Елементарна математика/Множини

Множини

Множиною називається сукупність предметів або понять, об'єднаних якою-небудь спільною властивістю. Наприклад, говорять про множину літер у абетці, множину осіб, які навчаються у одному класі школи тощо. Предмети, що входять до множини, називаються її елементами. Множини позначають великими літерами, а елементи малими літерами латинської або грецької абеток. Множина записується через перелічення її елементів у фігурних дужках $\{\,\}.$ Наприклад, вираз $\{1,2,3\}$ означає множину, яка складається з чисел (елементів) $1,2,3.$ Множини $\{1,4,10\}$ та $\{1,4,10,4\}$ варто розглядати як однакові, оскільки у другому випадку елемент $4$ згаданий двічі при переліченні елементів, що є несуттєвим для визначення самої множини. Таким чином, для повного задання множини достатньо перелічити усі її елементи. Порядок запису елементів також не відіграє суттєвого значення. Наприклад, множина з трьох елементів $a,b,c$ припускає шість перестановок:

$\{a,b,c\},\quad \{c,a,b\},\quad \{b,c,a\},\quad \{b,a,c\},\quad \{c,b,a\},\quad \{a,c,b\}.$

Той факт, що елемент $a$ належить до множини $A,$ записується $a\in A.$ У протилежному випадку, якщо необхідно, пишуть $a\notin A,$ що означає, що елемент $a$ не міститься у $A.$

Множина $\{a\},$ що складається з елемента $a,$ і сам цей елемент $a$ вважаються різними об'єктами. Зокрема, доводиться відрізняти елемент $a,$ множину $\{a\},$ яка складається з одного елемента $a$ та множину $\{\{a\}\},$ елементом якої є множина $\{a\}$ тощо.

Разом із множинами, що містять елементи, розглядають пусту множину, яка не містить жодного елемента. Усі пусті множини є рівними і позначаються символом $\emptyset .$ Варто відзначити, що множина $\{\emptyset \}$ містить в якості елемента пусту множину $\emptyset$ і тому не є пустою.

Якщо кожний елемент множини $A$ входить до множини $B,$ то $A$ називається підмножиною $B,$ a $B$ називається надмножиною $A.$ При цьому пишуть $A\subseteq B$ та $B\supseteq A.$ Зрозуміло, що якщо $A\subseteq B$ та $B\subseteq A,$ то $A=B.$ Зрозуміло також, що для будь-яких множин $A,B,C$ з $A\subseteq B,\,\,B\subseteq C$ слідує $A\subseteq C.$

Якщо кожний елемент множини $A$ міститься у множині $B,$ але множина $B$ містить хоча б один елемент, який не міститься у $A,$ тобто якщо $A\subseteq B$ та $A\neq B,$ то $A$ називається власною підмножиною $B,$ а $B$ - власною надмножиною $A.$ У цьому випадку записують $A\subset B,\,\,B\subset A.$ Запис $A\subset B$ означає, що $A$ є підмножиною $B,$ відмінною від $B.$ З $A\subset B,\,\,B\subseteq C$ слідує $A\subset C$ тощо.

Пуста множина має лише одну частину: $\emptyset ;$ множина $\{1\},$ що складається з одного елемента $1,$ має дві частини: $\emptyset$ та $\{1\};$ множина $\{1,2\},$ що складається з двох елементів, має чотири частини: $\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}.$ Таким чином, множина, яка складається з певного числа $n$ елементів, має $\underbrace {2\cdot 2\cdot 2\cdot \cdot \cdot 2} _{n\,{\text{разів}}}$ частин.

Нехай $P$ - декотра властивість, притаманна об'єктам, і нехай формула $P(x)$ означає, що об'єкт $x$ наділений властивістю $P.$ Тоді через $\{x\,|\,P(x)\}$ позначається множина об'єктів, які наділені властивістю $P.$ Наприклад, нехай дана множина $X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$ Тоді $\{x\,|\,x>4,\,x\in X\}$ буде підмножиною ${\mathfrak {A}}\subseteq A,$ елементами якої є числа, більші від 4. Знак порівнювання "$>$" означає "більше" (запис $x>4$ буквально: усі $x,$ більші від $4$). Тобто ${\mathfrak {A}}=\{5,6,7,8\}.$ Варто відзначити, що замість перелічення усіх елементів множини $X$ може використовуватися змінна, яка представляє усі елементи множини. У нашому випадку $x$ представляє усі елементи множини $X.$ Зазвичай множину задають без перелічення усіх її елементів, користуючись змінною як збірним символом для елементів даної множини. При цьому обов'язково вказують, що елемент належить множині, наприклад, $x\in X$ або $a\in A$ тощо. Замість вертикальної риски у записі $\{x\,|\,P(x)\}$ можуть використовуватися дві крапки, тобто $\{x\,:\,P(x)\}.$

Порядковий номер $i$ елемента $x$ множини $X$ записується знизу праворуч біля знака елемента, $a_{i}.$ Для позначення конкретних значень, які пробігає $i,$ використовують горизонтальну риску над найменшим та найбільшим елементами множини $I$ (зрозуміло, що $i\in I$). Наприклад, множина $X$ з 20 людей вишикувалася у шеренгу по росту. Елемент $x_{1}$ буде вдповідати найменшій людині у шерензі, а елемент $x_{20}$ - найбільшій. При цьому пишуть $x_{i}\in X,$ а у дужках вказують значення порядкових номерів, які пробігає $i.$ В нашому випадку, формально, $i={\overline {1,20}}.$ Таким чином, запис $x_{i}\in X\,\,(i={\overline {1,20}})$ означає множину $X$ чисельністю 20 елементів $x$. Чисельність множини також називається її потужністю або кардинальним числом і позначається $\mathrm {card} (X).$ В нашому прикладі із шеренгою $\mathrm {card} (X)=20.$

Інколи для запису множини використовують позначення $\{a_{i=1}^{n}\},$ де $n$ вказує значення номера кінцевого елемента, $a_{n}.$

Відношення на множинах

Множина $A$ із визначеними на ній відношеннями $\Omega _{P}$ називається реляційною системою і позначається $\langle A,\Omega _{P}\rangle$. Множина відношень $\Omega _{P}$ складається із підмножин, $\Omega _{P}=\{P_{1},P_{2},...\}.$

Декартовим добутком множин $A$ та $B,$ символічно $A\times B,$ називається сукупність усіх пар виду $(a,b),$ де $a\in A,\,\,b\in B.$ Наприклад, якщо $A=\{3,4\},\,\,B=\{12,41\},$ то $A\times B=\{(3,12),\,(3,41),\,(4,12),\,(4,41)\}.$ Далі,

$B\times A=\{(12,3),\,(12,4),\,(41,3),\,(41,4)\},\quad \quad A\times A=\{(3,3),\,(3,4),\,(4,3),\,(4,4)\}.$

Будь-яке відношення $P$, задане на фіксованій парі довільних множин $A$ та $B,$ є підмножиною множини $A\times B,$ тобто $P\subset A\times B.$

Нехай дана множина $X,$ а $P\subset X\times X$ - бінарне відношення на множині $X,$ позначуване $x_{1}\prec x_{2}.$ Це відношення називається відношенням порядку, якщо справджуються наступні твердження:

• транзитивність: якщо $x\prec y$ та $y\prec z,$ то $x\prec z.$
• асиметричність: якщо $\prec y,$ то неможливо $y\prec x.$

Множина $\langle X,\prec \rangle$ із відношенням порядку називається впорядкованою множиною.

