Основні поняття теорії категорій

Категорією називається пара множин: $\mathrm {Ob}$ - множина математичних об'єктів та $\mathrm {Mor}$ - множина морфізмів. Поняття морфізму у теорії категорій узагальнює поняття відображення. Запис $f:A\to B$ означає, що $f\in \mathrm {Mor} (A,B).$ За допомогою теорії категорій формулюються властивості математичних об'єктів через їх відображення, що зберігають їх структуру. На об'єктах й морфізмах задаються наступні операції.

1. Унарні операції $\mathrm {Dom} \,f$ та $\mathrm {Codom} \,f,$ які зіставляють кожному морфізмові $f\in \mathrm {Mor}$ пару математичних об'єктів $(A,B)\in \mathrm {Ob} ,$ та які називаються відповідно областю визначення $\mathrm {Dom}$ та областю значення $\mathrm {Codom}$ морфізму $f$.
2. Унарна операція $e,$ яка зіставляє кожному об'єкту з множини $\mathrm {Ob}$ так званий одиничний морфізм $e$; зокрема, якщо $A\in \mathrm {Ob} ,$ то одининий морфізм $e_{A}$ є морфізмом з $A$ у $A.$ Замість $e_{A}$ пишуть також $1_{A}$ або $\mathrm {Id} _{A}$ ($\mathrm {Id}$ від "ідемпотент").
3. Тернарна операція $\circ (A,B,C),$ яка зіставляє кожній трійці об'єктів $A,B,C\in \mathrm {Ob}$ операцію композиції, яка дає по парі морфізмів $f:A\to B$ та $g:B\to C$ їхню композицію $f\circ (A,B,C)g:A\to C.$ При цьому виконуються наступні алгебричні тотожності:

• $\mathrm {Id} _{A}\circ g=g$ та $f\circ \mathrm {Id} _{A}=f$ для усіх $f:B\to A$ та $g:A\to B$;
• $A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C$ (асоціативність композиції).

Дану композицію можна записати й наступним чином: $\mathrm {Mor} (B,C)\times \mathrm {Mor} (A,B)\to \mathrm {Mor} (A,C).$

Прикладом категорії може бути реляційна система $\langle X,\leq \rangle$ (частково впорядкована множина), у якій об'єктами є елементи $\mathrm {Ob} \,X,$ а множина морфізмів з об'єкта $A$ у об'єкт $B$ категогії $X,$ де $A,B\in \mathrm {Ob} \,X,$ є непустою лише у випадку, якщо $A\leq B.$ У цьому випадку $\mathrm {Mor}$ складається лише з одного морфізму, який називається морфізмом порядку. Частковий порядок називається також квазіпорядком, а частково впорядкована множина - квазівпорядкованою.

Якщо ${\mathcal {C}}$ є категорією, то дуальна категорія ${\mathcal {C}}_{dual}$ визначається як категорія, яка містить ті самі об'єкти, що й категорія ${\mathcal {C}},$ однак у якій множина $\mathrm {Mor} (A,B)$ об'єкта $A$ у об'єкт $B$ ототожнюється із $\mathrm {Mor} (B,A).$ Композиція морфізмів $f\circ g$ у дуальній категорії ${\mathcal {C}}_{dual}$ визначається як композиція морфізмів $g\circ f.$ Таким чином, будь-яке математичне поняття або тверждення, яке відноситься до декотрої категорії, має дуальне твердження або поняття ("процес обернення стрілок").

Категорія ${\mathfrak {C}}$ називається підкатегорією категорії ${\mathcal {C}}$ якщо об'єкти $\mathrm {Ob} \,{\mathfrak {C}}$ належать до об'єктів $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}},$ тобто $\mathrm {Ob} \,{\mathfrak {C}}\subset \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}},$ а також якщо формізми $\mathrm {Mor} \,{\mathfrak {C}}$ належать до морфізмів $\mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}},$ тобто $\mathrm {Mor} \,{\mathfrak {C}}\subset \mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}}.$ Тотожні морфізми $\mathrm {Id} _{\mathrm {Ob} \,{\mathfrak {C}}}$ та $\mathrm {Id} _{\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ у обох категоріях є однаковими та закон композиції морфізмів категорії ${\mathfrak {C}}$ породжується законом композиції морфізмів категорії ${\mathcal {C}}.$ Підкатегорія ${\mathfrak {C}}$ категорії ${\mathcal {C}}$ називається повною, якщо для будь-якої пари $(A,B)\in \mathrm {Ob} \,{\mathfrak {C}}$ справджується рівність $\mathrm {Mor} _{\mathfrak {C}}(A,B)=\mathrm {Mor} _{\mathcal {C}}(A,B).$

Зазвичай користуються наступними позначеннями морфізмів:

• гомоморфізм $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)=\mathrm {Mor} (A,B),$
• ендоморфізм $\mathrm {End} _{\mathcal {C}}(A)=\mathrm {Mor} (A,A),$
• $\mathrm {Aut} _{\mathcal {C}}(A)$ - група автоморфізмів об'єкта $A$ (в ${\mathcal {C}}$).

Нехай $f:A\to B$ є морфізмом категорії ${\mathcal {C}}.$ Для кожного об'єкта $C\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ розгляньмо відображення $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,A)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,B),$ який ставить у відповідність кожному елементові $g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,A)$ елемент $f\circ g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,B).$ Морфізм $f$ називється мономорфізмом, якщо наведене відображення є ін'єктивним для будь-якого об'єкта $C\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}.$.

