми показали раніше, ці координати дорівнюють косинусу та синусу кута $\phi$. Отже, $sin0=0$, $cos0=1$. Врахувавши означення (7)-(10), маємо: $tg0={\frac {sin0}{cos0}}={\frac {0}{1}}=0$, $ctg0={\frac {cos0}{sin0}}$– не визначений, $sec0={\frac {1}{cos0}}={\frac {1}{1}}=1$, $cosec0={\frac {1}{sin0}}$ – не визначений.
2. Якщо $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, то координати вектора ${\overrightarrow {OA}}$ будуть такі: $x=0$, $y=1$. Отже, $sin{\frac {\pi }{2}}=1$, $cos{\frac {\pi }{2}}=0$, $tg{\frac {\pi }{2}}={\frac {sin{\frac {\pi }{2}}}{cos{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {1}{0}}$ – не визначений, $ctg{\frac {\pi }{2}}={\frac {cos{\frac {\pi }{2}}}{sin{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {0}{1}}=0$, $sec{\frac {\pi }{2}}={\frac {1}{cos{\frac {\pi }{2}}}}$ – не визначений, $cosec{\frac {\pi }{2}}={\frac {1}{sin{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {1}{1}}=1$.

Одиничне коло. Кут ${\frac {\pi }{6}}$

3. Нехай $\phi ={\frac {\pi }{6}}$ (див. мал. Одиничне коло. Кут ${\frac {\pi }{6}}$). Відкладемо від осі абсцис такий самий кут в протилежному напрямку. Розглянемо утворений $\triangle ABO$. У ньому $\angle O={\frac {\pi }{3}}$, а прилеглі до цього кута сторони трикутника – рівні як радіуси кола. Тому $\triangle ABO$ – рівносторонній. Тоді й $AB=1$. Висота рівностороннього трикутника дорівнює ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$, тому $OH={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.
Так як висота рівностороннього трикутника є і його медіаною, то $AH=BH={\frac {1}{2}}$. Як бачимо, точка А має координати $x={\frac {\sqrt {3}}{2}}$, $y={\frac {1}{2}}$. Тоді $sin{\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$, $cos{\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$. Звідси маємо: $tg{\frac {\pi }{6}}={\frac {sin{\frac {\pi }{6}}}{cos{\frac {\pi }{6}}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$, $ctg{\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{tg{\frac {\pi }{6}}}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {3}}{3}}}={\frac {3}{\sqrt {3}}}={\sqrt {3}}$, $sec{\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{cos{\frac {\pi }{6}}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$, $cosec{\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{sin{\frac {\pi }{6}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$.
Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій і деяких інших кутів. Значення тригонометричних функцій кутів $0$, ${\frac {\pi }{6}}$, ${\frac {\pi }{4}}$, ${\frac {\pi }{3}}$, ${\frac {\pi }{2}}$ слід знати напам’ять. Наводимо таблицю цих значень:

$\phi$	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$
$sin\phi$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
$cos\phi$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$tg\phi$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	не існує
$ctg\phi$	не існує	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$0$
$sec\phi$	$1$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	не існує
$cosec\phi$	не існує	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$1$

Побудова кута за даними значеннями його тригонометричних функцій

Побудова кута, синус якого дорівнює заданому числу

Задача. Побудувати кут $\phi$, синус якого дорівнює $a$.
I. Якщо $\left|a\right\vert >1$, то побудувати такий кут неможливо, так як $\left|sin\phi \right\vert \leq 1$.
II.Якщо $\left|a\right\vert \leq 1$, то робимо так. Проводимо коло радіуса $1$ з центром у початку координат. На осі $OY$ відмічаємо точку $B(0,a)$, і проводимо через неї пряму, паралельну осі абсцис. Точки перетину цієї прямої з колом позначимо через $A_{1}$ та $A_{2}$. Вектори ${\overrightarrow {OA_{1}}}$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}$ мають одиничну довжину, а їх ординати дорівнюють $a$. Тому всі кути, для яких кінцеві сторони містять ${\overrightarrow {OA_{1}}}$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}$, мають синус, що дорівнює $a$.
Побудуйте самостійно кути, косинус, тангенс і котангенс яких дорівнює $a$.
Приклад 1. Знайти $sin\phi \cdot cos\phi$, якщо $sin\phi -cos\phi =a$.
Розв’язання. Піднесемо співвідношення $sin\phi -cos\phi =a$ почленно до квадрату. Отримаємо: $sin^{2}\phi +cos^{2}\phi -2\cdot sin\phi \cdot cos\phi =a^{2}$. Використавши основну тригонометричну тотожність, матимемо $1-2\cdot sin\phi \cdot cos\phi =a^{2}$, звідки $sin\phi \cdot cos\phi ={\frac {1-a^{2}}{2}}$.

Вправи

13. З’ясуйте, чи можуть синус і косинус кута $\phi$ одночасно дорівнювати нулю.
14. Доведіть нерівність $\left|sec\phi \right\vert \geq 1$.
15. Знайти $sin\phi \cdot cos\phi$, якщо $sin\phi +cos\phi =a$.
16. Побудувати кут $\phi$ за такими даними:

1. $sin\phi ={\frac {1}{3}}$
2. $cos\phi =-{\frac {1}{3}}$
3. $sin\phi =-0,5$
4. $cos\phi =1$
5. $tg\phi =3$
6. $ctg\phi =5$
7. $sec\phi =1,5$
8. $cosec\phi =-2$

17. Обчислити:

1. $2\cdot sin{\frac {\pi }{6}}+3\cdot cos{\frac {\pi }{6}}-2\cdot tg{\frac {\pi }{6}}-4\cdot ctg{\frac {\pi }{6}}+sec{\frac {\pi }{6}}-cosec{\frac {\pi }{6}}$
2. $3\cdot sin0-5\cdot cos0+7\cdot tg0+sec0$
3. $sin{\frac {\pi }{2}}-6\cdot cos{\frac {\pi }{2}}+3\cdot ctg0+5\cdot cosec0$

Зміст Наступна