Розв'язник вправ по дискретній математиці/Сообщение

Теорія множин. Вправа 1Редагувати

1. Визначити, чи можна назвати кожну з наступних множин чітко визначеною. Кротко пояснити свою відповідь:

  a)    Множина всіх буквенно-цифрових символів;
  b)	Множина всіх людей високого зросту;
  c)	Множина всіх хороших тенісистів;
  d)	Множина всіх дійсних значень х, для яких виконується  2х-9=16.

2. U={множина натуральних чисел}; A={2,4,6,8,10}; B={1,3,6,7,8}. Встановити: вірним або хибним є наступне твердження:

  a)    2 є А;
  b)	11 є В;
  c)	4 ∉ B;
  d)	A = {парні числа}.

3. U=R; A= {4, √2, 2/3, -2.5, -5, 33, √9, π}. Використовуючи позначення {…} записати множину, що складається з:

  a)    Натуральних чисел, що належать множині А;
  b)	Цілих чисел, що належать множині А;
  c)	Раціональних чисел, що належать множині А;
  d)	Ірраціональних чисел, що належать множині А.

4. Вірним чи хибним є наступне твердження:

  a)    ø = {0};
  b)	x ∈ { x };
  c)	ø = { ø };
  d)	ø ∈ { ø }.

5. Наступні множини визначені після позначення │. Переписати ці множини шляхом перерахування декількох з їх елементів.

  a)    {p | p - столиця, p знаходиться в Європі};
  b)   {x | x = 2n - 5, x та n є натуральними числами};
  c)   {y | 2y2 = 50, y є цілим};
  d)   {z | 3z = n2, z та n є натуральними числами}.

Теорія множин. Вправа 2Редагувати

1. Переписати таблицю істинності і вписати в кінці кожного рядка кількість кожної області у Fig. 4 Venn Diagrams.

у А? у В? у С? Область
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0

2. Якщо U = {літери алфавіту}, A = {a, a, a, б, б, a, в}, B = {в, б, a, в} та C = {a, б, в}, що можна сказати про A, B та C?

3. U = {натуральні числа}; A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 3, 6, 7, 8}. Встановити, вірним чи хибним є твердження:

  a)    A ⊂ U;
  b)	B ⊆ A;
  c)	ø ⊂ U;

4. U = { а, б, в, г, ґ, д, е, є }; P = {в, д}; Q = {а, в, г, ґ , д, є}; R = {в, г, є}

  a)    Зобразіть діаграму Венна,  показуючи ці множини з усіма елементами, що знаходяться у відповідних їм областях. При необхідності, переробіть схему, щоб усунути порожні області.
  b)	Які з множин  P, Q та R є власною підмножиною інших? Запишіть відповідь, використовуючи позначення  ⊂.
  c)	P та R є непересічними множинами. Вірно чи хибно?

5. Зробити ескізи діаграм Венна, які показують універсальну множину U, множини А і В і один елемент х в кожному з таких випадків:

  a)    а) х ∈ А; A ⊂ B
  b)	б) х ∈ А; А і Б не перетинаються
  c)	C) х ∈ А; х ∉ B; У ⊂ A
  d)	х ∈ А; х ∈ B; А не є підмножина B; В не є підмножиною A.

Теорія множин. Вправа 3Редагувати

1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 3, 6, 7, 8}; C = {3, 7}

  a)    зобразити множини U, A, B та C за допомогою діаграм Венна,розставляючи всі елементи на відповідні місця. (Примітка: якщо якась з областе діаграми не містить жодного елемента, переробити діаграму, щоб виправити це.)
  b)   використовуючи діаграми Венна, перерахувати елементи всіх наступних множин:   A ∩ B, A ∪ C, A′, B′, B ∩ A′, B ∩ C′, A – B, A Δ B
  c)	Доповнити твердження, використовуючи один символ: C - B = ... .

2. Вірно чи хибно?

  a)    | ø | = 1
  b)	| { x, x } | = 2
  c)	| U ∩ ø | = 0

3. Що можна сказати про множини P та Q якщо:

  a)    P ∩ Q′ = ø
  b)	P ∪ Q = P?

4. Зробіть шість малюнків, як показано нижче і замалюйте відповідні області:

a) A ′ ∪ B b) A ∩ B ′ c) (A ∩ B) ′ d) A ′ ∪ B ′ e) (A ∪ B) ′ f) A ′ ∩ B ′

5. Визначте множини, представлені заштрихованими областями на діаграмах Венна нижче, використовуючи необхідні символи зі списку ∩, ∪ та ′.:

6.

  a)    Одна з заштрихованих областей в питанні 5 являє собою множину А-В. написати її визначення, використовуючи необхідні символи зі списку ∩, ∪ та ′.
  b)	Знову ж за допомогою однієї з відповідей на питання 5, написати визначення  A Δ B,  використовуючи тільки символи зі списку ∩, ∪ та ′. (тут можливі два варіанти – перевір, чи можеш ти знайти їх.)

Теорія множин. Вправа 4Редагувати

1

  a)    Якщо  A = {1, 2, 3, 4}, переписати P(A) перераховуючи елементи. Знайти потужність | P(A) |?
  b)	Якщо | A | = 5, яка потужність | P(A) |?
  c)	Якщо | A | = 10, яка потужність | P(A) |?

2. Довести наступні тотожності, вказуючи, які саме з законів множин ви використали в доведенні

  a)    B ∪ (ø ∩ A) = B
  b)	(A ′ ∩ U) ′ = A
  c)	(C ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A ∪ (B ∩ C)
  d)	(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ' ) = A
  e)	(A ∩ B) ∪ (A ∪ B ' ) ′ = B
  f)	A ∩ (A ∪ B) = A

Теорія множин. Вправа 5Редагувати

1. X = {a, c} та Y = {a, b, e, f}. Перерахувати елементи множин, утворених наступним чином:

  a)    X × Y
  b)	Y × X
  c)	X 2 (= X × X)
  d)	Що можна сказати про множини A та B якщо A × B = B × A?

2. Дошка для гри в шахи має 8 рядків, пронумерованих від 1 до 8, та 8 стовпців від a дo кожний квадрат шахової дошки визначається парою символів (лiтера стовпця і номер рядка).

  a)    Лицар знаходиться на (d, 3). Запишіть свої можливі позиції після одного ходу конем.
  b)	якщо R = {1, 2, ..., 8}, C = {a, b, ..., h}, і P = {координати всіх квадратиків на дошці}, використати позначення множин, щоб виразити P через R та C.
  c)	Тура(ладья) розташована на (g, 2). Якщо T = {2} і G = {g}, виразити можливі позиції після одного ходу тури через R, C, T та G.

3. У певній мові програмування всі назви змінних мають бути довжиною 3 символи таким чином, щоб перший символ був будь якою літерою від «а» до «z», два інших можуть бути літерами з того ж проміжку або цифрою від 0 до 9. Якщо L = {a, b, c, ... , z}, D = {0, 1, 2, ..., 9}, і V = {допустимі імена змінних}, використовуючи Декартів добуток, завершити V = {pqr | (p, q, r) ∈ ... }

4. Вважається, що для будь-яких множин A, B та C, A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). (Зверніть увагу, у разі, якщо це вірно, то × дистрибутивне над ∩) Скопіюйте та завершіть дві Декартові діаграми, приведені нижче – це для вираження в кожній частині рівняння – для його дослідження. Як Ви вважаєте, дане твердження є вірним?