Нехай тепер $f:A\to B$ - довільний морфізм та $C$ - довільний об'єкт категорії ${\mathcal {C}}.$ Розгляньмо відображення $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(B,C)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,C),$ що ставить у відповідність кожному елементові $g\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(B,C)$ елемент $g\circ f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,C).$ Морфізм $f$ називається епіморфізмом, якщо задане відображення є ін'єктивним для будь-якого об'єкта $C$ категорії ${\mathcal {C}}.$ Зрозуміло, що $f$ є епіморфізмом лише тоді, коли він розглядується як елемент з $\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{dual}}(B,A)$ й є мономорфізмом. Іншими словами, епіморфізм отримується шляхом дуалізації поняття мономорфізму.

Таким чином, морфізм $f$ називається мономорфізмом, якщо $f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h$ (відповідно $g\circ f=h\circ f\Rightarrow g=h$). Мономорфізм називають також вкладенням (ін'єкцією), а епіморфізм - накладанням (сюр'єкцією).

Запевнимося у цьому, розглянувши мономорфізм $f:A\to B,$ зробивши припущення, що це відображення не є ін'єктивним. Тоді за декотрих різних $a_{1}$ та $a_{2}$ одержимо $a_{1}f=a_{2}f.$ Оберімо одноелементу множину $C=\{c\}$ та нехай $g_{1}:C\to A$ та $g_{2}:C\to A$ визначаються рівностями $cg_{1}=a_{1}$ та $cg_{2}=a_{2}.$ Тоді $cg_{1}f=cg_{2}f$ та $g_{1}f=g_{2}f.$ Оскільки $g_{1}\neq g_{2},$ то одержуємо суперечливість із визначенням мономорфізму.

Нехай тепер $f:A\to B$ є епіморфізмом та його образом у $<B$ є підмножина $B_{0}\subset B.$ Візьмімо дві множини $B_{1}$ та $B_{2}$ із перетином $B_{1}\cap B_{2}=B_{0}'$ таким чином, щоб справджувалися умови:

• є два взаємно однозначних відображення $g_{1}:B\to B_{1}$ та $g_{2}:B\to B_{2},$ які співпадають на $B_{0}$ та є різними поза $B_{0}$ та які дають взаємно однозначне відображення $B_{0}\to B_{0}'.$ Оберімо $C=B_{1}\cup B_{2},$ тоді одержимо відображення $g_{1}:B\to C$ та $g_{2}:B\to C.$ Відображення $g_{1}$ та $g_{2}$ є різними, але $fg_{1}=fg_{2}.$ Наведена множина $C=B_{1}\cup B_{2}$ пов'язана із поняттям амальгами, яке застосовується до алгебр.

Композиція мономорфізмів є знову мономорфізмом (так само, як композиція ін'єктивних відображень є ін'єктивною). Якщо $f\circ g$ є мономорфізмом, то $f$ - мономорфізм.

Якщо $g\circ f$ є епіморфізмом, то $g$ - є епіморфізмом. Зрозуміло, що композиція двох епіморфізмів є епіморфізмом.

Якщо $f$ є одночасно мономорфізмом (ін'єкцією) й епіморфізмом (сюр'єкцією), то $f$ - ізоморфізм. Конкретніше, морфізм $f$ називається ізоморфізмом, якщо існує морфізм $g$ такий, що $f\circ g=\mathrm {Id} _{B}$ та $g\circ f=\mathrm {Id} _{A},$ тобто якщо морфізм $f$ є зворотним. Ізоморфізм $f:A\simeq B.$ позначається $\mathrm {Iso} (A,B).$ Композиція ізоморфізмів є ізоморфізмом.

Нехай тепер $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}.$ Розгляньмо мономорфізми $f:Y\to X$ та $g:Z\to X.$ Говорять, що момноморфізм $f$ мажорує мономорфізм $g$ та пишуть $f\geq g$ (або $g\leq f$), якщо існує морфізм $h:Z\to Y$ такий, що $f\circ h=g.$ Відношення $\geq$ є рефлексивним й транзитивним.

Припустімо, що також $g\geq f,$ тоді існують ізоморфізми $\varphi :Y\to Z$ та $h:Z\to Y,$ такі, що $g=f\circ h$ та $f=g\circ \varphi .$ Однак тоді $g=g(\varphi \circ h)$ та $f=f(h\circ \varphi ),$ і оскільки $f$ та $g$ є мономорфізмами, то $\varphi \circ h=\mathrm {Id} _{Z}$ та $h\circ \varphi =\mathrm {Id} _{Y}.$

Два мономоріфзма $f:Y\to X$ та $g:Z\to X,$ для яких $f\geq g$ та $g\geq f,$ називаються еквівалентними (при цьому говорять, що мономорфізми $f$ та $g$ мажорують один одного).