Множина $X$ називається лінійно впорядкованою, якщо для будь-якої пари $(a,b)$ елементів множини $X$ виконується одне з двох співвідношень $a\prec b$ або $b\prec a.$ Лінійно впорядкована множина називається також ланцюгом.

Нехай $\langle X,\prec \rangle$ - лінійно впорядкована множина, а $Y\subset X$ - її підмножина. Елемент $y_{\mathrm {min} }$ називається мінімальним, якщо $y_{\mathrm {min} }\preceq y$ для будь-якого $y\in Y.$ Наприклад, мінімальним елементом множини $\{31,412,654,884,10\,821\}$ є число $31.$

Лінійно впорядкована множина називається цілком впорядкованою, якщо будь-яка її підмножина містить мінімальний елемент. Відношення порядку на такій множині називається відношенням повного порядку. Прикладом лінійно впорядкованої множини із відношенням повного (суворого) порядку є множина натуральних чисел, що використовуються при лічбі предметів. Відношення порівняння на множині натуральних чисел, $\langle \mathbb {N} ,<\rangle ,$ визначає порядок слідування чисел: $1<2<3<...<\infty .$ Символ $\infty$ позначає нескінченість. Множина натуральних чисел $\mathbb {N}$ є нескінченною, оскільки для даного натурального числа $n\in \mathbb {N}$ завжди знайдеться число $n+1,$ більше від $n$ (тобто $n+1>n$ або $n<n+1$).

Початковим елементом цілком впорядкованої множини називається її мінімальний елемент. Наприклад, початковим елементом множини натуральних чисел $\mathbb {N}$ є число $1.$ Відрізком лінійно впорядкованої множини $\langle X,\prec \rangle$ називається така підмножина $Y\subset X,$ що для будь-яких її елементів $x,z\in Y$ та будь-якого $y\in X,$ які задовільняють умові $x\prec y\prec z,$ маємо $y\in Y.$ Початковим відрізком цілком впорядкованої множини назвивається відрізок, що містить мінімальний елемент цієї множини. Початковим елементом відрізку є його мінімальний елемент.

Нехай на множині $S$ задане відношення $\preceq ,$ яке називається відношенням часткового порядку, для якого виконуються наступні аксіоми:

• $a\preceq a$ для будь-якого $a$ (рефлексивність);
• якщо $a\preceq b$ та $b\preceq c,$ то $a\preceq c$ (транзитивність);
• якщо $a\preceq b$ та $b\preceq a,$ то $a=b$ (асиметричність).

Зокрема, відношення "бути підмножиною" на множині усіх підмножин множини $X$ є відношенням часткового порядку. Зрозуміло, що $X_{1}\subset X_{2}$ - відношення часткового порядку, де $X_{1},X_{2}\in X.$

Якщо $P\subset A\times B$ - відношення, визначене на парі множин $A$ та $B,$ то зворотним відношенням (символічно $P^{-1}$) називається відношення $P^{-1}\subset B\times A$ (визначене на парі множин $B,A$), яке складається з тих пар $(b,a),$ для яких $(a,b)\in P.$ Наприклад, якщо $<$ відношення порядку (відношення порівняння або "менше"), то

$a<^{-1}b\Leftrightarrow b<a\Leftrightarrow a>b,$

і тому $<^{-1}\,=\,>$ ("більше"). Символ $\Leftrightarrow$ означає "рівносильно". Зрозуміло, що $>^{-1}\,=<.$

Знак дорівнює $=$ означає відношення рівності, яке базується на наступних властивостях:

• $a=a$ (рефлексивність, тобто кожний елемент рівний сам собі);
• якщо $a=b,$ то $b=a$ (симетричність);
• якщо $a=b$ та $b=c,$ то $a=c$ (транзитивність).

Наприклад, відношення рівності є підмножиною декартового добутку множин $\mathbb {N} \times \mathbb {N} .$ Воно визначає сукупність усіх "діагональних" пар $(1,1),\,(2,2),\,(3,3),\,...$

Верхня та нижня границі. Нехай $\langle S,\leq \rangle$ - частково впорядкована множина елементів $\{a,b,c,...\}.$ Якщо $a\leq c$ та $b\leq c,$ то $c$ називається мажорантою елементів $a$ та $b.$ У цому випадку пишуть $c=\sup(a,b).$ Наприклад, для множини $A=\{32,101,305,10\,502\}$ мажорантою буде елемент $\sup(A)=10\,502.$ Зрозуміло, що якщо такий елемент існує, то він лише один. Аналогічним чином визначається міноранта для $a$ та $b:$ вона позначається $\inf(a,b).$ У нашому прикладі $\inf(A)=32.$

Елемент $m\in S$ називається максимальним, якщо кожний елемент $x\in S$ або не порівнюваний із $m,$ або $x\leq m.$ Іншими словами, елемент $m\in S$ називається максимальним, якщо не існує такого $x\in S,$ що $m\leq x.$ Для підмножини $S_{1}\subset S$ та $x\in S$ ми пишемо $S_{1}\leq x,$ якщо для кожного $\xi \in S_{1}$ виконується умова $\xi \leq x.$

Нехай $\langle A,\leq \rangle$ - непуста частково впорядкована множина така, що будь-яка її лінійно (цілком) впорякована підмножина (тобто ланцюг) $\langle B,<\rangle$ ($B\subseteq A$) має у $A$ мажоранту. Тоді $A$ містить принаймні один максимальний елемент. Це рівносильно твердженню, що будь-яка непуста множина може бути цілком впорядкована.

Еквівалентність. Бінарне відношення $\sim$ на множині $A$ називається відношенням еквівалентності, якщо для будь-яких елементів $x,y,z\in A:$

• $a\sim a$ (рефлексивність);
• якщо $x\sim y,$ то $y\sim x$ (симетричність);
• якщо $x\sim y$ та $y\sim z,$ то $x\sim z$ (транзитивність).

Відношення еквівалентності $\sim$ співпадає із відношенням рівності $=.$ Виділениі властивості (рефлексивність, симетричність, транзитивність) можна представити у наступному вигляді:

• Рефлексивність: $=\,\subseteq \,\sim ,$
• Симетричність: $\sim ^{-1}\,\subseteq \,\sim ,$
• Транзитивність: $\sim ^{2}\,\subseteq \,\sim .$

Ці три умови є рівносильними наступним:

• $=\,\subseteq \,\sim ,$
• $\sim ^{-1}\,=\,\sim ,$
• $\sim ^{2}\,=\,\sim .$

Припустимо, що існує деяка ознака, за якою пара елементів $x$ та $y$ множини $M$ є еквівалентними. При цьому ми вимагаємо від цієї еквівалентності лише щоб вона була наділена властивостями симетрії, транзитивності й рефлексивності. Скажімо, множину учнів Івано-Франківська ми розподілимо по школам. Два довільно обрані учні з цієї множини будуть "еквівалентними", якщо вони навчаються у одній і тій самій школі (хоча у різних класах). Якщо ми розподілимо учнів по класам, то двоє учнів будуть "еквівалентні", якщо вони навчаються у одному і тому самому класі (хоча у різних школах).

