Математичний аналіз/Похідна

Визначення похідної, правила диференціювання

Нехай функція $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x_{0}\in D_{f}.$

Функція називається диференційованою в точці $\ x_{0}$, якщо існує така неперервна в точці $\ x_{0}$ функція $D_{f}{\stackrel {\mathrm {\phi } }{\rightarrow }}\mathbb {R}$, що $\forall x\in D_{f}$ виконується рівність:

$\ f(x)-f(x_{0})=(x-x_{0})\phi (x)$

Якщо $\ x_{0}$ - гранична точка можини $\ D_{f}$, то число $\ \phi (x_{0})$ називається похідною функції $\ f$ в точці $\ x_{0}$ і позначається символом $\ f'(x_{0})=\phi (x_{0})$

Теорема 1 (обчислення похідної)

Нехай $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x_{0}\in D_{f}$ і є граничною точкою цієї множини. Якщо $\ f$ - диференційована в точці $\ x_{0}$, то

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})$

Доведення  

Безпосередній наслідок формули $\ f(x)-f(x_{0})=(x-x_{0})\phi (x)$

Наслідок.(Необхідна умова диференційованості).

Якщо функція $\ f$ диференційована в точці $\ x_{0}\in D_{f}$, граничній для множини $\ D_{f}$, то вона неперервна в точці $\ x_{0}$ і її похідна $\ f'(x_{0})$ визначена однозначно.

Приклад