Ретракція морфізму $g:B\to A$ називається такий морфізм $f:A\to B,$ що $f\circ g=\mathrm {Id} _{B}.$

Перетин морфізму $g:B\to A$ - це такий морфізм $f:A\to B,$ що $g\circ f=\mathrm {Id} _{A}.$

За допомогою аксіоми вибору оберемо у класі еквівалентних мономорфізмів по представнику (в якості представника класу мономорфізмів, що еквівалентні $\mathrm {Id} _{X},$ тобто класу усіх ізоморфізмів із областю значення $X$). Отримані таким чином мономорфізми називаються підоб'єктами об'єкта $X.$ Підоб'єкти об'єкта $A$ у цьому випадку є не просто об'ктами категорії ${\mathcal {C}},$ а декотрими парами $(X,x),$ де $f:Y\to X$ є мономорфізмом (який називається канонічним мономорфізмом $Y$ у $X$).

Фактороб'єкт та канонічний епіморфізм визначаються дуально: у цьому випадку розглядають відношеня мажорування $\geq$ на епіморфізмах із спільною областю визначення. Це відношення визначається наступним чином: $f\geq g,$ якщо існує морфізм $h$ такий, що $h\circ f=g$ (тобто якщо у дуальній категорії ${\mathcal {C}}_{dual}$ мономорфізм $f$ мажорує мономорфізм $g$). Відношення між підоб'єктами чи фактороб'єктами є відношенням (часткового) порядку (для підоб'єктів $Y$ та $Z$ замість $Y\geq Z$ записують також $Y\supset Z$ чи $Z\subset Y$).

У категорії множин (як й у категорії груп) прямий добуток співпадає із класичним прямим добутком. Однак пряма сума є їх об'єднанням (за припущення, що дані множини не перетинаються). Пряма сума груп - їх вільний добуток (тому у літературі можна зустріти замість терміну "пряма сума" термін "вільний добуток"), а пряма сума абелевих груп - їх класична пряма сума.

Нехай $A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ та нехай $(f_{i})_{i\in I}$ - пронумерована елементами множини $I$ скінченна множина (сім'я) морфізмів $f_{i}:A\to A_{i}.$ тоді для будь-якого $B\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ відображення $g\to f_{i}\circ g$ множини $\mathrm {Hom} (B,A)$ до множини $\mathrm {Hom} (B,A_{i})$ визначають відображення $\mathrm {Hom} (B,A)\to \prod _{i\in I}\mathrm {Hom} (B,A_{i}).$ Говорять, що морфізми $f_{i}$ визначають представлення об'єкта $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ в якості прямого добутку об'єктів $A_{i},$ якщо для довільного $B\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ попереднє відображення є бієктивним. Важливо зауважити, що у цьому випадку $A$ - це не просто об'єкт $A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}},$ а об'єкт, який є наділеним сім'єю морфізмів $(f_{i})$ у $A_{i},$ які називаються канонічними проекціями добутку на співмножники $A_{i}.$

Дуальним чином можна представити об'єкт $A$ у вигляді суми сімейства об'єктів $A_{i}$ за допомогою морфізмів $f_{i}:A_{i}\to A$ (для довільного $B\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ відображення $\mathrm {Hom} (A,B)\to \prod _{i\in I}\mathrm {Hom} (A_{i},B)$ повинне бути бієктивним). У цьому випадку пряма сума $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ є наділеною канонічними вкладеннями $A_{i}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}$ (які можуть і не бути мономорфізмами).

Приклади категорій. Розгляньмо деякі приклади.

• Категорія ${\textbf {Set}}.$ Об'єкти категорії ${\textbf {Set}}$ - множини. Для довільних множин $A$ та $B$ двох множин $A,B$ під $\mathrm {Hom} _{\textbf {Set}}(A,B)$ розуміється множина усіх відображень $A$ на $B,$ а під композицією - звичайна композиція відображень. Аксіоматика теорії множин, що нині широко використовується, є аксіоматикою Бернайса-Гьоделя, яка базується на відмінності понять класу й множини: множиною називається клас, який є елементом якого-небудь класу (припускаються також "власні класи", тобто класи, які не є можинами - наприклад, клас усіх множин). Однак у цій аксіоматиці поняття класу усіх функторних морфізмів функтора $F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2}$ у функтор $G:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2}$ (законний - об'єкти категорії ${\mathcal {C}}_{1}$ утворюють множину) є незаконним, коли клас об'єктів категорії ${\mathcal {C}}_{1}$ є власним. Справді, будь-який функторний морфізм $f:F\to G$ є відображенням класу об'єктів $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}_{1}$ у клас морфізмів $\mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}}_{2},$ відповідно він є ототожнюваний із підмножиною добутку $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}_{1}\times \mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}}_{2},$ утвореною усеможливими парами $(X,\,f(X))$ (де $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}_{1}$). Відтак, якщо $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ є власним класом, то й $f$ є власним класом. Але у такому випадку $f$ не може бути елеметом жодного класу. Таким чином, якщо клас об'єктів категорії ${\mathcal {C}}_{1}$ - не множина, то "класу" $\mathrm {Hom} (F,G)$ не існує.
• Категорія $\mathrm {Top} .$ Об'єктами категорії $\mathrm {Top}$ є топологічні простори. Під $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Top} }(X,Y)$ для двох довільних топологічних просторів $X$ та $Y$ розуміють множину усіх неперервних відображень $X$ на $Y.$ Під у цьому випадку композицією розуміють звичайну композицію відображень (композиція двох неперервних відображень також є неперервною).
• Категорія ${\mathcal {G}}.$ Об'єктами категорії ${\mathcal {G}}$ є групи. Під $\mathrm {Hom} _{\mathcal {G}}(A,B)$ для двох довільних груп $A$ та $B$ розуміють множину усіх гомоморфізмів групи $A$ на групу $B.$ Під композицією розуміють звичайну композицію гомоморфізмів.
• Категорія ${\mathcal {Ab}}.$ Об'єктами категорії ${\mathcal {Ab}}$ є комутативні (абелеві) групи, а морфізми - знову гомоморфізми. Нехай $A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {Ab}}.$ У цьому випадку $A$ можна вважати підгрупою абелевої групи ${\mathcal {Ab}}.$ Іншими словами, вибір, який входить до визначення підоб'єкта, можна здійснити таким чином, щоб кожний підоб'єкт $A$ мав вигляд $(A_{1},\phi ),$ де $A_{1}\subset A,$ a $\phi (a)=a$ для усіх $a\in A.$

