Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 38:
''Доведення.'' Якщо кут <math> \phi</math> закінчується в I квадранті, то кут <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути <math> \phi</math> та <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> на одиничному колі (''див. мал. До формул зведення''). Зрозуміло, що <math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = BD</math>, <math> cos \phi = OC</math>. Але <math> \triangle AOC = \triangle BOD </math> – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому <math>BD = OC</math>. А це означає, що виконується тотожність (19).<br>
Аналогічно можна розглянути випадки, коли кут <math> \phi</math> закінчується в II, III, IV квадрантах. Тотожність (19) легко перевірити і тоді, коли кінцева сторона кута <math> \phi</math> лежить на будь-якій осі координат. Розгляньте ці випадки самостійно.<br>
З доведеної тотожності (19) випливає ряд інших важливих тотожностей. Замінивши в (19) <math> \phi</math> на <math>- \phi</math>, отримаємо: <math>sin( \frac{ \pi}{2} - \phi) = cos(- \phi)</math>. Врахувавши парність косинуса, маємо:
<math>sin( \frac{ \pi}{2} - \phi) = cos \phi</math>. (20)
Якщо ми замінимо <math> \phi</math> на <math> \frac{ \pi}{2} - \phi</math>, то з (20) отримаємо: <math>sin( \frac{ \pi}{2} - ( \frac{ \pi}{2} - \phi)) = cos(\frac{ \pi}{2} - \phi)</math>, звідки
<math>cos(\frac{ \pi}{2} - \phi) = sin \phi </math>. (21)
| |||