Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями

нема опису редагування
(Сторінка очищена)
Мітка: Очищення
Немає опису редагування
==Парність і непарність тригонометричних функцій==
Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай <math>f(x)</math> задана на симетричній множині <math>X</math>, тобто, якщо <math>x\in X</math>, то й <math>(-x)\in X</math>.<br>
''Парною називається функція <math>f(x)</math>, якщо для будь-якого <math>x</math> з області визначення функції виконується співвідношення:''
<math>f(-x)= f(x)</math>. (17)
''Непарною називається функція <math>f(x)</math>, якщо для будь-якого <math>x</math> з області визначення функції виконується співвідношення:''
<math>f(-x)= -f(x)</math>. (18)
''Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.''
[[File:Дослідження на парність.png|thumb|Дослідження на парність]]
Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути <math>\phi</math> і <math>- \phi</math> утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони <math>\overrightarrow{O A _{1}}</math> та <math>\overrightarrow{O A _{2}}</math> цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів <math>\overrightarrow{O A _{1}}=(x _{1}, y _{1})</math> та <math>\overrightarrow{O A _{2}}=(x _{2},y _{2})</math> задовольняють співвідношення <math>x _{2}=x _{1}</math>, <math>y _{2}=-y _{1}</math>. Тому <math>cos(-\phi)=cos \phi</math>, <math>sin(-\phi)=-sin \phi</math>. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: <math>tg(- \phi) = \frac{sin(- \phi)}{cos(- \phi)} = \frac{-sin \phi}{cos \phi}=-tg \phi</math>, <math>ctg(- \phi) = \frac{cos(- \phi)}{sin(- \phi)} = \frac{cos \phi}{-sin \phi}=-ctg \phi</math>. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.<br><br>
 
'''Приклад 1.''' Обчислити значення тангенса кута <math>-\frac{\pi}{3}</math>.<br>
''Розв’язання.''Враховуючи, що <math>tg(- \phi) = -tg \phi</math> і <math>tg \frac{ \pi}{3} = \sqrt{3}</math>, отримаємо, що <math>tg(- \phi) = -\sqrt{3}</math>.<br>
 
===Вправи===
18. Обчислити значення синуса кута <math>-\frac{\pi}{3}</math>.<br>
19. Обчислити значення косинуса кута <math>-\frac{\pi}{6}</math>.<br>
 
