Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій

Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функційРедагувати

Введемо поняття монотонної функції. Нехай на числовій множині   задана деяка функція  .
Функція   називається спадаючою на множині  , якщо для довільних  , таких, що  , виконується нерівність:  . При строгій нерівності функція  називається строго спадаючою.
Функція   називається зростаючою на множині  , якщо для довільних  , таких, що  , виконується нерівність:  . При строгій нерівності функція   називається строго зростаючою.
Якщо   є спадаючою, зростаючою, строго спадаючою або строго зростаючою на деякій числовій множині, то говорять, що вона монотонна на цій множині.
Розглянемо означення тригонометричних функцій (5)-(6) та одиничне коло.

 
До теореми 2

Нехай кут   пробігає множину значень від   до  . Тоді абсциса відповідного вектора зменшується, тобто зменшується значення косинуса кута  . Як бачимо, функція   спадає на проміжку  . Якщо ж кут   пробігає множину значень від   до  , то абсциса відповідного вектора збільшується, тобто на цьому проміжку функція   зростає. Врахувавши періодичність функції  , маємо:
Теорема 2. Функція   монотонно зростає на проміжках  , та монотонно спадає на проміжках  .
Провівши подібне дослідження для функції  , отримаємо
Теорема 3. Функція   монотонно зростає на проміжках  , та монотонно спадає на проміжках  .
Проміжки монотонності функцій   та   визначте самостійно.
Розглянемо питання про неперервність тригонометричних функцій.
Будемо вважати функцію   неперервною в точці  , якщо вона визначена в цій точці та на деякому проміжку, якому дана точка належить, і якщо при незначній зміні аргументу значення функції також незначно змінюється.
Зміну аргументу позначимо   і будемо називати приростом аргументу. Відповідну зміну функції позначимо   і будемо називати приростом функції.
Функція  , згідно означення (6), визначена для будь-якого кута  , оскільки вираз   має зміст при будь якому додатному  . Розглянемо приріст аргумента  . Як видно з малюнка (до теореми 2), при наближення кута   до кута   приріст   необмежено зменшується, а з ним зменшується і різниця  . Поклавши, що   (коло – одиничне), маємо необмежене зменшення за абсолютною величиною і приросту функції  , тобто функція   неперервна для всіх аргументів  .
Розглянувши функцію  , прийдемо до висновку, що вона теж неперервна.

 
Про неперервність  

Що ж до функцій  ,  ,   та  , то вони визначені не для всякого кута  . Тангенс і секанс в силу означень (7) та (9) визначені лише для тих кутів, косинуси яких відмінні від нуля, а котангенс та косеканс в силу (8) і (10) – для тих кутів, синуси яких відмінні від нуля. Якщо  , то  . Це може бути лише тоді, коли вектор   перпендикулярний до осі абсцис. У цьому випадку кут   може набувати значень  ,  ,  ,  . Всі ці значення можна записати однією формулою  ,  .
Таким чином, тангенс і секанс визначені для всіх кутів  , крім кутів  ,  . Для кутів, де тангенс і секанс визначені, неперервність цих функцій випливає неперервності функцій синус та косинус. Отже, функції   та   неперервні у всіх точках, крім  ,  .
Неперервність функцій   та   у всіх точках, крім  ,  , доведіть самостійно.

