Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай $f(x)$ задана на симетричній множині $X$, тобто, якщо $x\in X$, то й $(-x)\in X$.
Парною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=f(x)$.  (17)

Непарною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=-f(x)$.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути $\phi$ і $-\phi$ утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони ${\overrightarrow {OA_{1}}}$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}$ цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів ${\overrightarrow {OA_{1}}}=(x_{1},y_{1})$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}=(x_{2},y_{2})$ задовольняють співвідношення $x_{2}=x_{1}$, $y_{2}=-y_{1}$. Тому $cos(-\phi )=cos\phi$, $sin(-\phi )=-sin\phi$. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: $tg(-\phi )={\frac {sin(-\phi )}{cos(-\phi )}}={\frac {-sin\phi }{cos\phi }}=-tg\phi$, $ctg(-\phi )={\frac {cos(-\phi )}{sin(-\phi )}}={\frac {cos\phi }{-sin\phi }}=-ctg\phi$. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.

Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута $-{\frac {\pi }{3}}$.
Розв’язання.Враховуючи, що $tg(-\phi )=-tg\phi$ і $tg{\frac {\pi }{3}}={\sqrt {3}}$, отримаємо, що $tg(-\phi )=-{\sqrt {3}}$.

Вправи

18. Обчислити значення синуса кута $-{\frac {\pi }{3}}$.
19. Обчислити значення косинуса кута $-{\frac {\pi }{6}}$.

Періодичність тригонометричних функцій

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію $f(x)$, $x\in X$. Функція $f(x)$ називається періодичною, якщо разом з довільним $x\in X$ одночасно і $(x+T)\in X$, а також $f(x+T)=f(x)$, де $T\neq 0$. Число $T$ називається періодом функції $f(x)$.
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число $\tau =nT$, теж є періодом функції $f(x)$. Дійсно,

$f(x+\tau )=f(x+nT)=f(x+(n-1)T+T)=f(x+(n-1)T)=...=f(x+T)=f(x)$.

Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції $y=sin\phi$ та $y=cos\phi$. Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор ${\overrightarrow {OA}}$, який утворює з віссю абсцис кут $\phi$. Якщо зробити повний оберт вектора ${\overrightarrow {OA}}$ навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут $\phi +2\pi$. Але вектор ${\overrightarrow {OA}}$ при цьому займе первісне положення, а тому його координати $x$ і $y$ не зміняться. Отже, $y=sin\phi =sin(\phi +2\pi )$, $x=cos\phi =cos(\phi +2\pi )$.
При $n$ повних обертах вектора ${\overrightarrow {OA}}$ проти годинникової стрілки утвориться кут $\phi +2\pi n$, $n\in \mathbb {N}$, а за годинниковою стрілкою – кут $\phi -2\pi n$, $n\in \mathbb {N}$. У кожному з цих випадків координати $x$ і $y$ вектора не змінюються, а тому $y=sin\phi =sin(\phi +2\pi n)$, $x=cos\phi =cos(\phi +2\pi n)$, $n\in \mathbb {Z}$.
Як бачимо, $T=2\pi$ є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції $y=sin\phi$ $\exists T_{0}\neq 0$ і $T_{0}$ – додатній період. Маємо, що $sin\phi =sin(\phi +T_{0})$. Зокрема, при $\phi =0$, маємо $sinT_{0}=sin0=0$. Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні $\pi$ радіанів (переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола). Якщо $T_{0}=\pi$, то $sin(\phi +\pi )=sin\phi$. Зокрема, при $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, $sin{\frac {3}{2}}\pi =sin{\frac {\pi }{2}}$, тобто $-1=1$. А це не так. Отже, найменшим додатнім періодом функції $y=sin\phi$ є число $2\pi$.
Аналогічно можна довести, що найменшим додатнім періодом функції $y=cos\phi$ також є число $2\pi$. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Лінія тангенсів

Дослідимо на періодичність функції $y=tg\phi$ та $y=ctg\phi$.
Ми знаємо, що тангенс кута $\phi$ дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута $\phi$ з лінією тангенсів. При повороті вектора ${\overrightarrow {OA}}$, що утворює з віссю абсцис кут $\phi$, на $\pi$ радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка $B$ на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному $\phi$ маємо, що $tg(\phi +\pi )=tg\phi$. Це означає, що функція $y=tg\phi$ є періодичною з періодом $T=\pi$. Але чи буде число $\pi$ найменшим додатнім періодом цієї функції?
Припустимо, що найменший додатній період функції $y=tg\phi$ дорівнює $T$. Тоді для всіх допустимих значень $\phi$ повинно бути $tg(\phi +\pi )=tg\phi$. Зокрема, при $\phi =0$, дістаємо: $tgT=tg0=0$. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при $T=\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,$ і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за $\pi$, не може бути періодом функції $y=tg\phi$. Залишається визнати, що періодом (найменшим додатнім) функції $y=tg\phi$ є число $\pi$.
Аналогічно можна довести, що періодом функції $y=ctg\phi$ також є число $\pi$. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Формули зведення

До формул зведення

Теорема 1. Для будь-якого кута $\phi$ виконується тотожність

$sin({\frac {\pi }{2}}+\phi )=cos\phi$. (19)

