Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Парність і непарність тригонометричних функційРедагувати

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай   задана на симетричній множині  , тобто, якщо  , то й  .
Парною називається функція  , якщо для будь-якого   з області визначення функції виконується співвідношення:

 .  (17)

Непарною називається функція  , якщо для будь-якого   з області визначення функції виконується співвідношення:

 .  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

 
Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути   і   утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони   та   цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів   та   задовольняють співвідношення  ,  . Тому  ,  . Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо:  ,  . Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.

Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута  .
Розв’язання.Враховуючи, що   і  , отримаємо, що  .

ВправиРедагувати

18. Обчислити значення синуса кута  .
19. Обчислити значення косинуса кута  .

Періодичність тригонометричних функційРедагувати

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію  ,  . Функція   називається періодичною, якщо разом з довільним   одночасно і  , а також  , де  . Число   називається періодом функції  .
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число  , теж є періодом функції  . Дійсно,

 .
 
Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції   та  . Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор  , який утворює з віссю абсцис кут  . Якщо зробити повний оберт вектора   навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут  . Але вектор   при цьому займе первісне положення, а тому його координати   і   не зміняться. Отже,  ,  .
При   повних обертах вектора   проти годинникової стрілки утвориться кут  ,  , а за годинниковою стрілкою – кут  ,  . У кожному з цих випадків координати   і   вектора не змінюються, а тому  ,  ,  .
Як бачимо,   є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції     і   – додатній період. Маємо, що  . Зокрема, при  , маємо  . Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні   радіанів (переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола). Якщо  , то  . Зокрема, при  ,  , тобто  . А це не так. Отже, найменшим додатнім періодом функції   є число  .
Аналогічно можна довести, що найменшим додатнім періодом функції   також є число  . Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

 
Лінія тангенсів

Дослідимо на періодичність функції   та  .
Ми знаємо, що тангенс кута   дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута   з лінією тангенсів. При повороті вектора  , що утворює з віссю абсцис кут  , на   радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка   на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному   маємо, що  . Це означає, що функція   є періодичною з періодом  . Але чи буде число   найменшим додатнім періодом цієї функції?
Припустимо, що найменший додатній період функції   дорівнює  . Тоді для всіх допустимих значень   повинно бути  . Зокрема, при  , дістаємо:  . Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при   і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за  , не може бути періодом функції  . Залишається визнати, що періодом (найменшим додатнім) функції   є число  .
Аналогічно можна довести, що періодом функції   також є число  . Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Формули зведенняРедагувати

 
До формул зведення

Теорема 1. Для будь-якого кута   виконується тотожність

 . (19)

Доведення. Якщо кут   закінчується в I квадранті, то кут   повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути   та   на одиничному колі (див. мал. До формул зведення). Зрозуміло, що  ,  . Але   – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому  . А це означає, що виконується тотожність (19).
Аналогічно можна розглянути випадки, коли кут   закінчується в II, III, IV квадрантах. Тотожність (19) легко перевірити і тоді, коли кінцева сторона кута   лежить на будь-якій осі координат. Розгляньте ці випадки самостійно.
З доведеної тотожності (19) випливає ряд інших важливих тотожностей. Замінивши в (19)   на  , отримаємо:  . Врахувавши парність косинуса, маємо:

 . (20)

Якщо ми замінимо   на  , то з (20) отримаємо:  , звідки

 . (21)

З (20) та (21) маємо, що  , тобто

 . (22)

Аналогічно

 . (23)

Тотожності (20)-(23) іноді називають формулами доповняльного кута. Це пов’язано з тим, що кути   та   доповнюють один одного до прямого кута. Ці формули дуже легко запам’ятати: функція змінюється на кофункцію (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). Наприклад,  ,  .
Тепер виведемо формули для кута  . Одну таку формулу ми вже отримали – це тотожність (19). Інші тотожності легко знаходимо з формул доповняльного кута і властивості парності (непарності) тригонометричних функцій. Маємо:
 , тобто

 . (24)

Аналогічно отримуємо:

 , (25)
 , (26)

Співвідношення (19)-(26) називаються формулами зведення для кутів  .
Формули зведення для кутів  ,  ,   легко отримати із співвідношень (19)-(26). Наведемо повну таблицю потрібних нам формул:

Кут     Неможливо розібрати вираз (SVG із запасним PNG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle cos x}    
         
         
         
         
         
         
         
         
         

У формулах зведення спостерігаються такі закономірності:
I. Якщо у формулі містяться кути   або  , то назва функції не змінюється; якщо ж у формулі містяться кути   або  , то назва функції змінюється на назву кофункції;
II. Щоб визначити знак у правій частині формули (+ чи -), досить, вважаючи кут   гострим, визначити знак виразу, що стоїть у лівій частині формули.

ВправиРедагувати

20. Довести, що  .
21. Довести, що кут   є одним з періодів функції  .
22. Спростити вираз:

  1.  
  2.  
  3.  

23.  . Чому дорівнює тангенс доповняльного кута?
24.  . Чому дорівнює синус доповняльного кута?
25. Довести тотожність:

  1.  
  2.  
  3.  

26. Довести, що синус суми двох кутів трикутника дорівнює синусу третього кута.

Зміст Наступна