Функтор

Розгляньмо категорії ${\mathcal {C}}_{1}$ та ${\mathcal {C}}_{2}.$ Коваріантним функтором з ${\mathcal {C}}_{1}$ до ${\mathcal {C}}_{2}$ називається "функція" $F,$ яка складається із:

• відображення $A\mapsto F(A),$ яке ставить у відповідність кожному об'єкту $A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}_{1}$ об'єкт $F(A)\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}_{2}$;
• відображень $F(A,B):\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(A,B)\to \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(A),F(B))$ (відповідно $F(A,B):\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(A,B)\to \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(B),F(A))$),

визначених для усіх пар об'єктів $(A,B)$ з категорії ${\mathcal {C}}_{1}$ та таких, що $F(\mathrm {Id} _{A})=\mathrm {Id} _{F(A)}$ та $F(gf)=F(g)\,F(f)$ (відповідно $F(gf)=F(f)\,F(g)$).

Функтор $T:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2}$ складається із відображень об'єктів $A\mapsto T(A)$ й відображення морфізмів $T(A,B):\mathrm {Hom} (A,B)\to \mathrm {Hom} (T(A),\,T(B)),$ який зберігає добуток й тотожні морфізми. Функтор називається повним, якщо відображення $T(A,B)$ є сюр'єктивним; функтор називається точним, якщо відображення $T(A,B)$ є ін'єктивним. Варто відзначити, що точний функтор може переводити неізоморфні об'єкти у ізоморфні.

Таким самим чином визначаються контраваріантні функтори з ${\mathcal {C}}_{1}$ до ${\mathcal {C}}_{2}$ (які є також коваріантними функторами із ${\mathcal {C}}_{1}^{dual}$ до ${\mathcal {C}}_{2},$ та навпаки, з ${\mathcal {C}}_{1}$ до ${\mathcal {C}}_{2}^{dual},$ де ${\mathcal {C}}_{1}^{dual}$ та ${\mathcal {C}}_{2}^{dual}$ - дуальні до категорій ${\mathcal {C}}_{1}$ та ${\mathcal {C}}_{2}$ категорії відповідно).

Мала категорія

Мала категорія ${\mathcal {C}}$ - категорія, у якої $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ та $\mathrm {Mor} (X,Y)$ є множинами. Окрім категорії усіх множин, просторів, кілець тощо розглядають категорію множин, просторів, кілець із потужністю, яка є обмеженою декотрим кардиналом, який називається універсумом Гротендика й визначається аксіоматично. Універсум Гротендика - це множина ${\mathcal {U}},$ яка має наступні властивості:

• якщо $x\in {\mathcal {U}}$ та $y\in x,$ то $y\in {\mathcal {U}}$;
• $\emptyset \in {\mathcal {U}}$;
• якщо $x\in {\mathcal {U}},$ то $2^{x}\in {\mathcal {U}}$;
• якщо $\{x_{i}\}_{i\in I}$ - сім'я, для якої $x_{i}\in {\mathcal {U}}$ та $I\in {\mathcal {U}},$ то $\bigcup _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}.$

Подібна аксіоматика є незалежною від аксіом Цермело-Френкеля із аксіомою вибору. Користуючись аксіомами універсуму, можна переконатися, що кожна категорія із об'єктами малої потужності є еквівалентною малій категорії.

Категорія булевих кілець є еквівалентною категорії булевих алгебр (алгебр логічних висловлювань). Якщо $A$ є булевим кільцем, то операції $\neg ,\land ,\lor$ визначаються за формулами:

• $\neg a=1-a$;
• $a\land b=ab$;
• $a\lor b=ab+a+b.$

Існування універсуму є рівносильним існуванню сильно недосяжних кардиналів у теорії множин. Як казав Архімед у своєму творі "Псамміт", "серед чисел, які ми назвали й опублікували у написаній до Зевксиппа книзі, декотрі перебільшують не лише число пісчинок у об'ємі, який дорівнює заповненій Землі, але навіть у об'ємі, рівному світу". Відповідно, число пісчинок на Землі - деяке конкретне натуральне число. Однак дати безпосереднє визначення цього числа, назвати саме це число практично неможливо. Послідовний перебір пісчинок є нездійснюваним. Відповідно, кількість пісчинок на Землі недосяжним натуральним числом.

Зазвичай коли говорять слово "множина", розуміють під цим поняттям сукупність об'єктів довільного роду, розглядувану як єдине ціле. Нестандартна теорія множин базується на ідеї, що множини бувають різні: стандартні й нестандартні. Стандартні об'єкти виникають з вже наявних за допомогою описів типу теорем існування та єдиності, тобто постулюється припустимість рекурсії. Тобто у стандартній непустій множині міститься стандартний елемент та об'єкт, який конструюється чи визначається єдиним чином з наявних стандартних елементів, є сам стандартним. Інший аспект, пов'язаний із уявленнями про стандартність, полягає у тому, постулюється можливість індукції - пізнання ідеальних конструкцій за допомогою вивчення реально доступних стандартних об'єктів. За принципом стандартизації, кожна стандартна множина й будь-яка властивість визначають нову стандартну множину - підмножину початкової множини, стандартні елементи якої наділені вказаною властивістю. Натуральне число $n$ називається нестандартним (нездійснюваним) лише у тому випадку, якщо $N$ є більшим від будь-якого стандартного натурального числа, тобто $N\in \mathbb {N} \setminus {\tilde {\mathbb {N} }}\leftrightarrow (\forall n\in {\tilde {\mathbb {N} }})(N>n).$ У зв'язку із цим нестандартні натуральні числа називають недосяжними (недоступними). Число $r\in \mathbb {R}$ називається досяжним, якщо можна віднайти стандартне число $n\in {\tilde {\mathbb {N} }},$ за якого $|r|\leq n.$ Умова доступності числа $r\in \mathbb {R}$ символічно записується як $r\in \mathrm {Itd} (\mathbb {R} ).$ При побудові числа $\aleph$ користуються числом Хартогса ${\mathcal {H}}(x),$ яке означає наймений із таких ординалів $\alpha ,$ що не існує жодного ін'єктивного відображення з $\alpha$ до $x.$ Ординал, нерівнопотужний жодному попередньому ординалу, називається кардиналом. Будь-яке натуральне число є кардиналом. Кардинал, який не є натуральним числом, називається нескінченним, або трансфінітним. Найменший трансфінітний кардинал позначається літерою $\omega .$ Число Хартогса, відповідно, є кардиналом будь-якого $x.$ Число Хартогса довільного ординалу $\alpha$ є найменшим ординалом, точно більшим від $\alpha .$ Нехай $2^{\omega _{\alpha }}$ - потужність множини ${\mathcal {H}}(\omega _{\alpha }),$ де $2^{x}$ та ${\mathcal {H}}(x)$ є рівнопотужними для довільного $x,$ a $2^{x}$ - клас усіх відображень $x\to 2.$ За Г.Кантором, $|x|<|2^{x}|,$ якою б не була множина $x.$ Зокрема, $\omega _{\alpha }<2^{\omega _{\alpha }}$ для довільного ординалу $\alpha .$ Питання про те, чи немає проміжні потужності між $\omega _{\alpha +1}$ та $2^{\omega _{\alpha }}$ (іншими словами, чи справджується рівність $\omega _{\alpha +1}=2^{\omega _{\alpha }}$), складає суть узагальненої гіпотези континууму (за $\alpha =0$ це класична проблема континууму).

Діаграми

Діаграмна схема $T$ складається з двох множин - об'єктів $\mathrm {Ob} \,T$ які називаються схемами, й множини $\mathrm {Mor} \,T$ елементами якої морфізми (стрілки), а також двох відображень $D_{T},E_{T}:\mathrm {Mor} \,T\to \mathrm {Ob} \,T.$ Для будь-якого морфізму $f\in \mathrm {Mor} \,T$ об'єкт $D_{T}f$ називається його областю визначення, а об'єкт $E_{T}f$ - його областю значень.

Підмножина множини $\mathrm {Mor} \,T,$ яка складається із усіх морфізмів із даною областю визначення $D$ та даною областю значень $E,$ позначається $\mathrm {Hom} _{F}(D,E).$ Запис $f:D\to E$ означає, що $f\in \mathrm {Hom} _{T}(D,E).$

Морфізм $g$ схеми $T$ у схему $U$ - пара відображень $g_{\mathrm {Ob} }:\mathrm {Ob} \,T\to \mathrm {Ob} \,U$ та $g_{\mathrm {Mor} }:\mathrm {Mor} \,T\to \mathrm {Mor} \,U$ що $D_{U}\circ g_{\mathrm {Mor} }=g_{\mathrm {Ob} }\circ D_{T}$ та $E_{U}\circ g_{\mathrm {Mor} }=g_{\mathrm {Ob} }\circ E_{T}.$ Таким чином, схеми та їхні морфізми складають категорію.

Будь-якій категорії ${\mathcal {C}}$ відповідає діаграмна схема, яка будується із ігноруванням тотожних відображень $\mathrm {Id} _{\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}:\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}}$ та ${\mathfrak {M}}_{\mathcal {C}}:\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\times \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(B,C)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,C),$ які мають наступні властивості:

• для будь-якого об'єкта $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ справджується рівність $D_{\mathcal {C}}(\mathrm {Id} _{\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}})=E_{\mathcal {C}}(\mathrm {Id} _{\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}})=\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ (морфізм $\mathrm {Id} _{\mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ є тотожним морфізмом)
• відображення ${\mathfrak {M}}_{\mathcal {C}}$ визначене для будь-яких трьох об'єктів $A,B,C$ категорії ${\mathcal {C}}$; морфізм ${\mathfrak {M}}_{\mathcal {C}}$ при цьому називається композицією морфізмів $f$ та $g$ (тобто ${\mathfrak {M}}_{\mathcal {C}}$ називається законом композиції категорії ${\mathcal {C}}$);
• для будь-яких морфізмів $f:A\to B,\,\,g:B\to C$ та $h:C\to X$ має місце співвідношення асоціативності: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$;
• для довільного морфізму $f:A\to B$ мають місце рівності $f\circ \mathrm {Id} _{A}=\mathrm {Id} _{B}\circ f=f.$

Нехай $T$ та $U$ - дві діаграмні схеми. Діаграмою типу $T$ над схемою $U$ називається довільний морфізм схеми $T$ у схему $U.$ Діаграма називається скінченною, якщо її тип $T$ має таку властивість, що множини $\mathrm {Ob} \,T$ та $\mathrm {Mor} \,T$ є скінченними.

Діаграмами над категорією ${\mathcal {C}}$ називаються діаграми над діаграмною схемою категорії ${\mathcal {C}}.$

Діаграмна схема $T$ є малою діаграмною схемою, якщо множини $\mathrm {Ob} \,T$ та $\mathrm {Mor} \,T$ належать деякій фіксованій "універсальній множині" ${\mathcal {U}}$. Відповідно, діаграма називається малою, якщо її тип є малою схемою.

Нехай $f:T\to {\mathcal {C}}$ - довільна діаграма типу $T$ над ${\mathcal {C}}$ та нехай $A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}.$ Прямим (індукованим) конусом із скінченною вершиною $A$ та базою $f$ називається система (сім'я) морфізмів $\{p_{i}\}$ категорії ${\mathcal {C}},$ яка має наступні властивості:

• індексами сім'ї $\{p_{t}\}$ є об'єкти $t$ діаграмної схеми $\mathrm {Ob} \,T$;
• областю значень морфізму $p_{t}$ є об'єкт $A,$ а областю визначення - об'єкт $ft$;
• для довільного морфізму $g:t\to t'$ схеми $T$ має місце рівність $p_{t}=p_{t'}\circ fg.$

Усі прямі конуси (за даної бази $f$) складають декотру категорію.

У категорії може бути початковий (ініціальний) об'єкт, з якого є єдиний морфізм у будь-який інший об'єкт. Протилежним до нього поняттям є кінцевий (термінальний) об'єкт, у який є єдиний морфізм з будь-якого об'єкта. Якщо об'єкт є одначасно початковим та кінцевим, то він називається нульовим. Наприклад, у теорії множин початковим об'єктом є пуста множина, а кінцевим - будь-яка множина, що складається з одного елемента.

Розгляньмо найпостішу екваціональну систему - структуру, яка є моделлю системи наступних аксіом:

• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$;
• $a\cdot a^{-1}=e$;
• $a\cdot e=a$;
• $e\cdot a=a,$

де $a,b,c\in G.$ Екваціональні системи, що задовільняють даній системі аксіом, утворюють категорію (категорію груп, категорію напівгруп тощо). Морфізмами такої категорії є відображення, що комутують із операціями: $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ тощо. У будь-якій такій категорії є нульовий об'єкт: система складається з одного елемента. На ній усі рівності тривіально виконуються, а нерівностей не може бути.

Конус $(p_{i})$ із базою $f$ є початковим, якщо він є лівим нулем (ініціальним об'єктом) цієї категорії, тобто якщо для будь-якго конусу $(q_{t})$ із довільною вершиною $Y$ та тою самою базою $f$ існує лише один морфізм $g:X\to Y$ такий, що $q_{t}=g\circ p_{t}$ для будь-якого $t\in \mathrm {Ob} \,T.$ У цьому випадку об'єкт $X$ називається прямою границею діаграми $f$ й позначається $\lim _{\underset {t}{\to }}f(t)$ (чи просто $\lim _{\to }f$), a морфізми $p_{t}$ називаються канонічними ін'єкціями й позначаються $\mathrm {in} _{t}^{f}.$ Границя $\lim _{\to }f$ визначена однозначно із точністю до ізоморфізму.

Амальгамами називаються прямі границі виду

Амальгаму даної діаграми називають амальгамою об'єктів $A$ та $B$ під об'єктом $C$ й позначають $A{\overset {C}{\times }}B.$

Нехай тепер $f$ - довільна діаграма типу $T$ над категорією ${\mathcal {C}},$ та нехай $B\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}.$ Зворотним (проективним) конусом із початковою вершиною $B$ та базою $f$ називається сім'я $\{p_{i}\}$ морфізмів категорії ${\mathcal {C}},$ яка має наступні властивості:

• індекси сім'ї $\{p_{i}\}$ є об'єкти $t$ діаграмної схеми $T$;
• областю визначення морфізму $p_{t}$ є об'єкт $B$ а областю значень - об'єкт $ft=f_{\mathrm {Ob} \,T}$;
• для будь-якого морфізму $g:t\to t'$ схеми $T$ має місце співвідношення $p_{t'}=fg\circ p_{t},$ де $fg=f_{\mathrm {Mor} \ni g}.$

Конус називається термінальним, якщо він є правим нулем (термінальним об'єктом) цієї категорії, тобто якщо для будь-якого конусу $(q_{t})$ із довільною початковою вершиною $Y$ та тією ж самою базою $f$ існує лише один морфізм $g:Y\to X$ такий, що справджується рівність $q_{t}=p_{t}\circ g$ для будь-якого $t.$ У цьому випадку об'єкт $X$ називається зворотною (проективною) границею діаграми $f$ й позначається $\lim _{\underset {t}{\leftarrow }}f(t)$ (чи просто $\lim _{\leftarrow }f$), а морфізми називаються проекціямий позначаються $\mathrm {pr} _{t}^{f}.$ Границя $\lim _{\leftarrow }f$ визначена однозначно із точністю до ізоморфізму.

Коамальгами - зворотні границі діаграм виду

Коамальгама даної діаграми називається коамальгамою об'єктів $A$ та $B$ над об'єктом $C$ й позначається $A{\underset {C}{\times }}B.$ Кожний конус для цієї діаграми дає діаграму

Відтак конус може бути визначений як пара морфізмів із комутативною діаграмою

Зворотна границя пари стрілок $A\xrightarrow {f} C\xleftarrow {g} B$ є парою стрілок $A\xleftarrow {g'} D\xrightarrow {f'} B,$ наділеною наступніми властивостями:

• $g'f=f'g$;
• для будь-яких $A\xleftarrow {h} E\xrightarrow {j} B$ таких, що $hf=jg,$ існує лише один морфізм $k:E\to D,$ за якого справджуються рівності $h=kg'$ та $j=kf'.$

Розгляньмо діаграму

У цій діаграмі, яка містить комутативний зовнішній квадрат, існує єдине поповнення діаграми морфізмом $k,$ за якого діаграма стає комутативною. Внутрішній квадрат цієї діаграми називається декартовим квадратом. Тут $f'$ є зворотною границею $f$ відносно $g$ (також кажуть, що $f'$ є підоб'ємом $f$ уздовж $g$), a $g'$ - відповідно зворотний образ $g$ відносно $f.$

Ядро морфізмів $f,g:X\to Y$ - це зворотна границя діаграми $X\rightrightarrows _{g}^{f}Y.$ Об'єкт $Z$ є ядром пари $(f,g),$ якщо існує морфізм $t:Z\to X,$ для якого $ft=gt$; морфізм є універсальним по відношенню до цієї властивості, тобто будь-який морфізм $t':A\to X,$ для якого $ft'=gt',$ який має вигляд $t\circ h,$ де $h$ - декотрий морфізм $h:A\to Z$.

Коядром морфізмів $f,g:X\to Y$ є пряма границя діаграми $X\rightrightarrows _{g}^{f}Y.$ Об'єкт $Z$ є коядром пари $(f,g),$ якщо існує морфізм $t:Y\to Z,$ для якого $tf=tg$; морфізм $t$ є універсальним по відношенню до цієї властивості (тобто будь-який морфізм $t':Y\to A,$ для якого $t'f=t'g,$ який має вигляд $h\circ t,$ де $h:Z\to A$).

Нехай ${\mathcal {T}}$ - категорія $\mathrm {Top} ,$ об'єктами якої є простори, а ${\mathcal {T}}^{E}$ - категорія просторів з ${\mathcal {T}},$ наділених структурою (в якості такої структури на об'єкті $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ може бути афінна пряма, тобто $\mathbb {A} _{X}\to X$). Функтор ${\mathcal {R}}:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}^{E}$ називається функтором реалізації (декартовим квадратом), який забуває топологію. У випадку, якщо функтор до того ж повний, цього не відбувається. Точний функтор топологічної реалізації ${\mathcal {R}}:{\mathcal {V}}\to {\mathcal {T}}^{E},$ де ${\mathcal {V}}$ - категорія алгебричних многовидів над полем $k$, дозволяє зводити алгебро-геометричні чи теоретико-числові питання (пошук раціональних точок на многовиді $X/\mathrm {Spec} \,K$) до топологічних (пошук перетинів проекції ${\mathcal {R}}(X)\to {\mathcal {R}}(\mathrm {Spec} \,K)$).

Топоси

Топосом (від грец. τόπος - місце позиція) називається категорія ${\mathcal {E}},$ яка задовільняє наступним умовам:

• ${\mathcal {E}}$ є скінченно повною (або ${\mathcal {E}}$ містить термінальний об'єкт та зворотні границі);
• ${\mathcal {E}}$ є скінченно коповною (${\mathcal {E}}$ містить ініціальний об'єкт й амальгами);
• ${\mathcal {E}}$ припускає експоненціювання;
• ${\mathcal {E}}$ містить класифікатор об'єктів.

Нехай $A\in \mathrm {Ob} \,\mathrm {Set} ,$ тоді булеан $2^{A}\in \mathrm {Set} .$ Розгляньмо множини $A$ та $B.$ Поставимо у відповідність кожній підмножині $R\subset B\times A$ у відповідність відображення $f=f_{R}:B\to 2^{A}$ за правилом: $bRa\Leftrightarrow a\in f(b).$ Такі відображення $f$ називаються частковими мультивідображеннями з $B$ до $A.$ Та навпаки, якщо дане відображення $f:B\to 2^{A},$ то $R\subset B\times A$ визначається за правилом $bRa\Leftrightarrow a\in f(b).$ Таким чином, маємо взаємно однозначну відповідність між підмножинами у $B\times A$ та відображеннями $f:B\to 2^{A}.$

