Елементарна математика/Вирази та величини

Вирази

Запис, який складається з чисел, знаків дій та дужок називається числовим виразом. При цьому окремо взяте число також є виразом. Наприклад, серед записів

$3+4,\quad \quad (3-1)\cdot 5,\quad \quad 1+9=10,\quad \quad 2\cdot (8:4)=4,\quad \quad 2\cdot 3\cdot 10,\quad \quad 326,$

числовими виразами є записи $3+4,\,\,\,(3-1)\cdot 5,\,\,\,2\cdot 3\cdot 10,\,\,\,326.$ Записи $1+9=10,\,\,\,(8:4)=4$ не є числовими виразами, оскільки вони містять знак рівності.

Вперше використовувати літери абетки для позначення чисел почав Франсуа Вієт. Варто при цьому розуміти, що змінна - це не вузлове число (тобто не літера, закріплена у математиці за певним цілком визначеним числом для лічби). Змінна може набувати різних значень в залежності від умов задачі.

Запис, який складається з чисел, змінних, знаків дій, дужок, називається виразом зі змінними. При цьому окремо взята змінна є виразом зі змінною. Наприклад, серед записів

$a+5=12,\quad \quad {\frac {6+a}{3\cdot (b+5)}},\quad \quad x:20,\quad \quad 5\cdot 2,\quad \quad a\cdot x\cdot c+101,\quad \quad b,$

виразами із змінними є записи ${\frac {6+a}{3\cdot (b+5)}},\,\,\,x:20,\,\,\,a\cdot x\cdot c+101,\,\,\,b;$ записи $a+5=12$ та $5\cdot 2$ не є виразами зі змінними. Зверніть увагу на вираз ${\frac {6+a}{3\cdot (b+5)}}.$ Його можна записати також наступним чином: $(6+a):(3\cdot (b+5)).$ Вертикальна риска означає дію ділення, наприклад, $a:b={\frac {a}{b}}.$ Такий вираз називається дробовим виразом.

Знайти значення виразу - значить підставити замість змінних числа та виконати дії у їх порядку. Значення змінної можна змінювати, наприклад, у виразі $43-(43-x)$ змінна $x$ може набувати будь-якого значення. Наприклад, для $x=15$ будемо мати наступний вираз: $43-(43-15).$ Щоб знайти значення цього числового виразу потрібно виконати дії у необхідному порядку: $43-(43-15)=43-28=15.$ Відтак, значенням числового виразу $43-(43-15)$ є число 15.

Вирази пов'язані із умовами задач та необхідністю "перекладати" з природної мови на мову математики.

Словосполучення (природна мова)	Вираз (мова математики)
На $10$ більше	$x+10$
На $25$ менше	$x-25$
Вдвічі більше	$2\cdot x$
У 12 разів менше	$x:12$
Менше на половину	$x-x:2$

Величини

У прикладному аспекті ми маємо справу із тиском, температурою, густиною, насипною кількістю, місткістю, довжиною, площею, вартістю, швидкістю, яскравістю тощо. Усі ці поняття виражаються числами, які називаються величинами. Іменоване число - число, що записується разом із найменуванням единиці виміру розглядуваної величини. Наприклад, $23$ м (двадцять три метри), $2^{\mathrm {o} }$ (два градуси), 6 га (шість гектарів), 24 кв. м. (двадцять чотири квадратних метри), 4 г (чотири грами), 12 ст. л. (дванадцять столових ложок - насипна кількість), 8 л (вісім літрів) тощо.

Вирази зі змінними використовують для запису формул. Наприклад, $S=a\cdot b$ - формула для обчислення площі, $V=a\cdot b\cdot c$ - формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда, $n=2\cdot k$ - формула задання парних чисел, $n=2\cdot k+1$ - формула задання непарних чисел. Формули виражають залежності між змінними, які позначають величини. Наприклад, швидкість виражається через залежність проходжуваного шляху $L$ м тілом від часу $t$ с, що записують як $v=L:t.$ Це значить, що за $t$ секунд тіло переміститься на відстань $L$ метрів відносно точки початку його руху.

Задачі

Кожна задача складається із умови та запитання. В умові наводяться дані та шукані величини, описане співвідношення між ними. Щоб відповісти на запитання, необхідно ретельно та всестороньо вивчити умову, виявити приховані зв'язки між даними та шуканими величинами. Процес пошуку відповіді на запитання називається розв'язуванням (вирішенням), а сама відповідь - розв'язком.