Прості обчислення диференціальної геометрії

Наведені нижче формули просто виводяться, і їх треба мати під рукою при виконанні складних обчислень диференціальної геометрії.

ФормулиРедагувати

Добуток метричного тензора на обернену матрицю є одиничною матрицею  :

 

Згортка метричного тензора дорівнює числу   — розмірності многовида.

 

У чотирьох нижченаведених формулах   означає варіацію. Замість   в ці формули можна підставити також частинну похідну   по будь-якій координаті.

 
 
 
 

Згортка символів Крістофеля.

 
 

Дивергенція вектора  .

 

Лапласіан скалярного поля.

 

Вектори повної кривини.

 

Середня кривина многовида.

 

Обчислення (доведення формул)Редагувати

Формула (1) є просто означенням оберненої матриці (якою є метричний тензор з верхніми індексами, див. Диференціальна геометрія).
Формула (2) є слід одиничної матриці, тобто сума   одиниць, що стоять на головній діагоналі одиничної матриці.

Формули (3) і (4) виводимо, взявши варіацію (або похідну) від формули (1):

 

Домножуючи цю рівність на   і користуючись формулою (1), маємо:

 

звідки одержимо формулу, тотожну формулі (3) після заміни позначень індексів:

 

Для одержання формули (4), домножуємо (3а) на  , обчислення аналогічні тільки що зробленим.

Для обґрунтування формули (5) зауважимо, що визначник   є функцією від   (незалежних) елементів матриці   ( ). Частинна похідна визначника по одному з елементів   матриці дорівнює алгебраїчному доповненню цього елемента   в матриці, який у свою чергу дорівнює добутку визначника матриці на відповідний елемент оберненої матриці:  . Отже маємо першу частину формули (5):

 

Якщо сюди підставити   із формули (3), одержимо другу частину формули (5):

 

Формула (6) одержується легко з попередньої, як похідна складеної функції:

 

Перейдемо до згортки символів Крістофеля. У формулі (7) виразимо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

 

Оскільки тензор   симетричний, то при згортці з ним перший та третій доданок дадуть однакові величин, але протилежні за знаком — і тому взаємно знищаться. Залишається тільки середній доданок, до якого можна застосувати формулу (5):

 

У формулі (8) також виражаємо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

 

До перших двох доданків після розкриття дужок застосуємо формулу (4), яку в даному разі читаємо в зворотний бік, а до третього доданка застосуємо формулу (6):

 

При виводі формули (9) користуємося формулою (7):

 

Формула (10) одержується з попередньої, якщо підставити  :

 

Формула (11) слідує з означення:

 
 
 

Формула (12) одежується згорткою попередньої формули: