Геодезія/Попередні обчислення в планових геодезичних мережах

Задачі попередніх обчислень

Рис1.Проект спеціальної мережі тріангуляції обласного центру

Перед тим, як приступити до зрівноваження тріангуляції необхідно виміряні і зрівноважені на станціях напрямки привести до центрів знаків (Див. статтю Визначення елементів приведення), редукувати на референц-еліпсоїді, а після на площину в проекції Гаусса-Крюгера. Крім цього, необхідно перевірити, щоб результати вимірів не мали недопустимих похибок і по їх точності відповідали вимогам Інструкції.

У рівнинній місцевості поправки у виміряні напрямки за редукцію до референц-еліпсоїда малі і тому на пунктах 2-4 класів їх не вичисляють. Але в гірській місцевості цими поправками не можна нехтувати.

Вихідні сторони виміряні між центрами знаків і приведені до поверхні реферецн-еліпсоїда, необхідно також редукувати на площину. Від геодезичних азимутів вихідних сторін, заданих на поверхні референц-еліпсоїда, необхідно перейти до дирекційних кутів на площині.

Попереднє рішення трикутників і обчислення сферичних надлишків

Для того щоб обчислити поправки у виміряні напрямки за центрування теодоліта і редукції візирних цілей необхідно знайти спочатку довжини сторін трикутників (див.статтю Визначення елементів приведення. При цьому зразу ж обчислюють їх сферичні надлишки.

При рішенні трикутників доцільно дотримуватись слідуючих рекомендацій:

— виділити на схемі мережі ланку послідовного рішення трикутників і пронумерувати їх по порядку. Трикутники, які не потрапили в цю ланку, нумеруються і розв'язуються останніми;

— в кожному трикутнику на першому місці виписується номер вершини того кута, який лежить проти вихідної сторони і служить вихідною при рішенні слідуючого трикутника;

— кути виписують округлюючи їх до 10", причому так, щоб сума кутів в трикутнику була рівна точно 180^о;

— протилежні кути і сторони трикутника записують построчно. У трикутнику з виміряними кутами А,В,С довжини протилежних сторін обчислюють за теоремою синусів:

${\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}=q$,

звідки, прийнявши сторону а за вихідну, знаходять довжини других сторін (див. статтю Проектування і рекогностування геодезичних мереж.):

$b=q\sin {B}$,

$c=q\sin {C}$.

Обчислення сторін трикутників починається від вихідної сторони тріагуляції (див. статтю Державні геодезичні мережі. Величина q записується над сторонами трикутника, що обчислюються. Довжина кожної сторони знаходиться шляхом множення величини q на синус протилежного кута. Довжини сторін обчислюють до цілого метра.

Сферичний надлишок трикутника зі сторонами а, b, с визначають за формулою :

$\epsilon =fab\sin {C}$,

де сторони а, b виражають в кілометрах, а коефіцієнт:

$f={\frac {\rho ''}{2R_{m}^{2}}}$,

в якому ρ" = 206265", а R_m- середній радіус кривизни поверні земного еліпсоїда на широті мережі, виражений також в кілометрах. В тріангуляції 3-4 класів значення цього коефіцієнта для території колишнього Союзу приймався однаковим і рівним f=0,00253.

Сферичні надлишки трикутників обчислюють до 0,001" в тріангуляції 1-2 класів і до 0,01" в тріангуляції 3-4 класів.

Складання проекту прецизійної мережі для забезпечення облікової одиниці площі 1 м²

На рис.1. приведена схема тріангуляії обласного центру. На топографічній карті масштабу 1:10000 запроектована центральна система із 8 трикутників. Центральний пункт А запроектовано на даху 14-ти поверхового будинку, з якого є добра видимість на 8 пуктів, розміщених, також, на дахах висотних будинків у різних частинах міста. Вихідний базис АВ вимірюється з точністю 1:1 000 000. Довжина базисної сторони 2900,000 м. Координати визначаються у відносній системі координат.

Кути вимірюються транспортиром з точністю 0,5°. При цьому слідкують за тим, щоб сума кутів у трикутнику була рівною 180°, а сума кутів при центральному пункті 360°.

Для побудови моделі геодезичної мережі необхідно підібрати так значення кутів, щоб виконувалися умови фігур, горизонту і полюса. Лише в цьому випадку визначені координати пунктів можна прийняти за істинні координати, а кути — за істинні значення кутів.

