Математичний аналіз/Вступ до аналізу
Основні означення та позначення
ред.Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:
- квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого”;
- квантор існування, вживається для заміни слів “існує”;
- „існує єдиний”;
- символ імплікації, запис означає: “якщо , то ”;
- символ еквівалентності, запис , означає одночасне виконання і , або для того, щоб необхідно та достатньо, щоб ;
- символ диз’юнкції, запис , означає або ( не в строгому розумінні);
- символ кон'юнкції, запис , означає і ;
( ) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);
- множина натуральних чисел;
- множина цілих чисел;
- множина раціональних чисел;
- множина дійсних чисел;
- множина комплексних чисел;
( ) - додавання до значків
Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. Нехай тоді для множини запис означає, що не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність . Якщо - множина, то істинно або , або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності . Дійсно, якщо - вірно, тобто не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у , згідно визначенню сукупності , а тому є вірним також і заперечення . Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс.
До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.
Поняття функції
ред.Під будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є: . Елемент при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент - другою. Аналогічно визначається кортеж , що складається з координат.
Декартовим добутком множин та називається множина
.
Так само декартовим добутком множин називається множина . Якщо множини співпадають ( ), то їх декартів добуток позначається як ( ).
Множина називається бінарним відношенням між елементами множин та , якщо .
Упорядкована трійка множин називається відображенням (або функцією) з множини в множину , якщо є функціональним бінарним відношенням між елементами множин та . При цьому множина називається областю відправлення, - областю прибуття, а - графіком відображення.
Перша (друга) проекція графіка відображення називається областю або множиною визначення (областю або множиною значень) відображення та позначається .
Упорядковані простори
ред.Числові послідовності
ред.Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).
ред.Нехай послідовність неспадна і . Тоді .
Розглянемо випадок . Виберемо довільне число . Тоді інтервал є околом точки і за топологічною властивістю верхньої межі вона є точкою дотикання, з чого слідує, що
.
Повністю аналогічно проводиться доведення у випадку .
Теорема доведена.
Наслідок 1. Зв’язок між нижньою межею та границею послідовності.
ред.Наслідок 2. теорема Вейєрштрасса.
ред.Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.
Підпослідовності
ред.Критерій Коші, теореми Коші та Штольца
ред.Математичний аналіз/Вступ до аналізу
Математичний аналіз/Інтеграл Рімана