Розбиттям непустої множини $A$ називається сукупність $S$ непустих попарно непересічних підмножин множин $A_{i}$ множини $A$ таких, що об'єднання усіх множин $A_{i}\in S$ дорівнює множині $A$ в цілому. Підмножини $S$ називаються класами розбиття, або суміжними класами (класами еквівалентності). Скажімо, в якості $S$ можна розглядати множини учнів, розподілених по школам №1, №2, ..., №n, які є підмножинами множини $A.$

З кожним розбиттям $S$ пов'яжемо бінарне відношення $\equiv ,$ визначене на $A,$ вважаючи, що за визначенням $x\equiv y,$ є справедливим лише тоді, коли $x$ та $y$ належать одному і тому ж самому шару множини $A.$ Зрозуміло, що відношення $\equiv$ є відношенням еквівалентності $\sim .$ Якщо множину $A$ зобразити квадратом, а шари - прямокутниками, на які розбивається квадрат, то відношення $x\sim y$ справедливе тоді, коли точки $x$ та $y$ належать одному і тому самому прямокутнику (тобто одній і тій самій підмножині множини $A$).

нема

Таким чином, кожна еквівалентність на множині $A$ відповідає деякому розбиттю $S$ множини $A$ на підмножини. Підмножини множини $A$ називаються суміжними класами. Система усіх суміжних класів $A$ по $\sim$ є розбиттям множини $A.$ Оскільки елементи з $A$ лише тоді є еквівалентними, коли вони містяться у одному і тому самому суміжному класі. Таким чином, розбиття $A$ на суміжні класи по $\sim$ та задана еквівалентність $\sim$ відповідають одне одному. Сукупність усіх суміжних класів множини $A$ по еквівалентності $\sim$ позначається через $A/\sim$ і називається фактор-множиною від $A$ по $\sim .$

Відношення еквівалентності є частковим випадком відношення толерантності $\tau$ (його називають також відношенням схожості або наближеною рівністю), яке має наступні властивості:

• рефлексивність, $a\,\tau \,a$;
• симетричність, $a\,\tau \,b=b\,\tau \,a.$

Відношення толерантності $\tau$ не є транзитивним в загальному випадку. Воно часто використовується для опису схожості між реальними об'єктами, для опису відношень знайомства чи союзу між людьми. Справді, Тарас може бути знайомий із Лесею, а Леся - із Андрієм, однак це не значить, що Тарас знайомий із Андрієм.

Нехай на множині $A$ задана толерантність, тобто підмножина $\tau \subset A\times A.$ Підмножина $B\subset A\times A$ називається ядром даної толерантності $\tau ,$ якщо усі її елементи попарно зв'язані між собою. Найпростіші ядра складаються з одного елемента, оскільки через рефлексивність толерантності кожний такий елемент поставлений у відповідність самому собі, $b\,\tau \,b,\,\,b\in B.$ Ядро називається максимальним, якщо воно не міститься у жодному іншому ядрі однієї і тієї ж підмножини $\tau$.

Ядра для толерантності - те саме, що й класи для еквівалентності. Однак, на відміну від класів, вони перетинаються між собою й не утворюють розбиття. Наприклад, якщо відношення еквівалентності розбиває суспільство на окремі непересічні підмножини (на основі відповідного фактора - раси, діаспори тощо), то у випадку відношення схожості (толерантності) відмінності між людьми зовсім не є обов'язковими.

$n$-арні відношення. Декартовим добутком (або прямий добуток) $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}$ системи множин $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ називається сукупність послідовностей $(a_{1},a_{2},...,a_{n}),$ де $a_{1}\in A_{1},...,a_{n}\in A_{n}.$ Будь-яка підмножина $P$ множини $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}$ називається відношенням, визначеним на системі $A_{1},...,A_{n}.$ Декартовий добуток $A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n},$ де $A_{1}=A_{2}=...=A_{n}=A,$ називається $n$-ним степенем множини $A$ і позначається $A^{n}.$ Відношення $P,$ визначене на системі $A_{1},...,A_{n},$ називається $n$-арним відношенням на множині $A.$

Для декартового добутку справедливе наступне твердження:

$A\times B=\emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A=\emptyset \,\,\And \,\,B=\emptyset .$

Символ $\And$ позначає союз "ТА" (тобто "$A$ та $B$"). Воно виражає той факт, що декартів добуток множин є пустою множиною лише тоді, коли хоча б одна з цих множин є пустою. Припустимо, що кожна множина $A_{i}$ не пуста, $A_{i}\neq \emptyset .$ Чи буде у цьому випадку непустим декартів добуток ${\underset {i\in I}{\prod }}A_{i}=A_{1}\times A_{2}\times ...$? Якщо сукупність порядкових номерів (індексів) $i\in I$ - скінченна множина, то позитивна відповідь на це питання не викликає сумнівів. Непустота кожної множини $A_{i}$ означає, що у цій множині $A_{i}$ можна "вибрати" хоча б один елемент. Здійснюючи такий вибір для кожного $i,$ отримаємо сумісний (міжмножинний) вибір, а значить, і елемент декартового добутку. Якщо множина $A$ є нескінченною, то потрібно здійснити нескінченне число довільних виборів. Здійснюваність не лише скінченного, але й нескінченного числа виборів є аксіомою теорії множин, що називається аксіомою Цермело (або аксіомою вибору). Вона формулюється наступним чином: декартовий добуток довільної занумерованої (індексованої) системи непустих множин є множиною непустою. Доволі часто множиною індексів є множина натуральних чисел (або її підмножина), тобто $I\subseteq \mathbb {N} .$

Операції та їх властивості

Множина $A$ та множина операцій $\Omega _{F},$ визначених на $A,$ називається алгеброю, символічно, $\langle A,\Omega _{F}\rangle .$

Арифметичні дії додавання й добутку натуральних чисел є операціями, здійснюваними над парами чисел, або, як говорять, бінарні операції. Теоретико-множинні операції об'єднання й перетину можуть бути прикладом бінарних операцій, здійснюваних над множинами, тобто над об'єктами ще більш простої природи, ніж натуральні числа. Операція взяття доповнення є операцією, здійснюваною над одним об'єктом. Такі операції називаються унарними.

Нехай маємо множину $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6}\},$ елементи $a_{i}$ якої утворюють вершини правильного шестикутника. Уведемо операцію $F,$ обмежену наступними правилами:

• $F(a_{i})=a_{i+1}\,\,(i\neq 6);$
• $F(a_{6})=a_{1}.$

Таким чином, здійснюючи операцію $F$ над довільною точкою $a_{i},$ а потім, здійснюючи її двічі $F^{2}(a_{i})=F(F(a_{i})),$ тричі $F^{3}(a_{i})=F(F(F(a_{i}))),$ чотири рази $F^{4}(a_{i})=F(F(F(F(a_{i}))))$ та п'ять разів, $F^{5}(a_{i})=F(F(F(F(F(a_{i}))))),$ ми отримаємо усі 6 точок. При цьому говорять, що множина $A$ є замкнутою відносно операції $F$ у тому сенсі, що, здійснюючи операції над елементами $A,$ ми в результаті отримуємо елементи з цієї самої множини $A.$ Розуміло, що $\langle A,F\rangle$ - алгебра.

Операції над множинами

Об'єднанням (або сумою) множин $A$ та $B,$ символічно $A\cup B,$ називається множина, отримувана об'єднанням елементів $A$ та $B$ в одну множину. Таким чином, твердження $a\in (A\cup B)$ означає, що $a\in A$ або $a\in B.$ Наприклад, $\{1,3,6\}\cup \{2,3,4,5,6,7\}=\{1,2,3,4,5,6,7\}.$ Зокрема, для будь-якої множини $A$ справедливі рівності $A\cup A=A$ та $\emptyset \cup A=A.$ Вирази $A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ позначають об'єднання елементів множин $A_{1},A_{2},...,A_{n}.$

Перетином (або спільною частиною) множин $A$ та $B,$ символічно $A\cap B,$ називається множина, яка містить лише ті елементи, які одночасно належать як множині $A,$ так і множині $B.$ Якщо $A$ та $B$ спільних елементів не мають, то їх перетин пустий, $A\cap B=\emptyset .$ Наприклад,

$\{5,\,8\}\cap \{213,\,408,\,991\}=\emptyset ,\quad \quad \{5,6,7,10\}\cap \{2,4,6,10\}=\{6,10\}.$

Зокрема, для будь-якої множини $A$ справедливі наступні рівності:

$A\cap A=A,\quad \quad A\cup \emptyset =A.$

Вирази $A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ позначають спільну частину системи множин $A_{1},A_{2},...,A_{n},$ тобто сукупність елементів, які містяться у кожній з цих множин.

Різницею множин $A$ та $B,$ символічно $A\setminus B,$ називається сукупність тих елементів множини $A,$ які не містяться у $B.$ Наприклад, $\{2,3,5,6,8,12\}\setminus \{2,5,8,12\}=\{3,6\}.$ З цього можна зробити висновок, що

$A\setminus A=\emptyset ,\quad \quad A\setminus \emptyset =A,\quad \quad \emptyset \setminus A=\emptyset ,\quad \quad A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$

Іноді операцію об'єднання множин розглядають як аналог операції додавання чисел, а операцію віднімання множин як аналог віднімання чисел. Однак така аналогія не повна. Наприклад, якщо $A\cup B=C,$ то з цього ще не слідує, що $A=C\setminus B.$ Наприклад, вважаючи $A=\{1,4,5\},\,\,B=\{1,2,3,5\},$ отримаємо:

$A\cup B=\{1,2,3,4,5\},\quad \quad \{1,2,3,4,5\}\setminus B=\{4\}\neq A.$

Правильніше вважати, що якщо $A\cup B=C,\,\,\,A\cap B=\emptyset ,$ то $A=C\setminus B.$

Якщо $A\subseteq B,$ то різниця $B\setminus A$ називається доповненням множини $A$ у множині $B$ і позначається ${\bar {A}}.$ Наприклад, якщо основною множиною $B$ є множина усіх натуральних чисел, то доповненням сукупності парних чисел є сукупність непарних чисел. Відношення рівності, визначене на множині $\mathbb {N}$ натуральних чисел, визначає сукупність $P\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ "діагональних" пар $(1,1),\,(2,2),...;$ доповненням цього відношення є відношення нерівності $\neq ,$ тобто ${\bar {P}}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} \setminus P.$

Разом із операцією віднімання множин розглядають також операцію симетричної різниці, що позначається $\oplus$ і визначається наступним чином: $A\oplus B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$ Іншими словами, $A\oplus B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Властивості операцій

Для скороченого запису конкретну бінарну операцію позначають спеціальним знаком: додавання позначають знаком $+,$ множення - знаком $\cdot ,$ операцію перетину двох множин - знаком $\cap ,$ операцію об'єднання - знаком $\cup$ тощо. Однак коли вивчають загальні властивості бінарних операцій, то говорять не про конкретні, а про довільні операції. Для позначення довільних операцій будемо користуватися символами грецької абетки. Тобто елемент $c$, який бінарна операція $\alpha$ ставить у відповідність парі елементів $a,b,$ будемо позначати виразом $a\alpha b$ та називати композицією елементів $a$ та $b.$ Самі елементи $a$ та $b$ називаються членами композиції. Якщо композиція $a\alpha b$ дорівнює елементу $c,$ то це записується наступним чином: $a\alpha b{\overset {\mathrm {def} }{=}}c.$ Позначення ${\overset {\mathrm {def} }{=}}$ означає буквально "за визначенням дорівнює". Якщо над елементами множини потрібно виконати одну чи декілька бінарних операцій декілька разів підряд, то порядок їх виконання, точно так само, як це робиться за виконання операцій над числами, можна вказувати за допомогою використання дужок.

Бінарні операції можна розглядати як тернарні відношення. Нехай на множині $S$ задана бінарна операція $\alpha .$ Це значить, що будь-якій впорядкованій парі $(a,b)$ елементiв $a\in S,\,\,b\in S$ поставлений у відповідність цілком визначений елемент $a\alpha b=c\in S.$ Позначмо символом $P$ сукупність усіх впорядкованих трійок $(a,b,c)$ елементів з $S$ таких, що $c=a\alpha b.$ Очевидно, що $P\subseteq S\times S\times S$ і тому $\langle S,P\rangle$ є реляційною системою із тернарним відношенням між елементами множини $S.$

Головними властивостями операцій є їх підпорядкованість (або непідпорядкованість) певним цілком визначеним законам. Серед основних законів виділяють закон комутативності, закон асоціативності й закон дистрибутивності. В українській мові закон комутативності називають також переставним законом, закон асоціативності - сполучним законом, закон дистрибутивності - розподільним законом.

Закон комутативності - закон, якому може задовільняти бінарна операція. У випадку, якщо бінарна операція - множення, то переставний закон має вигляд: $a\cdot b=b\cdot a.$ Справді, від перестановки множників їх добуток не змінюється: $3\cdot 4=4\cdot 3=12.$ Те саме стосується й доданків відносно суми. Прикладами операцій, що задовільняють переставному законові, можуть бути додавання та множення чисел, перетин та об'єдання множин. Прикладами операцій, що не задовільняють перестаному законові, можуть бути ділення та віднімання чисел (оскільки, в загальному, $a:b\neq b:a$ та $a-b\neq b-a$). Декартовий добуток по своїм властивостям відрізняється від множення чисел. Зокрема, для цієї операції не справджується закон комутативності.

Закон асоціативності - закон, якому може задовільняти бінарна операція. Якщо в якості бінарної операції вважати додавання, то сполучний закон має вигляд: $a+(b+c)=(a+b)+c.$ Його назва походить від латинського associatio, що у перекладі означає сполучення. Прикладом операції, що задовільняє сполучному законові, окрім додавання, може бути множення: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.$ Дійсно, якщо підставити замість $a,b,c$ натуральні числа, отримаємо: $2\cdot (3\cdot 4)=(2\cdot 3)\cdot 4=24.$ Прикладами операцій, що не задовільняють сполучному законові, є операції віднімання та ділення чисел, оскільки, в загальному, $(a:b):c\neq a:(b:c).$

Закон дистрибутивності - закон, за допомогою якого можуть бути пов'язані дві бінарні операції, визначені на одній і тій самій множині. Назва закону походить від латинського distributus, що в перекладі означає розподілений. Якщо одну операцію вважати множенням, а другу додаванням, то розподільний закон буде мати вигляд: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$ Через те, що операції (добутку та додавання) входять до розподільного закону несиметричним чином, розподільний закон часто називають розподільним законом множення відносно додавання. У випадку некомутативності операції множення, разом із щойно визначеним розподільним законом, який називається лівим розподільним законом, розглядають правий розподільний закон: $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a.$ Операції об'єднання й перетину множин є взаємно дистрибутивними:

${\begin{matrix}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),\quad \quad (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A),\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),\quad \quad (B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A).\end{matrix}}$

Для операцій $\oplus$ та $\cap$ також справедливий закон дистрибутивності: $A\cap (B\oplus C)=(A\cap B)\oplus (A\cap C).$

Для декартового добутку вірний дистрибутивний закон: ${\begin{matrix}(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C),\quad \quad A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),\\(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C),\quad \quad A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).\end{matrix}}$

Закон ідемпотентності - закон, якому може відповідати бінарна операція. Якщо під бінарною операцією розуміти добуток, то закон ідемпотентності має вигляд $a\cdot a=a.$ Прикладами операцій, що задовільняють законові ідемпотентності, можуть бути перетин множин та об'єднання множин. Дійсно, якщо $A=\{1,2,3,4\},$ то $A\cup A=\{1,2,3,4\}$ та $A\cap A=\{1,2,3,4\}.$ Прикладами операцій, що не задовільняють закону ідемпотентності, можуть бути додавання і множення чисел. Наприклад, $34+34\neq 34$ та $34\cdot 34\neq 34.$

Відображення

Відношення $\alpha ,$ визначене на парі множин $A$ та $B,$ називається відображенням $A$ до $B,$ якщо для кожного елемента $a\in A$ існує лише один елемент $b\in B,$ що задовільняє відношенню $a\alpha b.$ Елемент $b$ називається образом елемента $a$ при відображенні $\alpha ,$ а елемент $b$ - прообразом елемента $a.$ При цьому говорять, що кожному елементові $a\in A$ відповідає елемент $b\in B.$ Такий тип відображення називається ін'єкцією (вкладенням $A$ до $B$). Відображення часто позначають літерами $f,g,h$ тощо.

Відображення зручно задавати таблицею, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку у довільній послідовності пишуться позначення елементів множини $A,$ а під ними записуються познаяення їх образів у множині $B.$ Наприклад, таблиця $f={\begin{pmatrix}2&9&7&5\\5&9&2&9\end{pmatrix}}$ визначає відображення множини $\{2,9,7,5\}$ у себе, за якого $2_{f}=5,\,9_{f}=9,\,7_{f}=2,\,5_{f}=9.$

Щоб зрозуміти зміст поняття вкладення, уявіть собі, що множині глядачів у театрі $A$ відповідає множина номерів усіх крісел $B,$ які кожний з них займає.

Нехай $f$ - відображення $A$ до $B,$ символічно це записують $f:A\to B,$ та $g:B\to C$ - відображення $B$ до $C.$ Іноді замість запису $f:A\to B$ пишуть просто $f(A).$ Тоді композиція (або суперпозиція) відображень $g\circ f$ буде відображенням $A$ до $C,$ тобто $h:A\to C,$ де $h=g\circ f$. Суперпозиція відображень, заданих таблицями, здійснюється за способом, який можна зрозуміти з наступного прикладу: ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\x&y&u&v&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\x&y&u&v&w\end{pmatrix}}.$

На відміну від вкладення, для накладання (сюр'єкції) $f$ множини $A$ на множину $B,$ символічно так само $f:A\to B,$ для елемента $b\in B$ достатньо мати хоча б один прообраз у множині $A.$ Таким чином, елементу $a\in A$ може відповідати декілька елементів з множини $B.$ На відміну від вкладення, коли говорять, що множина $A$ відображається до множини $B,$ при накладанні говорять, що множина $A$ відображається на множину $B.$

Щоб краще зрозуміти зміст поняття накладання, уявіть собі, що кожному номеру у гардеробі $b\in B$ театру відповідає множина усіх тих, хто повісили свій верхній одяг на цей номер $b.$

Нехай дане відображення $f:A\to B$ множини $A$ на множину $B.$ Повним прообразом довільного елемента $b\in B$ за відображення $f$ називається множина усіх тих елементів множини $A,$ яким за цього відображення $f$ ставиться у відповідність даний елемент $b.$ Ця множина позначається $f^{-1}(b)$ і називається повним прообразом.

У випадку, якщо на кожному глядачу театру відповідає лише один номер у гардеробі, тобто коли повний прообраз $f^{-1}(b)$ кожного елемента $b$ множини $B$ складається лише з одного елемента множини $A,$ у цьому випадку відображення множини $A$ на множину $B$ називається взаємно однозначним (або бієктивним). Цей приклад показує, що взаємно однозначне відображення множини $A$ на множину $B$ автоматично здійснює також взаємно однозначне відображення множини $B$ на множину $A:$ адже якщо кожна множина $f^{-1},$ де $b$ - довiльний елемент $B,$ складається лише з одного елемента $a,$ то ми й отримуємо відображення $f^{-1}$ множини $B$ на множину $A,$ що ставить у відповідність кожному елементу $b\in B$ елемент $a=f^{-1}(b)$ множини $A.$ Відображення $f^{-1}$ називається зворотним відображенням до відображення $f.$

Для того, щоб відображення, задане таблицею, було взаємно однозначним, необхідно та достатньо, щоб кожний елемент з множини $B$ зустрічався у нижньому рядку лише один раз. Роблячи нижній рядок верхнім, а верхній нижнім, отримаємо таблицю зворотного $f^{-1}$ відображення. Наприклад, перша з наступних двох таблиць

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&1&3&5&4\end{pmatrix}},\quad \quad {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&2&1\end{pmatrix}}$

визначає взаємно однозначне відображення множини $\{1,2,3,4,5\}$ на себе, а інша - ні (оскільки, як говорилося, необхідно та достатньо, щоб кожний елемент зустрічався у нижньому рядку лише один раз). Це диктується вищевказаною вимогою про те, що за накладання для елемента $b\in B$ достатньо мати хоча б один прообраз у множині $A.$

Нехай $f:A\to B$ - відображення $A$ на $B.$ Перетином відображення $f$ називається відображення $g:B\to A,$ для якого $g\circ f=h:B\to B$.

Нехай $A=\{1,2,3,4,5\},$ a $B=\{a,b,c,d,e\}.$ Розгляньмо відображення $f:A\to B$, задане таблицею ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\a&b&c&d&e\end{pmatrix}}.$ Зворотним відображенням $a=f^{-1}(b)$ буде відображення $g:B\to A$, задане таблицею ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}}.$ Зрозуміло, що $g\circ f={\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\a&b&c&d&e\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\a&b&c&d&e\end{pmatrix}}.$ За аксіомою вибору кожне накладання має перетин.

Розгляньмо відображення $\varphi$ множини $A$ на множину $B.$ Визначмо на $A$ бінарне відношення $\sim ,$ вважаючи $a_{1}\sim a_{2}$ ($a_{1},a_{2}\in A$), якщо елементи $a_{1}$ та $a_{2}$ належать до одного й того ж суміжного класу. Множина $A$ складається із класів еквівалентності по відношенню $\sim$ і називається фактормножиною (позначається $A/\sim$). Нехай множина $B$ складається з точок; тоді кожній точці з $B$ за відображення $\varphi$ відповідає суміжний клас з $A/\sim ,$ зображений на малюнку квадратом. Суміжні класи $A$ по $\sim$ є повними прообразами у множині $A$ елементів множини $B.$ Ставлячи кожному елементу $B$ у відповідність його повний прообраз у $A,$ отримаємо взаємно однозначне відображення (бієкцію) множини $B$ на фактормножину $A/\sim .$ На наступному малюнку підмножина $A$ складається з точок усіх квадратів (суміжних класів), а множина $B$ є сукупністю точок, що знаходяться у правому стовпці.