Виконується попереднє рішення трикутників — визначаються довжини сторін і вільний член полюсного умовного рівняння. Рішення тикутників виконується за теоремою синусів:

$S_{BC}=S_{AB}{\frac {\sin {C_{1}}}{\sin {A_{1}}}}$,

$S_{AC}=S_{AB}{\frac {\sin {B_{1}}}{\sin {A_{1}}}}$,

$S_{AD}=S_{AC}{\frac {\sin {B_{2}}}{\sin {A_{2}}}}$.

Підставляючи $S_{AC}$ у $S_{AD}$, отримаємо:

$S_{AD}=S_{AB}{\frac {\sin {B_{1}}\sin {B_{2}}}{\sin {A_{1}}\sin {A_{2}}}}$.

Діючи по аналогії, будемо мати:

$S_{AD}'=S_{AB}{\frac {\sin {B_{1}}\sin {B_{2}}\sin {B_{3}}\sin {B_{4}}\sin {B_{5}}\sin {B_{6}}\sin {B_{7}}\sin {B_{8}}}{\sin {A_{1}}\sin {A_{2}}\sin {A_{3}}\sin {A_{4}}\sin {A_{5}}\sin {A_{6}}\sin {A_{7}}\sin {A_{8}}}}$,

де S_АB — довжина виміряного базиса ; S'_АВ — розрахована довжина базиса при передачі сторін. Полюсне умовне рівняння при цьому буде:

${\frac {10^{6}}{\rho ''}}[\cot {B_{1}}(B_{1})+\cot {B_{2}}(B_{2})+\cot {B_{3}}(B_{3})+\cot {B_{4}}(B_{4})+\cot {B_{5}}(B_{5})+\cot {B_{6}}(B_{6})+\cot {B_{7}}(B_{7})+\cot {B_{8}}(B_{8})$

$-\cot {A_{1}}(A_{1})-\cot {A_{2}}(A_{2})-\cot {A_{3}}(A_{3})-\cot {A_{4}}(A_{4})-\cot {A_{5}}(A_{5})-\cot {A_{6}}(A_{6})-\cot {A_{7}}(A_{7})-\cot {A_{8}}(A_{8})]+W=0$,

де

$W={\frac {S_{AB}'-S_{AB}}{S_{AB}}}\cdot 10^{6}$,

(B_i), (A_i) — невідомі поправки у виміряні відповідно кути В_i, А_i;

ρ" — число секунд в одному радіані.

Крім умовного рівняння полюса в даній мережі повинна задовольнятись умова горизонту, якщо вимірюються кути:

$(C_{1})+(C_{2})+(C_{3})+(C_{4})+(C_{5})+(C_{6})+(C_{7})+(C_{8})+W_{r}=0$,

де (С_i) — поправки в центральні кути С_i.

При цьому:

$W_{r}=\sum _{i=1}^{8}{C_{i}-360^{\circ }}$.

В даній мережі повинно задовільнятись вісім умовних рівнянь фігур :

$(A_{1})+(B_{1})+(C_{1})+W_{1}=0$,

$(A_{2})+(B_{2})+(C_{2})+W_{2}=0$,

$(A_{3})+(B_{3})+(C_{3})+W_{3}=0$,

$(A_{4})+(B_{4})+(C_{4})+W_{4}=0$,

$(A_{5})+(B_{5})+(C_{5})+W_{5}=0$,

$(A_{6})+(B_{6})+(C_{6})+W_{6}=0$,

$(A_{7})+(B_{7})+(C_{7})+W_{7}=0$,

$(A_{8})+(B_{8})+(C_{8})+W_{8}=0$,

де $W_{i}=(A_{i})+(B_{i})+(C_{i})-180^{\circ }$.

Поправка за умову полюса у зв'язуючі кути трикутників при спрощеному зрівноваженні знаходиться за формулою:

$V''=-{\frac {W_{pol}}{\sum {\delta _{i}}}}$

де $\sum {\delta _{i}}=\sum {(\delta _{Ai}+\delta _{Bi})}$

а $\delta _{Ai}={\frac {\cot {Ai}}{\rho ''}}\cdot 10^{6}$,

$\delta _{Bi}={\frac {\cot {Bi}}{\rho ''}}\cdot 10^{6}$,

З врахуванням всіх умовних рівнянь проводиться зрівноваження центральної системи . У зрівноваженій моделі задовільняються всі умовні рівняння .

Отримана зрівноважена система сприймається як істинна модель мережі, зрівноважені сторони — за істинні сторони, зрівноважені кути — за істинні кути.

