Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 28:
Аналогічно можна довести, що періодом функції <math>y=cos \phi</math> також є число <math>2 \pi</math>. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
[[File:Лінія тангенсів.png|thumb|Лінія тангенсів]]
Дослідимо на періодичність функції <math>y=tg \phi</math> та <math>y=ctg \phi</math>.<br>
Ми знаємо, що тангенс кута <math> \phi</math> дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута <math> \phi</math> з ''лінією тангенсів''. При повороті вектора <math>\overrightarrow{O A}</math>, що утворює з віссю абсцис кут <math> \phi</math>, на <math> \pi </math> радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка <math> B </math> на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному <math> \phi</math> маємо, що <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Це означає, що функція <math>y=tg \phi</math> є періодичною з періодом <math>T= \pi</math>. Але чи буде число <math> \pi</math> найменшим додатнім періодом цієї функції?<br>
Припустимо, що найменший додатній період функції <math>y=tg \phi</math> дорівнює <math>T</math>. Тоді для всіх допустимих значень <math> \phi</math> повинно бути <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Зокрема, при <math> \phi =0</math>, дістаємо: <math> tg T = tg 0 = 0</math>. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при <math> T= \pi, 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi,</math> і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за <math> \pi</math>, не може бути періодом функції <math>y=tg \phi</math>. Залишається визнати, що періодом (''найменшим додатнім'') функції <math>y=tg \phi</math> є кут <math> \pi</math>.<br>
Аналогічно можна довести, що періодом функції <math>y=ctg \phi</math> також є число <math> \pi</math>. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
| |||