==Періодичність тригонометричних функцій==
Введемо означення періодичної функції.<br>
''Нехай задано функцію <math>f(x)</math>, <math>x\in X</math>. Функція <math>f(x)</math> називається періодичною, якщо разом з довільним <math>x\in X</math> одночасно і <math>(x+T)\in X</math>, а також <math>f(x+T)= f(x)</math>, де <math>T \ne 0</math>. Число <math>T</math> називається періодом функції <math>f(x)</math>.''<br>
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число <math> \tau =nT</math>, теж є періодом функції <math>f(x)</math>. Дійсно,<br>
<math> f(x+ \tau) = f(x+nT) = f(x+(n-1)T+T) = f(x+(n-1)T) = ... = f(x+T) = f(x)</math>.
[[File:Тригонометричне коло.png|thumb|Тригонометричне коло]]
Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі '''''найменший додатній період функції'''''.<br>
Дослідимо на періодичність функції <math>y=sin \phi</math> та <math>y=cos \phi</math>. Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор <math>\overrightarrow{O A}</math>, який утворює з віссю абсцис кут <math> \phi</math>. Якщо зробити повний оберт вектора <math>\overrightarrow{O A}</math> навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут <math> \phi +2 \pi</math>. Але вектор <math>\overrightarrow{O A}</math> при цьому займе первісне положення, а тому його координати <math>x</math> і <math>y</math> не зміняться. Отже, <math> y=sin \phi=sin(\phi+ 2 \pi)</math>, <math>x=cos\phi=cos(\phi+ 2 \pi)</math>.<br>
При <math>n</math> повних обертах вектора <math>\overrightarrow{O A}</math> проти годинникової стрілки утвориться кут <math> \phi +2 \pi n</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>, а за годинниковою стрілкою – кут <math> \phi -2 \pi n</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>. У кожному з цих випадків координати <math>x</math> і <math>y</math> вектора не змінюються, а тому <math> y=sin \phi=sin(\phi+ 2 \pi n)</math>, <math>x=cos\phi=cos(\phi+ 2 \pi n)</math>, <math>n\in \mathbb{Z}</math>.<br>
Як бачимо, <math>T=2 \pi</math> є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції <math> y=sin \phi </math> <math> \exists T _{0} \ne 0</math> і <math> T _{0} </math> – додатній період. Маємо, що <math> sin \phi=sin(\phi+ T _{0})</math>. Зокрема, при <math> \phi = 0</math>, маємо <math> sin T _{0} = sin 0 = 0</math>. Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні <math> \pi </math> радіанів (''переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола''). Якщо <math>T _{0} = \pi</math>, то <math> sin(\phi +\pi) = sin \phi </math>. Зокрема, при <math>\phi = \frac{\pi}{2}</math>, <math> sin \frac{3}{2}\pi = sin \frac{\pi}{2} </math>, тобто <math>-1=1</math>. А це не так. Отже, '''''найменшим додатнім періодом функції <math> y=sin \phi </math> є число <math>2 \pi</math>'''''.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''найменшим додатнім періодом функції <math>y=cos \phi</math> також є число <math>2 \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
[[File:Лінія тангенсів.png|thumb|Лінія тангенсів]]
Дослідимо на періодичність функції <math>y=tg \phi</math> та <math>y=ctg \phi</math>.<br>
Ми знаємо, що тангенс кута <math> \phi</math> дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута <math> \phi</math> з ''лінією тангенсів''. При повороті вектора <math>\overrightarrow{O A}</math>, що утворює з віссю абсцис кут <math> \phi</math>, на <math> \pi </math> радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка <math> B </math> на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному <math> \phi</math> маємо, що <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Це означає, що функція <math>y=tg \phi</math> є періодичною з періодом <math>T= \pi</math>. Але чи буде число <math> \pi</math> найменшим додатнім періодом цієї функції?<br>
Припустимо, що найменший додатній період функції <math>y=tg \phi</math> дорівнює <math>T</math>. Тоді для всіх допустимих значень <math> \phi</math> повинно бути <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Зокрема, при <math> \phi =0</math>, дістаємо: <math> tg T = tg 0 = 0</math>. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при <math> T= \pi, 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi,</math> і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за <math> \pi</math>, не може бути періодом функції <math>y=tg \phi</math>. Залишається визнати, що '''''періодом (найменшим додатнім) функції <math>y=tg \phi</math> є число <math> \pi</math>'''''.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''періодом функції <math>y=ctg \phi</math> також є число <math> \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
==Формули зведення==
[[File:До формул зведення.png|thumb|До формул зведення]]
'''Теорема 1.''' ''Для будь-якого кута <math> \phi</math> виконується тотожність''<br>
<math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = cos \phi</math>. (19)<br>
''Доведення.'' Якщо кут <math> \phi</math> закінчується в I квадранті, то кут <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути <math> \phi</math> та <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> на одиничному колі (''див. мал. До формул зведення''). Зрозуміло, що <math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = BD</math>, <math> cos \phi = OC</math>. Але <math> \triangle AOC = \triangle BOD </math> – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому <math>BD = OC</math>. А це означає, що виконується тотожність (19).<br>
Аналогічно можна розглянути випадки, коли кут <math> \phi</math> закінчується в II, III, IV квадрантах. Тотожність (19) легко перевірити і тоді, коли кінцева сторона кута <math> \phi</math> лежить на будь-якій осі координат. Розгляньте ці випадки самостійно.<br>
З доведеної тотожності (19) випливає ряд інших важливих тотожностей. Замінивши в (19) <math> \phi</math> на <math>- \phi</math>, отримаємо: <math>sin( \frac{ \pi}{2} - \phi) = cos(- \phi)</math>. Врахувавши парність косинуса, маємо:
<math>sin( \frac{ \pi}{2} - \phi) = cos \phi</math>. (20)
Якщо ми замінимо <math> \phi</math> на <math> \frac{ \pi}{2} - \phi</math>, то з (20) отримаємо: <math>sin( \frac{ \pi}{2} - ( \frac{ \pi}{2} - \phi)) = cos(\frac{ \pi}{2} - \phi)</math>, звідки
<math>cos(\frac{ \pi}{2} - \phi) = sin \phi </math>. (21)
З (20) та (21) маємо, що <math>tg ( \frac{ \pi}{2} - \phi) = \frac{sin ( \frac{ \pi}{2} - \phi)}{cos ( \frac{ \pi}{2} - \phi)} = \frac{cos \phi}{sin \phi} = ctg \phi</math>, тобто
<math>tg ( \frac{ \pi}{2} - \phi) = ctg \phi</math>. (22)
Аналогічно
<math>ctg ( \frac{ \pi}{2} - \phi) = tg \phi</math>. (23)
Тотожності (20)-(23) іноді називають '''''формулами доповняльного кута'''''. Це пов’язано з тим, що кути <math> \frac{ \pi}{2} - \phi </math> та <math> \phi</math> доповнюють один одного до прямого кута. Ці формули дуже легко запам’ятати: ''функція змінюється на кофункцію (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс)''. Наприклад, <math>sin \frac{ \pi}{6} = cos \frac{ \pi}{3}</math>, <math>tg \frac{ \pi}{5} = cos \frac{3 \pi}{10}</math>.<br>
Тепер виведемо формули для кута <math> \frac{ \pi}{2} + \phi</math>. Одну таку формулу ми вже отримали – це тотожність (19). Інші тотожності легко знаходимо з формул доповняльного кута і властивості парності (непарності) тригонометричних функцій. Маємо:<br>
<math>cos( \frac{ \pi}{2} + \phi) = cos( \frac{ \pi}{2} -(- \phi)) = sin(-\phi)= - sin \phi</math>, тобто
<math>cos( \frac{ \pi}{2} + \phi) = - sin \phi</math>. (24)
Аналогічно отримуємо:
<math>tg( \frac{ \pi}{2} + \phi) = - ctg \phi</math>, (25)
<math>ctg( \frac{ \pi}{2} + \phi) = - tg \phi</math>, (26)
Співвідношення (19)-(26) називаються формулами зведення для кутів <math> \frac{ \pi}{2} \pm \phi</math>.<br>
Формули зведення для кутів <math> \pi \pm \phi</math>, <math> \frac{3}{2} \pi \pm \phi</math>, <math> 2 \pi \pm \phi</math> легко отримати із співвідношень (19)-(26). Наведемо повну таблицю потрібних нам формул:<br>
{| border=1 bgcolor=#F6FFFF
|'''Кут <math>x</math>'''
|'''<math>sin x</math>'''
|'''<math>cos x</math>'''
|'''<math>tg x</math>'''
|'''<math>ctg x</math>'''
|-
|'''<math> \phi</math>'''
|<math>sin x</math>
|<math>cos x</math>
|<math>tg x</math>
|<math>ctg x</math>
|-
|'''<math>\frac{\pi}{2} - \phi</math>'''
|<math>cos x</math>
|<math>sin x</math>
|<math>ctg x</math>
|<math>tg x</math>
|-
|'''<math>\frac{\pi}{2} + \phi</math>'''
|<math>cos x</math>
|<math>-sin x</math>
|<math>-ctg x</math>
|<math>-tg x</math>
|-
|'''<math>\pi - \phi</math>'''
|<math>sin x</math>
|<math>-cos x</math>
|<math>-tg x</math>
|<math>-ctg x</math>
|-
|'''<math>\pi + \phi</math>'''
|<math>-sin x</math>
|<math>-cos x</math>
|<math>tg x</math>
|<math>ctg x</math>
|-
|'''<math>\frac{3}{2} \pi - \phi</math>'''
|<math>-cos x</math>
|<math>-sin x</math>
|<math>ctg x</math>
|<math>tg x</math>
|-
|'''<math>\frac{3}{2} \pi + \phi</math>'''
|<math>-cos x</math>
|<math>sin x</math>
|<math>-ctg x</math>
|<math>-tg x</math>
|-
|'''<math>2\pi - \phi</math>'''
|<math>-sin x</math>
|<math>cos x</math>
|<math>-tg x</math>
|<math>-ctg x</math>
|-
|'''<math>2\pi + \phi</math>'''
|<math>sin x</math>
|<math>cos x</math>
|<math>tg x</math>
|<math>ctg x</math>
|-
|}
У формулах зведення спостерігаються такі закономірності:<br>
I. Якщо у формулі містяться кути <math> \pi </math> або <math>2\pi </math>, то назва функції не змінюється; якщо ж у формулі містяться кути <math>\frac{\pi}{2} </math> або <math>\frac{3}{2} \pi </math>, то назва функції змінюється на назву кофункції;<br>
II. Щоб визначити знак у правій частині формули (+ чи -), досить, вважаючи кут <math> \phi</math> гострим, визначити знак виразу, що стоїть у лівій частині формули.<br>
 