Далі дослідження проводиться методом спотвореної моделі. При цьому генеруються випадкові похибки по тому чи іншому закону.

У наших дослідженнях генеруються псевдовипадкові похибки Δ_i, розподілені за нормальним законом:

$P(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Значення Δ_2i-1, Δ_2i генеруються із $\Im (i=1,2,3...)$ за формулами:

$\Delta _{2i-1}=(-2\ln {\Im _{i}})^{\frac {1}{2}}\cdot \cos {e^{9}\Im _{i}}$

$\Delta _{2i}=(-2\ln {\Im _{i}})^{\frac {1}{2}}\cdot \sin {e^{9}\Im _{i}}$

Значення $\Im$ виробляються за допомогою лінійного конгруентного методу:

$\Im _{i+1}=F(11\Im +\pi )$

де Р(Z) — дробна частина від Z. Розрахунки раціонально вести на програмованому мікрокалькуляторі МК 52.

При цьому можна задаватись будь-якою середньою квадратичною похибкою моделі польових спостережень.

Ввівши генеровані похибки у значення кутів істинної моделі, отримують спотворену модель. Генеровані похибки розглядаються як істинні похибки виміряних кутів.

Провадиться строге зрівноваження мережі корелатним способом. Використовується двогруповий спосіб зрівноваження Крюгера — Урмаєва. В першу групу відносять умовні рівняння фігур. Розподіливши нев'язку кожного трикутника порівну на кожний кут, розраховують вільні члени умовних рівнянь горизонту і полюсу за попередньо вирівняними кутами за умови фігур.

Розраховують перетворені коефіцієнти умовних рівнянь горизонту і полюсу

$A_{i}=a_{i}-{\frac {\sum {a_{i}}}{3}}$,

$B_{i}=b_{i}-{\frac {\sum {b_{i}}}{3}}$

де а_i, b_i — неперетворені коефіцієнти в одному трикутнику; А_i, В_i — перетворені коефіцієнти.

Контролем розрахунку перетворених коеффіціентів є рівність нулю суми коефіцієнтів у кожному трикутнику. Від перетворених коефіцієнтів двох умовних рівнянь переходять до коефіцієнтів нормальних умовних рівнянь і виконують процедуру строгого зрівноваження.

Знайшовши корелати, розраховують поправки у вторинні у кути:

$V_{\beta _{i}}=k_{1}A_{i}+k_{2}B_{i}$

де k₁ і k₂ — координати.

Отримують зрівноважені кути шляхом додавання вторинної поправки до попередньо виправлених кутів за умови фігур.

Оцінка точності елементів запроектованої мережі

Виконавши процедуру суворого зрівноваження спотвореної мережі, провадять порівняльний аналіз точності елементів.

З цією метоюдається розрахунок істинних координат і зрівно-важених координат. Приводиться порівняльна таблиця істинних і зрівноважених значень координат, виписуються істинні похибки зрівноважених координат, які розраховуються за формулами:

$\Delta x_{i}=x_{i{3}}-x{i_{i}}$

$\Delta y_{i}=y_{i{3}}-y{i_{i}}$

Розраховується середня квадратична похибка координат

$m_{x,y}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{\Delta x_{i}}+\sum _{i=1}^{n}{\Delta y_{i}}}{2n}}}$,

де п — число пунктів, координати яких визначаємо.

Провадиться розрахунок середньої квадратичної похибки одиниці ваги

$\mu ={\sqrt {{\frac {[V'V']}{r'}}+{\frac {[V''V'']}{r''}}}}$,

де V', V" — первинна і вторинна поправки в кути відповідно;

γ', γ" — кількість умовних рівнянь першої і другої групи.

Для проведення більш детальних досліджень розраховується сумарна поправка

$V=V'+V''$

і середня квадратична похибка одиниці ваги за сумарною поправкою

$\mu '={\sqrt {\frac {[VV]}{r}}}$,

де $r=r'+r''$

Приводиться розрахунок середньої квадратичної похибки моделювання кута за формулою Гаусса

$m_{\beta }={\sqrt {\frac {[\Delta \Delta ]}{n}}}$,

де Δ — істинні значення генерованих похибок;

n — кількість генерованих похибок.

Дається розрахунок середньої квадратичної похибки моделювання кута за формулою Ферреро

де W — нев'язки в трикутниках (вільні члени умовних рівнянь фігур);

n — кількість трикутників.