Функція

Елемент $y$ множини $Y$ називається функцією елемента $x,$ визначеною на множині $X,$ якщо кожному елементу $x\in X$ відповідає єдиний елемент $y\in Y.$ Елемент $x$ називається незалежною змінною або аргументом. Множина $X$ називається областю визначення, або областю існування $D$ функції і позначається $D(y).$ Множина $E\subset Y,$ яка складається з усіх $y,$ які відповідають хоча б одному $x\in X,$ називається множиною значень, або областю зміни функції, і позначається $E(y)$. Таким чином, $y$ є функцією від $x,$ коли встановлена відповідність: кожному $x\in X$ відповідає певне $y\in Y.$ Позначається функція $y=f(x)$ або як відображення $f:X\to Y.$ Функція може задаватися словесно, таблицею тощо, за тієї лише умови, що необхідно задати закон відповідності $x\to y=f(x).$ В цьому сенсі $x$ є незалежною величиною (аргументом), а $y$ - залежною від $x$. Визначення функції як змінної величини має недоліки, оскільки використовується несуворе поняття змінної величини.

В залежності від природи множин $X$ та $Y$ термін "функція" у різних розділах математики має синоніми: відображення, перетворення, морфізм, оператор, функціонал. Відображення - найбільш розповсюджений серед них.

Дві функції $f_{1}$ та $f_{2}$ є співпадаючими (рівними), якщо вони мають одну і ту саму область визначення $X$ (символічно $D(y)$) та на будь-якому елементі $x\in X$ значення $f_{1}(x)$ та $f_{2}(x)$ цих функцій відповідно співпадають. У такому випадку пишуть $f_{1}=f_{2}.$ Зрозуміло, що для рівності функцій їхні області визначення та значень повинні співпадати, тобто $D(f_{1})=D(f_{2})$ та $E(f_{1})=E(f_{2}).$

Якщо $A\subset X,$ a $f:X\to Y$ є декотрою функцією, то через запис $f|_{A}$ позначають функцію $\varphi :A\to Y,$ яка співпадає із функцією $f$ на множині $A.$ Іншими словами, $f|_{A}(x)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\,\varphi (x),$ якщо $x\in A.$ У такому випадку функція $f|_{A}$ називається обмеженням (звуженням) функції $f$ на множину $A,$ а функція $f:X\to Y$ по відношенню до функції $\varphi =f|_{A}:A\to Y$ називається розповсюдженням (або продовженням) функції $\varphi$ на множину $X.$ Варто зауважити, що іноді доводиться розглядати функцію $\varphi :A\to Y,$ визначену на підмножині $A$ декотрої множини $X,$ причому область значень $\varphi (A)$ функції $\varphi$ може виявитися не співпадаючою із підмножиною множини $Y,$ як за відображення $f:X\to Y.$

Нехай $M(X,Y)$ - множина відображень множини $X$ у множину $Y,$ a $x_{1}$ - фіксований елемент з множини $X.$ Поставимо будь-якій функції $f_{i}\in M(X,Y)$ у відповідність її значення $f_{i}(x_{1})\in Y$ на елементі $x_{1}.$ Цим визначається функція $F:M(X,Y)\to Y.$ Зокрема, якщо $Y$ є множиною натуральних чисел, $Y=\mathbb {N} ,$ то кожній функції $f_{i}:X\to \mathbb {N}$ функція $F:M(X,\mathbb {N} )\to \mathbb {N}$ ставить у відповідність число $F(f_{i})=f_{i}(x_{1}).$ Таким чином, функція $F$ є функцією, визначеною на функціях. Такі функції називають функціоналами.

Розгляньмо множину $M(\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ усіх функцій, визначених на усій числовій осі $\mathbb {N} .$ Зафіксуймо число $a\in \mathbb {N} ,$ кожній функції $f\in M(\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ поставимо у відповідність функцію $f_{a}\in M(\mathbb {N} ,\mathbb {N} ),$ пов'язану із нею співвідношенням $f_{a}(x)=x+a.$ Функція $f_{a}(x)$ називається зсувом на $a$ функції $f(x).$ Відображення $A:M(\mathbb {N} ,\mathbb {N} )\to M(\mathbb {N} ,\mathbb {N} )$ називається оператором зсуву. Таким чином, оператор $A$ визначений на функціях, його значеннями є також функції, тобто $f_{a}=A(f).$

Часткове відображення

Частковим відображенням $f$ з сукупності $A_{1}\times ...\times A_{n}$ до сукупності $B$ називається частковою функцією з $A_{1}\times ...\times A_{n}$ до $B.$ Елемент $b\in B,$ який відповідає елементу $(a_{1},...,a_{n}),$ де $a_{1}\in A_{1},...,a_{n}\in A_{n},$ за відображення $f,$ називається значенням функції $f$ у точці $(a_{1},...,a_{n})$ та позначається $a_{1}\,f\,a_{2}\,f\,...a_{n}f.$ Для $n=1$ та $n=2$ застосовуються позначення $f\,a$ та $a_{1}\,f\,a_{2}.$

Відміність між функцією та частковою функцією полягає у наступному. Якщо $f$ - функція з $A_{1}\times A_{2}$ до $B,$ то для кожних $a_{1}\in A_{1}$ та $a_{2}\in A_{2}$ однозначно визначене значення $f(a_{1},a_{2})=a_{1}\,f\,a_{2}$ цієї функції у точці $(a_{1},a_{2}).$

Якщо ж $f$ є частковою функцією з $A_{1}\times A_{2}$ до $B,$ то для декотрих $a_{1}\in A_{1}$ та $a_{2}\in A_{2}$ значення $f(a_{1},a_{2})=a_{1}\,f\,a_{2}$ може не існувати. У цьому випадку кажуть, що значення $a_{1}\,f\,a_{2}$ не визначене або що вираз $a_{1}\,f\,a_{2}$ має невизначене значення. Наприклад, сума $a+b$ та добуток $a\cdot b$ натуральних чисел $a,b\in \mathbb {N}$ є бінарними операціями на $\mathbb {N} .$ Дія ж віднімання $-$ в області натуральних чисел не завжди можлива. Наприклад, вираз $a-b,$ де $a<b$ ($a$ менше за значенням від $b$), не справджується, оскільки значення цього виразу не належить множині $\mathbb {N} .$ Тому операцію віднімання на множині натуральних чисел $\mathbb {N}$ варто розглядати як часткову, тобто таку, яка є справедливою у випадку $a>b$ ($a$ більше від $b$), оскільки значення виразу за умови $a>b$ будуть належати множині $\mathbb {N} .$

Часткова функція з $A^{n}$ до $B$ називається частковою $n$-арною функцією на $A$ із значеннями у $B.$ Сукупність тих точок, у яких задана часткова функція $f$ має значення, називається областю визначеності $f.$

Графік

Графіком називається множина $\Gamma \subseteq X\times Y,$ будь-який елемент якої є впорядкована пара $(x,y).$ У добутку $X\times Y$ називають $X$ "віссю абсцис", а $Y$ - віссю ординат. Пару $\gamma =(x,y),$ де $x\in X$ та $y\in Y,$ називають точкою, а $x$ та $y$ - "абсцисою" та "ординатою" точки $\gamma \in \Gamma$ відповідно. Таким чином, геометричною інтепретацією декартового добутку множин є поняття графіка.

Над відношеннями можна здійснювати операції, в результаті чого утворються нові відношення. Операції над відношеннями можна визначити чрезвідповідні їм операції над графіками цих відношен. Наприклад, оберненим графіком до графіка $\Gamma \subseteq X\times Y,$ який складається з усіх пар $(x,y),$ є графік $\Gamma ^{-1},$ який складається з усіх пар $(y,x),$ тобто $\Gamma ^{-1}\subseteq Y\times X.$ При цьому вісь абсцис та вісь ординат змінюються місцями. Повторне застосування операції обернення (інверсії) приводить до графіка $\Gamma ,$ тобто $(\Gamma ^{-1})^{-1}=\Gamma .$

Таким чином, кожна частина декартового добутку двох множин є графіком. Можна розглядати також декартовий доубток трьох, чотирьох тощо множин, вважаючи $A\times B\times C\,=\,(A\times B)\times C,$ або $A\times B\times C\times D=(A\times B\times C)\times D$ тощо. При цьому вирази $((a,b),c)$ чи $(a,(b,c))$ записуються просто $(a,b,c)$, тому $A\times B\times C=(A\times B)\times C=A\times (B\times C).$ Для декартового добутку множин справджується асоціативний закон.

Для добутку між собою рівночисельних множин використовують поняття степені й записують:

$A\times A=A^{2},\quad \quad A\times A\times A=A^{3},\quad \quad \underbrace {B\times B\times ...\times B} _{n\,{\text{співмножників}}}=B^{n}.$

Цим пояснюється походження позначень $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{4},...,\mathbb {R} ^{n}$ для площини, трьохвимірного, чотирьохвимірного, ..., $n$-вимірного дійсного простору. Поняття простору буде розглянуте згодом.

Суперпозицією (композицією) графіків є операція, яка довільним двом графікам $\Gamma _{1}$ та $\Gamma _{2},$ заданим у вказаному порядку, ставить у відповідність графік $\Gamma _{1}\circ \Gamma _{2}=\Gamma _{3}$ за наступним правилом: якщо $(x,y)\in \Gamma _{1},$ а $(y,z)\in \Gamma _{2},$ то $(x,z)\in \Gamma _{3}.$

Нехай $\Gamma _{1}=\{(a,b),\,(a,c),\,(c,c),\,(c,d)\}$ та $\Gamma _{2}=\{(b,a),\,(b,c),\,(d,e)\}.$ Розгляньмо композицію $\Gamma _{1}\circ \Gamma _{2}:$

• якщо $(a,b)\in \Gamma _{1}$ тa $(b,a)\in \Gamma _{2},$ то $(a,a)\in \Gamma _{1}\circ \Gamma _{2};$
• якщо $(a,b)\in \Gamma _{1}$ та $(b,c)\in \Gamma _{2},$ то $(a,c)\in \Gamma _{1}\circ \Gamma _{2};$
• якщо $(c,d)\in \Gamma _{1}$ та $(d,e)\in \Gamma _{2},$ то $(c,e)\in \Gamma _{1}\circ \Gamma _{2}.$

Розгляньмо також композицію $\Gamma _{2}\circ \Gamma _{1}:$

• якщо $(b,a)\in \Gamma _{2}$ та $(a,b)\in \Gamma _{1},$ то $(b,b)\in \Gamma _{2}\circ \Gamma _{1};$
• якщо $(b,c)\in \Gamma _{2}$ та $(c,d)\in \Gamma _{1},$ то $(b,d)\in \Gamma _{2}\circ \Gamma _{1};$
• якщо $(b,a)\in \Gamma _{2}$ та $(a,c)\in \Gamma _{1},$ то $(b,c)\in \Gamma _{2}\circ \Gamma _{1}.$

Координати

Координати - числа, взяті в певному порядку й характеризуючі положення точки на лінії, на площині, на поверхні тощо. В залежності від об'єкта дослідження обирають різні системи координат, за допомогою яких кожному елементу $x$ множини $X$ ставлять у відповідність елемент $y$ множини $Y$ за відображення $f:X\to Y.$ Наприклад, у площині розглядають дві самонепересічні лінії (якi не мiстять особливих точок, у яких ці лінії могли б перетинали самi себе) $X$ та $Y$. Точка перетину ліній позначається $(x,y).$ На наступному малюнку позначена точка перетину ліній $X_{n+1}$ та $Y_{n+4}.$

Об'єкти, фізичні величини існують та взаємодіють незалежно від спостерігача. Реальний об'єкт існує у просторі незалежно від заданих спостерігачем суб'єктивних координат, у яких об'єкт квантифікований (від лат. quantum — "скільки"), і взагалі незалежно від квантифікації з боку спостерігача. Системи координат уводяться з метою дати можливість спостерігачу квантифіковувати об'єкти. Тим самим уводиться суб'єктивізм спостерігача, який уявляє об'єкт як сукупність компонент, виміряних у заданій системі координат. Зрозуміло, за перенесення об'єкта з одієї системи координат до іншої (або за переходу до точки зору іншого спостерігача), необхідно бути впевненими, що спостережуваний об'єкт залишиться тим самим, тобто що він є інваріантним по відношенню до зміни системи координат. Для виміру довжини (протяжності) здійснюється вибір напрямку (лінії) вимірювання та вибір двох точок, відстань між якими дорівнює одиниці вимірювання (дюйм, сантиметр, дециметр тощо). Процедура вимірювання здійснюється шляхом накладання вимірюваної довжини (яка визначається двома точками - її початку та кінця) на лінію, квантифіковану (виміряну) еталоном-масштабом (сантиметром, міліметром, дециметром тощо) та здійснення лічби, яка полягає у визначені того, на скільки вимірюваний відрізок відрізняється від еталона вимірювання. Таким чином, виміряти яку-небудь величину - значить знайти відношення даної величини до відповідної одиниці виміру. Поняття більше чи менше застосовуються лише до однорідних величин, тому й порівнювати можна лише однорідні величини. Іншими словами, операції порівняння застосовуються між елементами однієї множини, оскільки множина - сукупність об'єктів, відокремлених від усіх інших об'єктів у цю множину на основі деякої їх спільної властивості, завдяки якій ці об'єкти можуть мислитися у певному порядку. У фізиці можна порівнювати висоту споруди із відстанню між містами, силу натягу пружини із вагою (тобто силою тяжіння) гирі, однак безглуздо ставити питання про те, чи перевищує довжина олівця швидкість поїзда, або об'єм стакана - вагу стола.

Ґратка

Ґратка (або структура) - система $\langle A,\leq \rangle ,$ у якій кожна підмножина множини $A$, що складається з двох елементів $a_{1},a_{2}$ цієї підмножини, має як точну верхню $\sup\{a_{1},a_{2}\}=a_{2},$ так й точну нижню $\inf\{a_{1},a_{2}\}=a_{1}$ грані. Звідси слідує існування цих граней для будь-яких непустих скінченних підмножин. Елементи $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ називаються утворюючими ґратку.