===Вправи===
20. Довести, що <math>sin \frac{37}{9} \pi = sin \frac{\pi}{9} </math>.<br>
21. Довести, що кут <math>3\pi </math> є одним з періодів функції <math>y = cos 2x </math>.<br>
22. Спростити вираз:
# <math>sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha) + cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha) </math>
# <math>cos ( \pi - \alpha) + ctg ( \pi + \alpha) </math>
# <math>sin^2 ( \pi + 1) + cos^2 ( \pi - 1) </math>
23. <math> tg x = 3 </math>. Чому дорівнює тангенс доповняльного кута?<br>
24. <math> sin \phi = 0,6 </math>. Чому дорівнює синус доповняльного кута?<br>
25. Довести тотожність:
# <math>cos ( \frac{\pi}{4} + \alpha) = sin ( \frac{\pi}{4} - \alpha) </math>
# <math>tg x \cdot tg ( \frac{\pi}{2} - x) = 1 </math>
# <math>tg 1^\circ \cdot tg 2^\circ \cdot tg 3^\circ \cdot ... \cdot tg 87^\circ \cdot tg 88^\circ \cdot tg 89^\circ = 1 </math>
26. Довести, що синус суми двох кутів трикутника дорівнює синусу третього кута.
 
[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій|Наступна]]
 
[[Категорія:Математика]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]
224

редагування