Доведення. Якщо кут $\phi$ закінчується в I квадранті, то кут ${\frac {\pi }{2}}+\phi$ повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути $\phi$ та ${\frac {\pi }{2}}+\phi$ на одиничному колі (див. мал. До формул зведення). Зрозуміло, що $sin({\frac {\pi }{2}}+\phi )=BD$, $cos\phi =OC$. Але $\triangle AOC=\triangle BOD$ – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому $BD=OC$. А це означає, що виконується тотожність (19).
Аналогічно можна розглянути випадки, коли кут $\phi$ закінчується в II, III, IV квадрантах. Тотожність (19) легко перевірити і тоді, коли кінцева сторона кута $\phi$ лежить на будь-якій осі координат. Розгляньте ці випадки самостійно.
З доведеної тотожності (19) випливає ряд інших важливих тотожностей. Замінивши в (19) $\phi$ на $-\phi$, отримаємо: $sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )=cos(-\phi )$. Врахувавши парність косинуса, маємо:

$sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )=cos\phi$. (20)

Якщо ми замінимо $\phi$ на ${\frac {\pi }{2}}-\phi$, то з (20) отримаємо: $sin({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{2}}-\phi ))=cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )$, звідки

$cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )=sin\phi$. (21)

З (20) та (21) маємо, що $tg({\frac {\pi }{2}}-\phi )={\frac {sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )}{cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )}}={\frac {cos\phi }{sin\phi }}=ctg\phi$, тобто

$tg({\frac {\pi }{2}}-\phi )=ctg\phi$. (22)

Аналогічно

$ctg({\frac {\pi }{2}}-\phi )=tg\phi$. (23)

Тотожності (20)-(23) іноді називають формулами доповняльного кута. Це пов’язано з тим, що кути ${\frac {\pi }{2}}-\phi$ та $\phi$ доповнюють один одного до прямого кута. Ці формули дуже легко запам’ятати: функція змінюється на кофункцію (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). Наприклад, $sin{\frac {\pi }{6}}=cos{\frac {\pi }{3}}$, $tg{\frac {\pi }{5}}=cos{\frac {3\pi }{10}}$.
Тепер виведемо формули для кута ${\frac {\pi }{2}}+\phi$. Одну таку формулу ми вже отримали – це тотожність (19). Інші тотожності легко знаходимо з формул доповняльного кута і властивості парності (непарності) тригонометричних функцій. Маємо:
$cos({\frac {\pi }{2}}+\phi )=cos({\frac {\pi }{2}}-(-\phi ))=sin(-\phi )=-sin\phi$, тобто

$cos({\frac {\pi }{2}}+\phi )=-sin\phi$. (24)

Аналогічно отримуємо:

$tg({\frac {\pi }{2}}+\phi )=-ctg\phi$, (25)
$ctg({\frac {\pi }{2}}+\phi )=-tg\phi$, (26)

Співвідношення (19)-(26) називаються формулами зведення для кутів ${\frac {\pi }{2}}\pm \phi$.
Формули зведення для кутів $\pi \pm \phi$, ${\frac {3}{2}}\pi \pm \phi$, $2\pi \pm \phi$ легко отримати із співвідношень (19)-(26). Наведемо повну таблицю потрібних нам формул:

Кут $x$	$sinx$	$cosx$	$tgx$	$ctgx$
$\phi$	$sinx$	$cosx$	$tgx$	$ctgx$
${\frac {\pi }{2}}-\phi$	$cosx$	$sinx$	$ctgx$	$tgx$
${\frac {\pi }{2}}+\phi$	$cosx$	$-sinx$	$-ctgx$	$-tgx$
$\pi -\phi$	$sinx$	$-cosx$	$-tgx$	$-ctgx$
$\pi +\phi$	$-sinx$	$-cosx$	$tgx$	$ctgx$
${\frac {3}{2}}\pi -\phi$	$-cosx$	$-sinx$	$ctgx$	$tgx$
${\frac {3}{2}}\pi +\phi$	$-cosx$	$sinx$	$-ctgx$	$-tgx$
$2\pi -\phi$	$-sinx$	$cosx$	$-tgx$	$-ctgx$
$2\pi +\phi$	$sinx$	$cosx$	$tgx$	$ctgx$

У формулах зведення спостерігаються такі закономірності:
I. Якщо у формулі містяться кути $\pi$ або $2\pi$, то назва функції не змінюється; якщо ж у формулі містяться кути ${\frac {\pi }{2}}$ або ${\frac {3}{2}}\pi$, то назва функції змінюється на назву кофункції;
II. Щоб визначити знак у правій частині формули (+ чи -), досить, вважаючи кут $\phi$ гострим, визначити знак виразу, що стоїть у лівій частині формули.

Вправи

20. Довести, що $sin{\frac {37}{9}}\pi =sin{\frac {\pi }{9}}$.
21. Довести, що кут $3\pi$ є одним з періодів функції $y=cos2x$.
22. Спростити вираз:

1. $sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )+cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )$
2. $cos(\pi -\alpha )+ctg(\pi +\alpha )$
3. $sin^{2}(\pi +1)+cos^{2}(\pi -1)$

23. $tgx=3$. Чому дорівнює тангенс доповняльного кута?
24. $sin\phi =0,6$. Чому дорівнює синус доповняльного кута?
25. Довести тотожність:

1. $cos({\frac {\pi }{4}}+\alpha )=sin({\frac {\pi }{4}}-\alpha )$
2. $tgx\cdot tg({\frac {\pi }{2}}-x)=1$
3. $tg1^{\circ }\cdot tg2^{\circ }\cdot tg3^{\circ }\cdot ...\cdot tg87^{\circ }\cdot tg88^{\circ }\cdot tg89^{\circ }=1$

26. Довести, що синус суми двох кутів трикутника дорівнює синусу третього кута.

Зміст Наступна