Графіки тригонометричних функційРедагувати

 
Побудова синусоїди
 
Побудова синусоїди1
 
Побудова синусоїди2


Як випливає з формул зведення, поведінка тригонометричних функцій при всіх значеннях аргумента цілком визначається їх поведінкою при  . Тому ми насамперед побудуємо графіки саме на цьому проміжку.
Побудуємо графік  . Для цього розглянемо одиничне коло. Першу чверть кола поділимо на   рівних частин і через точки поділу проведемо прямі, паралельні осі  . Ординати точок поділу кола являють собою синуси відповідних кутів. Перша чверть кола відповідає кутам від   до  . Тому на осі   візьмемо відрізок   і поділимо його на   рівних частин. З точок поділу поставимо перпендикуляри до перетину з раніше проведеними горизонтальними прямими. Точки перетину сполучимо плавною лінією (див. мал. Побудова синусоїди).
Тепер звернемось до інтервалу   (див. мал. Побудова синусоїди1). Кожне значення аргументу   з цього відрізка можна подати у вигляді  , де  . За формулами зведення  .
Точки осі   з абсцисами   та   симетричні одна одній відносно точки осі   з абсцисою   і синуси в цих точках однакові. Це дає можливість побудувати графік функції   на відрізку   простим симетричним відображенням графіка цієї функції на інтервалі   відносно прямої  .
Тепер, використавши непарність функції  , легко побудувати графік цієї функції на проміжку   (див. мал. Побудова синусоїди2).

 
Синусоїда
 
Косинусоїда

Функція   періодична з періодом  . Тому для побудови всього графіка цієї функції досить побудовану частину продовжити вліво і вправо періодично з періодом  . Знайдена в результаті цього крива називається синусоїдою.
Щодо графіка функції  , то, як ми знаємо,  . Тому якщо функція   набуває якогось значення   при  , то при   такого самого значення набуває і функція  . Звідси можна зробити висновок, що графік функції   можна дістати за допомогою зсуву графіка функції   вздовж осі абсцис вліво на відстань  .
Іноді цю криву називають косинусоїдою.

 
Тангенсоїда
 
Побудова тангенсоїди
 
Побудова тангенсоїди1

Для побудови графіка функції   на півінтервалі   використаємо геометричну побудову, аналогічну до тієї, яку ми використали для побудови графіка функції  . Ми не будемо докладно спинятись на цій побудові, а обмежимось лише тим, що наведемо малюнок (див. мал. Побудова тангенсоїди).
Тепер, використовуючи графік функції   на проміжку  , можна побудувати графік цієї функції і на півінтервалі  . Для цього використаємо тотожність  . Вона вказує на те, що графік функції   симетричний відносно початку координат. Звідси відразу ж дістаємо ту частину графіка, яка відповідає значенням   (див. мал. Побудова тангенсоїди1).

 
Котангенсоїда

Функція   періодична з періодом  . Тепер для побудови її графіка нам потрібно лише продовжити періодично криву, яку ми отримали, вліво і вправо з періодом  . В результаті дістаємо криву, яку називають тангенсоїдою.
Для побудови графіка функції   слід використати тотожність  .
Вона вказує на такий порядок побудови графіка:
I. Тангенсоїду   треба зсунути вліво по осі абсцис на віддаль  ;
II. Знайдену криву відобразити симетрично відносно осі абсцис.
В результаті отримаємо криву, зображену на малюнку Котангенсоїда.

 
До прикладу 1

Приклад 1. За графіком функції   визначити всі числа, синус яких дорівнює  .
Розв’язання. Побудуємо синусоїду та пряму  . Ці два графіки функцій перетинатимуться в точках, абсциси яких матимуть матимуть координати  , для яких  . Розглянемо проміжок  . На ньому графіки функцій перетинаються в двох точках –   і   (див. мал. До прикладу 1). З таблиць відомо, що на розглядуваному проміжку є всього два кути  , для яких  . Це кути   та  . Отже, врахувавши періодичність функції синус, шукані числа матимуть вигляд   та  , де  .

ВправиРедагувати

27. За графіком функції   визначити приблизно:

  1.  
  2.  

28. За графіком функції   визначити всі числа, косинус яких дорівнює  .
29. При малих за абсолютною величиною значеннях   синусоїда   має такий самий вигляд, як і пряма   (зробіть малюнок). Тому для мали значень  :  . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

  1.  
  2.   (переведіть у радіани!)
  3.  

30. При малих за абсолютною величиною значеннях х косинусоїда   має такий самий вигляд, як і парабола  (зробіть малюнок). Тому для малих значень  :  . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

  1.  
  2.  
  3.  

31. Користуючись графіками функцій   та  , знайти найменші додатні корені рівнянь (приблизно):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Зміст Наступна