Приводиться розрахунок середньої квадратичної похибки дирекційного кута m_αAF в найбільш слабкому місці мережі

$m_{\alpha AF}=\mu {\sqrt {\frac {1}{P_{\alpha AF}}}}$

де 1/Р_αAF — величина оберненої ваги, яку отримують із вирішення схеми Гаусса за попередньо складеною ваговою функцією.

У нашому випадку

$F\cdot {\frac {1}{P_{\alpha AF}}}=(C_{1})+(C_{2})+(C_{3})+(C_{4})$,

Коефіцієнти вагових функцій також перетворюють за формулами.

Приводиться розрахунок середньої квадратичної похибки сторони АF в найбільш слабкому місці

$m_{S_{AF}}=\mu {\sqrt {\frac {1}{P_{S_{AF}}}}}$

де 1/Р_αAF береться із схеми Гаусса на підставі складеної вагової функції

$F(1/P_{\alpha AF})=-\delta _{A_{1}}-\delta _{A_{2}}-\delta _{A_{3}}-\delta _{A_{4}}+\delta _{A_{1}}+\delta _{A_{2}}+\delta _{A_{3}}+\delta _{A_{4}}$

Середня квадратична похибка слабкої сторони, виражена в метрах, буде

$m_{\alpha AF(M)}=m_{\alpha AF}\cdot {\frac {S_{AF}}{10^{6}}}$

відносна похибка

$f={\frac {m_{S_{AF}}(m)}{S_{AF}}}$

Дається порівняльна таблиця істинних і зрівноважених дирекційних кутів і сторін.

Дослідження необхідної точності визначення координат пунктів

Беручи до уваги, що найбільш поширеним способом розмічування контурів ділянок і знімання меж землекористування є полярний спосіб, то середня квадратична похибка визначення контурної точки Р буде

$m_{\rho }={\sqrt {m_{d}^{2}+{\frac {m_{\beta }^{2}}{\rho ^{2}}}d^{2}}}$

де m_β — середня квадратична похибка виміру горизонтальних кутів (або їх побудови);

d — полярна відстань;

ρ = 206265 «.

Розглянемо точність визначення положення точки Р при викорис-анні самих сучасних засобів виміру, які забезпечать m_d=1 мм і m_β=2».

Тоді, при d=100 м отримаємо

$m_{\rho }={\sqrt {1^{2}+(2\cdot {\frac {100000}{206265}})^{2}}}$ мм

Тоді, при d=200 м m_p=2,18 мм; при d=300 м середня квадратична похибка визначення положення контурної точки складе 3,07 мм; при (d= 400 м m_p = 4 мм і при d= 500 м m_р = 4, 95 мм).

Формула не враховує середньої квадратичної похибки визначення геодезичного пункту, над яким центровано електронний тахеометр для визначення планового положення контурних точок границь землекористування. Якщо контури визначаютьсяз різних пунктів геодезичної опори, то необхідно врахувати похибку вихідних даних (геодезичного пункту). Тоді формула набуде вигляду:

$m_{\rho }={\sqrt {m_{d}^{2}+{\frac {m_{\beta }^{2}}{\rho ^{2}}}d^{2}+m_{r}^{2}}}$

Середню квадратичну похибку визначення площі m_F знайдемо за спрощеною формулою:

$m_{f}=dm_{x,y}{\sqrt {n}}$

де m_{х, у} — похибка визначення координат;

n — кількість вершин полігону.

Таблиця 1. Точність визначення планового положення контурних точок

d (м)	100	200	300	400	500
mr 5 мм; пір (мм)	5,19	5,45	5,87	6,40	7,03
mr = 3 мм; пір (мм)	3,31	3,71	4,29	5,00	5,75
Для полігону з 9 точок
mr = 3 мм; mp (кв.м)	0,993	2,226	3,86	6,00	8,685
Для полігону з 4 точок
mr = 3 мм; mF (кв.м)	0,6	1,2	1,8	2,4	3

Висновки

На основі даних табл. 1 робимо висновок, що, маючи координати пунктів з точністю 3 мм і визначаючи координати контурних точок електронним тахеометром з точністю вимірювання кутів 2" і віддалей 1 мм при чотирьох точках полігону, можливе віддалення визначуваних контурних точок до 200 м від пункту. При цьому необхідно досягти густоту пунктів — 1 пункт на 4 га площі. Якщо маємо точність опорних пунктів 5 мм, то віддаленість відбивача електронного тахеометра від пункта не повинна перевищувати 100 м і густота пунктів повинна бути — 1 пункт на 1 га. Беручи до уваги той факт, що державні геодезичні мережі мають точність координат пунктів в кращому випадку 5-10 см, на основі проведених досліджень можнв зробити висновок, що існуючі державні мережі не забезпечують обліковоїодиниці площі 1 м² на територію міст республіканського і обласного значення. Генеруючи істинні похибки вимірювання сторін 1 мм + 1 мм на км і кутів з точністю 0, 4 " як в полігонометрії 1 класу і 0, 7 « як в триангуляції 1 класу можна забезпечити середню квадратичну похибку координат координат пунктів 3-5 мм.

