Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

Обернені тригонометричні функціїРедагувати

Нехай про кут   відомо лише те, що його синус дорівнює  :

 . 

Чи можемо ми знайти цей кут? Як відомо,  . Тому можливо, що  . Разом з тим в силу періодичності синуса  . Тому не виключена можливість, що  . Взагалі, яке б не було  ,  . Отже, шуканим кутом   може бути будь-який з кутів  ,  ,  ,   і т.д. Таким чином, за означенням свого синуса кут визначається неоднозначно.
Функція, обернена до функції  , заданої на кожному з проміжків  ,  , називається арксинусом і позначається  .

Позначення   від латинського arcus cuius sinus x est і означає, що у є величиною такого кута в радіанах, синус якого дорівнює  . Про арксинус як функцію обернену до функції синус дає змогу говорити теорема про існування і неперервність оберненої функції. Згідно неї, функція   має обернену функцію на проміжку, якщо вона неперервна і монотонна на цьому проміжку. Дійсно, функція   неперервна на всій області визначення і монотонна на кожному з проміжків  ,  . Крім того, на кожному з цих проміжків функція   пробігає всю множину значень (від -1 до 1). Саме тому ми можемо говорити про функцію   як обернену до функції  .
Найчастіше використовують функцію   при  . Тоді говорять про головне значення арксинуса, яке позначають  . Як відомо, графіки прямої та оберненої функції симетричні відносно прямої  . Це дає змогу легко зобразити графік функції   (див. малюнок)
Дамо аналогічні означення інших обернених тригонометричних функцій.
Функція, обернена до функції  , заданої на кожному з проміжків  ,  , називається арккосинусом і позначається  .

 
Графік функції y=arccos x
 
Графік функції y = arctg x
 
Графік функції y = arcctg x

Функція, обернена до функції  , заданої на кожному з проміжків  ,  , називається арктангенсом і позначається  .

Функція, обернена до функції  , заданої на кожному з проміжків  ,  , називається арккотангенсом і позначається  .
Так само, як і у випадку  , функції  ,  ,   монотонні і існують для кожного   згідно теореми про існування і неперервність оберненої функції.
При   можемо говорити про головні значення обернених тригонометричних функцій:

  1.   з множиною значень  ;
  2.   з множиною значень  ;
  3.   з множиною значень  .

Графіки функцій  ,  ,   зображені на малюнках.

Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язуванняРедагувати

Найпростішими тригонометричними рівняннями ми будемо називати рівняння вигляду  ,  ,  ,  . Розглянемо, які корені мають ці рівняння.

 
Корені рівняння  

Розглянемо рівняння  .
Кожен корінь рівняння   можна розглядати як абсцису якоїсь точки перетину синусоїди   з прямою   і, навпаки, абсциса кожної такої точки перетину є одним з коренів даного рівняння.
При   синусоїда   не перетинається з прямою  . У цьому випадку рівняння   коренів не має.
Нехай  . Тоді на проміжку   маємо дві точки перетину   і  .
Точка   попадає і на проміжок  . Тому її абсциса дорівнює  . Що ж до точки  , то її абсциса, як легко побачити з малюнка, дорівнює  . Всі інші точки перетину синусоїди   з прямою   ми розіб’ємо на дві групи:
  та  .
Точки першої групи віддалені від   на відстані, кратні  , і тому мають абсциси  ,  . Точки другої групи віддалені від точки   на відстані, кратні  , і тому мають абсциси   ,  . Таким чином, рівняння   має дві групи коренів. Легко зрозуміти, що обидві ці групи можна подати однією формулою:

  ,  (63)

До такого ж результату можна прийти і тоді, коли  . Ми не будемо докладно розбирати цей випадок, а пропонуємо зробити це самостійно.
При   рівняння   має корені

  ,  . (64)

Такий самий результат дає і формула (63) при  .
При   коренями рівняння   будуть числа

  ,  . (65)

Формула (63) охоплює і цей випадок. Справді, поклавши в ній   і врахувавши, що  , дістаємо:

  ,  .

Якщо   – парне (   ), то   ,  . Якщо   – непарне (   ), то   ,  . І той, і другий випадок враховується формулою (65).
Якщо  , то коренями рівняння   будуть числа:

  ,  . (66)

Формула (63) дає той же результат.
Формули коренів рівнянь  ,  ,   шукаються аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Ми обмежимось тим, що занесемо корені найпростіших тригонометричних рівнянь до таблиці(  – довільне ціле число):

Рівняння Обмеження Формули
      ,  
      ,  
  немає   ,  
  немає   ,  

ВправиРедагувати

Розв’язати рівняння.

74.  

75.  

76.  

77.  

78.  

79. Розв’язати вправи 74-75 за допомогою тригонометричного кола.

80. Розв’язати вправу 76 за допомогою лінії тангенсів.

Зміст Наступна