Косинус і синус суми і різниці двох аргументів. Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів

Косинус і синус суми і різниці двох аргументівРедагувати

 
Косинус суми двох аргументів

Розглянемо одиничне коло, а на ньому точки  ,   та   (див. мал. Косинус суми двох аргументів). Їм відповідають кути  ,   та  . Так як трикутники   та   – рівні (за першою ознакою рівності трикутників), то  . Підставимо в останню рівність довжини цих відрізків, виражених координатами їх кінцевих точок. Для цього використаємо формулу відстані між двома точками. Так як точка   має координати  , точка   – координати  , а точка   – координати  , то маємо:
 .
Тоді  
Звідси маємо, що  , а тому й

 .  (27)

Із співвідношення (27) випливає ряд інших важливих співвідношень. Замінивши у співвідношенні (27) кут   на  , отримаємо:

 .  (28)

Використовуючи формулу зведення (21) та співвідношення (28), маємо:
 
тобто

 . (29)

Замінивши у співвідношенні (29)   на  , отримаємо:

 .  (30)


ВправиРедагувати

32. Обчислити:

  1.  
  2.  

33. Довести, що:

  1.  
  2.  

34. Довести, що:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументівРедагувати

Розглянемо тангенс суми двох аргументів. Використавши означення, маємо:
 , тобто

 . (31)

При виведенні формули ми врахували, що  , тобто вирази   і   визначені.
Замінюючи у співвідношенні (31) кут   на  , і враховуючи, що  , отримаємо, що

 . (32)

Для виведення формули котангенса суми використаємо співвідношення (13):
 , тобто

 .  (33)

Замінюючи в співвідношення (33) кут   на  , і врахувавши, що  , отримаємо:

  . (34)

ВправиРедагувати

35. Довести, що:

  1.  
  2.  

36. Довести, що:

  1.  
  2.  

Зміст Наступна