Ґратка може бути визначена також як універсальна алгебра $\langle A,\cup ,\cap \rangle$ із двома бінарними операціями $\cup$ та $\cap ,$ які повинні задовільняти наступним рівностям для $a_{1},a_{2},a_{3}\in A$:

• $a_{1}\cup a_{1}=a_{1},$
• $a_{1}\cup a_{2}=a_{2}\cup a_{1},$
• $(a_{1}\cup a_{2})\cup a_{3}=a_{1}\cup (a_{2}\cup a_{3}),$
• $a_{1}\cap (a_{1}\cup a_{2})=a_{1},$

• $a_{1}\cap a_{1}=a_{1},$
• $a_{1}\cap a_{2}=a_{2}\cap a_{1},$
• $(a_{1}\cap a_{2})\cap a_{3}=a_{1}\cap (a_{2}\cap a_{3}),$
• $a_{1}\cup a_{1}\cap a_{2}=a_{1}.$

Зв'язок між цими двома визначеннями встановлюється за допомогою формул:

$a_{1}\cup a_{2}=\sup\{a_{1},a_{2}\},\quad \quad a_{1}\cap a_{2}=\inf\{a_{1},a_{2}\}.$

При цьому потрібно мати на увазі рівносильність наступних тверджень:

• $a_{1}\leq a_{2},$
• $a_{1}\cap a_{2}=a_{1},$
• $a_{1}\cup a_{2}=a_{2}.$

Прикладом ґратки є множина $S$ усіх підмножин $A_{1},A_{2},...,A_{n},$ впорядкованих за включенням: $A_{1}\subset A_{2}\subset ...\subset A_{n}.$

Підґраткою гратки $\langle A,\cup ,\cap \rangle$ називається підмножина $A_{i}\subseteq A$ така, що якщо $a_{1}\in A_{i}$ та $a_{2}\in A_{i},$ то $a_{1}\cup a_{2}\in A_{i}$ та $a_{1}\cap a_{2}\in A_{i},$ де $\cup$ та $\cap$ - операції ґратки $A.$

Згадаймо, що пуста множина має лише одну частину: $\emptyset ;$ множина $\{1\},$ що складається з одного елемента $1,$ має дві частини: $\emptyset$ та $\{1\};$ множина $\{1,2\},$ що складається з двох елементів, має чотири частини: $\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\};$ множина ${\displaystyle }$, що складається з трьох елементів, має 8 частин: $\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}.$ Таким чином, множина, яка складається з певного числа $n$ елементів, має $\underbrace {2\cdot 2\cdot 2\cdot \cdot \cdot 2} _{n\,{\text{разів}}}$ частин.

Якщо $\langle A_{1},\leq _{1}\rangle$ та $\langle A_{2},\leq _{2}\rangle$ є частково впорядкованими множинами, то $\langle A_{1},\leq _{1}\rangle +\langle A_{2},\leq _{2}\rangle$ - часткове впорядкування $\leq$ множини $A_{1}\cup A_{2}$ (за припущення, що $A_{1}\cap A_{2}\neq \emptyset$), яке співпадає на $A_{i}$ із $\leq _{i},$ та таке, що для довільних $a_{i}\in A_{i}$ маємо $a_{1}\leq a_{2}.$

Порядок на підмножині частково впорядкованої множини розглядається як породжений порядком надмножини.

Підмножина $B$ називається коініціальною у частково впорядкованій множині $\langle A,\leq \rangle ,$ якщо для будь-якого $a\in A$ існує такий $b\in B,$ що $b\geq a$ (чи $a\leq b$).

Відношення $\langle A_{1},\leq \rangle \leq \langle A_{2},\leq \rangle$ між частковими порядками є відношенням так званого ізоморфного вкладення; запис $\langle A_{1},\leq \rangle =\langle A_{2},\leq \rangle$ означає наступне: $\langle A_{1},\leq \rangle \leq \langle A_{2},\leq \rangle \,\And \,\langle A_{2},\leq \rangle \leq \langle A_{1},\leq \rangle .$

Приклад 1. Розгляньмо телеологічну (від грец. τέλειος, «заключний, довершений» + логія) систему, що складається із множини $M=\{a,b,c,d,e\}$ та операцій $\cup$ та $\cap ,$ визначених на цій множині. Діяльність може розглядатися на декількох рівнях: на операційному (нижньому), на тактичному, стратегічному й на найвищому рівні - цілепокладання (прагматичний аспект діяльності, тобто навіщо вона здійснюється, з якою метою). Основну задачу (ціль) зручно розбивати на підзадачі (підцілі). Самі підзадачі, у свою чергу, можуть розбиватися ще на підзадачі аж до початкових підзадач, що не містять жодних інших підзадач. Зрозуміло, що основна задача (кінцева ціль) не міститься в якості підзадачі у жодній іншій задачі. Початкові задачі (цілі) (тобто елементи $a,b,c,d,e$) є утворюючими систему цілепокладання $M$. Об'єднання будь-яких початкових задач, наприклад, $c$ та $d,$ запишемо $\cup _{cd},$ означає найближчий найбільший елемент для обох - множину $\{c,d\}.$ Перетин будь-яких початкових задач, наприклад $b$ та $e,$ є найближчим найменшим елементом для них - у нашому випадку їх перетин $b\cap e=\emptyset .$ На наступній діаграмі зображена частина ґратки, оскільки деякі початкові та проміжні цілі можуть бути не пов'язані між собою. У записі об'єднання $U_{abc^{2}de}$ вираз $c^{2}$ означає, що елемент $c$ входить до об'єднання елементів двічі.

Приклад 2. Книга представляє собою ієрархічну структуру: розділи діляться на підрозділи, а підрозділи, у свою чергу, ще на підрозділи тощо. Іншими словами, підрозділи містяться у підрозділах, які, у свою чергу, містяться у деяких інших підрозділах і так аж до деякого розділу. Таким чином:

• Розділ 1
  • Підрозділ 1.1
    • Підрозділ 1.1.1
    • Підрозділ 1.1.2
      • Підрозділ 1.1.2.1
      • Підрозділ 1.1.2.2
      • Підрозділ 1.1.2.3
• Розділ 2
  • Підрозділ 2.1
  • Підрозділ 2.2
    • Підрозділ 2.2.1
    • Підрозділ 2.2.2 тощо.

Приклад 3. За оцінками деяких експертів кардинальне число множини усіх органічніх сполук може сягати значення близько $10^{34}.$ Система номенклатури IUPAC базується на центральній її концепції "родопочаткової структури". Структурною одиницею тезаурусу є дескрипторна стаття. Вона складається з називного дискриптора та інших лексичних одиниць, що пов'язані відношенням синонімії, часткового порядку. До називного дискриптора входить бруто-формула зв'язків, яка відповідає структурному фрагментові даного класу органічних сполук. Представлення органічної хемії можна здійснити у вигляді дерева із кореневим дескриптором "Органічні сполуки". Дескриптори, що знаходяться на першому ступені підпорядкування, розташовані у абетковому порядку і зсунуті праворуч на одну позицію відносно називного дескриптора.

• Органічні сполуки
  • Ациклічні сполуки
  • Циклічні сполуки
    • Ароматичні сполуки
      • Бензоїдні ароматичні сполуки

тощо.