Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 25:
Дослідимо на періодичність функції <math>y=sin \phi</math> та <math>y=cos \phi</math>. Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор <math>\overrightarrow{O A}</math>, який утворює з віссю абсцис кут <math> \phi</math>. Якщо зробити повний оберт вектора <math>\overrightarrow{O A}</math> навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут <math> \phi +2 \pi</math>. Але вектор <math>\overrightarrow{O A}</math> при цьому займе первісне положення, а тому його координати <math>x</math> і <math>y</math> не зміняться. Отже, <math> y=sin \phi=sin(\phi+ 2 \pi)</math>, <math>x=cos\phi=cos(\phi+ 2 \pi)</math>.<br>
При <math>n</math> повних обертах вектора <math>\overrightarrow{O A}</math> проти годинникової стрілки утвориться кут <math> \phi +2 \pi n</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>, а за годинниковою стрілкою – кут <math> \phi -2 \pi n</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>. У кожному з цих випадків координати <math>x</math> і <math>y</math> вектора не змінюються, а тому <math> y=sin \phi=sin(\phi+ 2 \pi n)</math>, <math>x=cos\phi=cos(\phi+ 2 \pi n)</math>, <math>n\in \mathbb{Z}</math>.<br>
Як бачимо, <math>T=2 \pi</math> є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції <math> y=sin \phi </math> <math> \exists T _{0} \ne 0</math> і <math> T _{0} </math> – додатній період. Маємо, що <math> sin \phi=sin(\phi+ T _{0})</math>. Зокрема, при <math> \phi = 0</math>, маємо <math> sin T _{0} = sin 0 = 0</math>. Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні <math> \pi </math> радіанів (''переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола''). Якщо <math>T _{0} = \pi</math>, то <math> sin(\phi +\pi) = sin \phi </math>. Зокрема, при <math>\phi = \frac{\pi}{2}</math>, <math> sin \frac{3}{2}\pi = sin \frac{\pi}{2} </math>, тобто <math>-1=1</math>. А це не так. Отже, '''''найменшим додатнім періодом функції <math> y=sin \phi </math> є число <math>2 \pi</math>'''''.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''найменшим додатнім періодом функції <math>y=cos \phi</math> також є число <math>2 \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
[[File:Лінія тангенсів.png|thumb|Лінія тангенсів]]
Дослідимо на періодичність функції <math>y=tg \phi</math> та <math>y=ctg \phi</math>.<br>
Ми знаємо, що тангенс кута <math> \phi</math> дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута <math> \phi</math> з ''лінією тангенсів''. При повороті вектора <math>\overrightarrow{O A}</math>, що утворює з віссю абсцис кут <math> \phi</math>, на <math> \pi </math> радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка <math> B </math> на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному <math> \phi</math> маємо, що <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Це означає, що функція <math>y=tg \phi</math> є періодичною з періодом <math>T= \pi</math>. Але чи буде число <math> \pi</math> найменшим додатнім періодом цієї функції?<br>
Припустимо, що найменший додатній період функції <math>y=tg \phi</math> дорівнює <math>T</math>. Тоді для всіх допустимих значень <math> \phi</math> повинно бути <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Зокрема, при <math> \phi =0</math>, дістаємо: <math> tg T = tg 0 = 0</math>. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при <math> T= \pi, 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi,</math> і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за <math> \pi</math>, не може бути періодом функції <math>y=tg \phi</math>. Залишається визнати, що '''''періодом (''найменшим додатнім'') функції <math>y=tg \phi</math> є кут <math> \pi</math>'''''.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''періодом функції <math>y=ctg \phi</math> також є число <math> \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
| |||