Виділімо підмножину ${\mathfrak {A}}$ у добутку $2^{A}\times A,$ яка підпорядковується правилу: якщо $B\subset A$ та $a\in A,$ тоді $a\in B.$ Тобто $B\,{\mathfrak {A}}\,a\Leftrightarrow a\in B.$ Умову $a\in B$ можна записати у вигляді характеристичної функції $\chi _{\,_{B}}(a)=1,$ тобто множину ${\mathfrak {A}}$ можна розглядати як підмножину $2^{A}\times A,$ яка визначається як $\chi \,{\mathfrak {A}}\,a\Leftrightarrow \chi (a)=1.$ Таким чином, характеристична функція підмножини ${\mathfrak {A}}$ є характеристичним відображенням $\chi :2^{A}\times A\to 2,$ де $2=\{0,1\}.$ Одержимо декартовий квадрат, таким чином, ${\mathfrak {A}}$ визначається по $A$ із точністю до ізоморфізму.

У категорії множин $\mathrm {Set}$ числові системи можуть бути побудовані з огляду на множину $\mathbb {N}$ натуральних чисел. Таким чином можна одержати цілі числа $\mathbb {Z} ,$ раціональні числа $\mathbb {Q} ,$ дійсні числа $\mathbb {R}$ та комплексні числа $\mathbb {C} .$ Такі побудови здійснюються всередині довільного топоса ${\mathcal {E}}.$ Таким чином, довільний топос містить аналоги числових систем. Зокрема, у топосі ${\mathcal {E}}$ об'єкт $\mathbb {Z} _{+}$ додатних цілих чисел визначається як підоб'єкт ${\mathcal {e}}:N\to N$ об'єкта $N$ (у категорії $\mathrm {Set}$ підоб'єкт визначаєть мономорфною функцією слідування, і у нашому випадку дорівнює $M_{+}=\{1,2,3,4,...\}$). Об'єкт цілих чисел можна визначити як кодобуток $\mathbb {Z} =\mathbb {N} +\mathbb {N} _{+}$ (тобто цілі числа $\mathbb {Z}$ представляють у вигляді диз'юнктного об'єднання $M_{+}$ та ізоморфної копії $\{...,-4,-3,-1-,0\}$ множини $M$). Раціональні числа одержуються посередництвом факторизації множини $\mathbb {Z} \times M_{+},$ у якій пара $(m,n)$ представляє раціональне число ${\frac {m}{n}}.$ Відтак у топосі ${\mathcal {E}}$ у буде одержаний раціонально-числовий об'єкт $\mathbb {Q} .$

У випадку дійсних чисел є два способи визначення дійсних чисел:

• як класи еквівалентності послідовностей Коші раціональних чисел;
• як дедекінтових перетинів множини раціональних чисел.

Відповідно, одержимо об'єкт $\mathbb {R} _{Cauchy}$ дійсних чисел Коші та об'єкт $\mathbb {R} _{Dedekind}$ дедекіндових дійсних чисел, які у загальному випадку не є ізоморфними, $\mathbb {R} _{Dedekind}\not \simeq \mathbb {R} _{Cauchy}.$

У категорії $\mathrm {Set}$ дійсне число $r\in \mathbb {R}$ визначається верхнім $\mathrm {B} =\{r<c\,|\,c\in \mathbb {Q} \}$ та нижнім $\mathrm {H} =\{r>c\,|\,c\in \mathbb {R} \}$ перетинами. Впорядкована пара $(\mathrm {B} ,\mathrm {H} )\in 2^{Q}\times 2^{Q}$ підмножин у $\mathbb {Q}$ називається дедекіндовим дійсним числом, якщо справджуються наступні умови:

• $\exists a\exists b(a\in {\mathcal {B}}\land b\in {\mathcal {H}})$ (непустота);
• $\forall a\sim (a\in {\mathcal {B}}\land a\in {\mathcal {H}})$ (диз'юнктивність);
• $\forall a(a\in {\mathcal {B}}\equiv \exists b(b\in {\mathcal {B}}\land b>a))$ (відкритість перетину ${\mathcal {H}}$);
• $\forall a(a\in {\mathcal {H}}\equiv \exists b(b\in {\mathcal {H}}\lor b<a))$ (відкритість перетину ${\mathcal {B}}$);
• $\forall a\forall b(a>b\subset (a\in {\mathcal {H}}\lor b\in {\mathcal {B}}))$ (близькість перетинів),

де змінні $a,b\in \mathbb {Q} ,$ a ${\mathcal {H}}\subset \mathrm {H}$ та ${\mathcal {B}}\subset \mathrm {B} .$ Кон'юнкцію цих умов можна розглядати як пропозицію ${\mathcal {P}}({\mathfrak {r}}),$ де ${\mathfrak {r}}=({\mathcal {H}},{\mathcal {B}})$; тут ${\mathfrak {r}}$ позначає впорядковану пару, позначаючу елемент $r=(\mathrm {H} ,\mathrm {B} )$ множини $2^{\mathbb {Q} }\times 2^{\mathbb {Q} }.$

За аксіоматичної побудови класичної теорії множин система дедекіндових дійсних чисел визначається за принципом згортання як множини: $\mathbb {R} _{Dedekind}=\{r\,|\,{\mathcal {P}}({\mathfrak {r}})=\mathrm {true} \}\subseteq 2^{Q}\times 2^{Q}.$