Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Основні означення та позначення

ред.

Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:


  - квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого”;

  - квантор існування, вживається для заміни слів “існує”;

  - „існує єдиний”;

  - символ імплікації, запис означає: “якщо  , то  ”;

  - символ еквівалентності, запис   , означає одночасне виконання   і   , або для того, щоб   необхідно та достатньо, щоб   ;

  - символ диз’юнкції, запис   , означає   або   ( не в строгому розумінні);

  - символ кон'юнкції, запис   , означає   і  ;

 (  ) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);

  - множина натуральних чисел;

  - множина цілих чисел;

  - множина раціональних чисел;

 - множина дійсних чисел;

 - множина комплексних чисел;

  (   ) - додавання до значків


Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. Нехай тоді для множини   запис   означає, що   не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність   . Якщо   - множина, то істинно або   , або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності   . Дійсно, якщо   - вірно, тобто   не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у  , згідно визначенню сукупності  , а тому є вірним також і заперечення   . Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс. До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.


Поняття функції

ред.

Під   будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є:   . Елемент   при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент   - другою. Аналогічно визначається кортеж   , що складається з   координат.

Декартовим добутком множин   та   називається множина

 .

Так само декартовим добутком   множин   називається множина   . Якщо множини   співпадають ( ), то їх декартів добуток позначається як ( ).


Множина   називається бінарним відношенням між елементами множин   та  , якщо  .


Упорядкована трійка множин   називається відображенням (або функцією) з множини   в множину   , якщо   є функціональним бінарним відношенням між елементами множин   та   . При цьому множина   називається областю відправлення,   - областю прибуття, а   - графіком відображення.


Перша (друга) проекція графіка відображення   називається областю або множиною визначення (областю або множиною значень) відображення   та позначається   .

Упорядковані простори

ред.

Числові послідовності

ред.

Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).

ред.

Нехай послідовність   неспадна і   . Тоді   .

Наслідок 1. Зв’язок між нижньою межею та границею послідовності.

ред.

Наслідок 2. теорема Вейєрштрасса.

ред.

Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.

Підпослідовності

ред.

Критерій Коші, теореми Коші та Штольца

ред.

Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Математичний аналіз/Інтеграл Рімана

Коротка енциклопедиція з прикладної математики

Blender/Стартовий посібник (український інтерфейс)