Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кутаРедагувати

Насамперед відмітимо уже відомі нам тотожності:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ці співвідношення є означеннями відповідних тригонометричних функцій. Доведемо ще декілька співвідношень:

5.   (13)

Дійсно, перемноживши почленно співвідношення (7) і (8), отримаємо (13).

6.   (14)
 
До доведення основної тригонометричної тотожності

Нехай   – довільний кут. Відмітимо на одиничному колі точку  , що відповідає кінцевій стороні кута  . Розглянемо прямокутний трикутник   (  °). У ньому  ,  ,  . За теоремою Піфагора  . Підставивши відповідні значення у цю рівність, отримаємо (14).
Співвідношення (14) називають основною тригонометричною тотожністю.

7.   (15)

Для того, щоб отримати дане співвідношення, потрібно (14) почленно розділити на   і врахувати (7) і (9).

8.   (16)

Доведіть останнє співвідношення самостійно.

Значення тригонометричних функцій деяких кутівРедагувати

Знайдемо значення тригонометричних функцій деяких кутів.

 
Кут І четверті

1. Нехай вектор одиничної довжини   утворює з віссю абсцис кут  . Тоді його координати   і   дорівнюють відповідно   і  . Але, як ми показали раніше, ці координати дорівнюють косинусу та синусу кута  . Отже,  ,  . Врахувавши означення (7)-(10), маємо:  ,  – не визначений,  ,   – не визначений.
2. Якщо  , то координати вектора   будуть такі:  ,  . Отже,  ,  ,   – не визначений,  ,   – не визначений,  .

 
Одиничне коло. Кут  

3. Нехай   (див. мал. Одиничне коло. Кут  ). Відкладемо від осі абсцис такий самий кут в протилежному напрямку. Розглянемо утворений  . У ньому  , а прилеглі до цього кута сторони трикутника – рівні як радіуси кола. Тому   – рівносторонній. Тоді й  . Висота рівностороннього трикутника дорівнює  , тому  .
Так як висота рівностороннього трикутника є і його медіаною, то  . Як бачимо, точка А має координати  ,  . Тоді  ,  . Звідси маємо:  ,  ,  ,  .
Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій і деяких інших кутів. Значення тригонометричних функцій кутів  ,  ,  ,  ,   слід знати напам’ять. Наводимо таблицю цих значень:

           
           
           
          не існує
  не існує        
          не існує
  не існує        

Побудова кута за даними значеннями його тригонометричних функційРедагувати

 
Побудова кута, синус якого дорівнює заданому числу

Задача. Побудувати кут  , синус якого дорівнює  .
I. Якщо  , то побудувати такий кут неможливо, так як  .
II.Якщо  , то робимо так. Проводимо коло радіуса   з центром у початку координат. На осі   відмічаємо точку  , і проводимо через неї пряму, паралельну осі абсцис. Точки перетину цієї прямої з колом позначимо через   та  . Вектори   та   мають одиничну довжину, а їх ординати дорівнюють  . Тому всі кути, для яких кінцеві сторони містять   та  , мають синус, що дорівнює  .
Побудуйте самостійно кути, косинус, тангенс і котангенс яких дорівнює  .
Приклад 1. Знайти  , якщо  .
Розв’язання. Піднесемо співвідношення   почленно до квадрату. Отримаємо:  . Використавши основну тригонометричну тотожність, матимемо  , звідки  .

ВправиРедагувати

13. З’ясуйте, чи можуть синус і косинус кута   одночасно дорівнювати нулю.
14. Доведіть нерівність  .
15. Знайти  , якщо  .
16. Побудувати кут   за такими даними:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

17. Обчислити:

  1.  
  2.  
  3.  

Зміст Наступна