Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями

нема опису редагування
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Припустимо, що найменший додатній період функції <math>y=tg \phi</math> дорівнює <math>T</math>. Тоді для всіх допустимих значень <math> \phi</math> повинно бути <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Зокрема, при <math> \phi =0</math>, дістаємо: <math> tg T = tg 0 = 0</math>. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при <math> T= \pi, 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi,</math> і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за <math> \pi</math>, не може бути періодом функції <math>y=tg \phi</math>. Залишається визнати, що '''''періодом (найменшим додатнім) функції <math>y=tg \phi</math> є число <math> \pi</math>'''''.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''періодом функції <math>y=ctg \phi</math> також є число <math> \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
==Формули зведення==
[[File:До формул зведення.png|thumb|До формул зведення]]
'''Теорема 1.''' ''Для будь-якого кута <math> \phi</math> виконується тотожність''<br>
<math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = cos \phi</math>. (19)<br>
''Доведення.'' Якщо кут <math> \phi</math> закінчується в I квадранті, то кут <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути <math> \phi</math> та <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> на одиничному колі (''див. мал. До формул зведення''). Зрозуміло, що <math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = BD</math>, <math> cos \phi = OC</math>. Але <math> \triangle AOC = \triangle BOD </math> – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому <math>BD = OC</math>. А це означає, що виконується тотожність (19).<br>
224

редагування