Джерела

1. Ассур В. Л., Кутузов М. Н., Муравин М. М. Высшая геодезия, М.: Недра, 1979,-398с.
2. Практикум по высшей геодезии/ Н. В. Яковлев, Н. А. Беспалов, Глумов В. П. и др.: Учебное пособие для вузов, М.: Недра, 1982, — 368 с.
3. Справочник геодезиста (в двух книгах), М.: Недра, 1975, — 1056 с.
4. Літнарович Р. М. Дослідження точності геодезичних робіт для забезпечення облікової одиниці площі при інвентаризації земель. Навчальний посібник з курсу „Методи наукових досліджень“ Частина І, Рівне. УДАВГ, 1998,-14с.
5. Літнарович Р. М. Проект і дослідження тріангуляції міста Рівне для забезпечення облікової одиниці площі. Навчальний посібник з курсу „Методи наукових досліджень“, частина II, Рівне, РДТУ, 1999 р., — 27 с.
6. Літнарович Р. М. Проект і дослідження геодезичної основи міста Рівне методом несуцільних спостережень тріангуляції. Навчальний посібник з курсу „Методи наукових досліджень“. РДТУ, Рівне, 1998 −14с.
7. Літнарович Р. М. Проектування і дослідження трилатерації міста Рівне методом статистичних випробувань Монте Карло. Навчальний посібник з курсу „Методи наукових досліджень“, Частина IV, РДТУ, Рівне, 1998, — 16 с.
8. Літнарович Р. М. Проект і дослідження точності методом статистичних випробувань Монте Карло геодезичної основи міста Рівне, створюваної лінійно-кутовим методом несуцільних спостережень. Навчальний посібник з курсу „Методи наукових досліджень“, Частина V, Рівне, 1999, −21с.
9. Літнарович Р. М. Проект і дослідження геодезичної основи міста Рівне методом парних ланок засічок». Навчальний посібник з курсу «Методи наукових досліджень», Частина VI, РДТУ, Рівне, 1998, — 32 с.
10. Лобачев В. М. Радиоэлектронная геодезия . М., Недра , 1980 .
11. Машимов М. М. Уравнивание геодезических сетей . М ., Недра , 1979 .
12. Морозов В. П. Курс сфероидической геодезии . М ., Недра , 1979.
13. Пеллинен Л. П. Высшая геодезия . М ., Недра , 1978 .
14. Полевой В. А. Математическая обработка результатов радиогеодезических измерений . М ., Недра , 1971 .
15. Селиханович В. Г. , Козлов В. П. , Логинова В. П. Практикум по геодезии . М ., Недра , 1978 .
16. Селиханович В. Г., Логинова Г. П. Задачник по геодезии . М ., Недра , 1970 .
17. Чеботарев А. С. Геодезия . ч. І. М ., Геодезиздат , 1955 .
18. Чеботарев А. С. , Селиханович В. Г., Соколов М. Н. Геодезия, ч. ІІ. М., Геодезиздат , 1962 .
19. Успенский М. С. Рекогностировка пунктов триангуляции . Труды ЦНИИГАиК , вып. 77. М ., Геодезиздат , 1951 .
20. Филоненко А. С. , Щипицин Н. Г. Практикум по высшей геодезии . М ., Недра , 1955 .
21. Шишкин В. Н. Рекогностировка пунктов триангуляции . М ., Геодезиздат 1959 .
22. Літнарович Р. М. Теорія ряду парних ланок засічок, який прокладається між пунктами, визначеними по системі GPS . Інженерна геодезія . Випуск 45 . Київ, КНУБА , 2001 , — с.141…148.
23. Літнарович Р. М. , Кравцов М. І. , Яроцький П. П. Порівняльний аналіз точності елементів суцільних і несуцільних спостережень тріангуляції . Інженерна геодезія . КНУБА , Київ , 2002 , Випуск 47 . — с. 83-89 .
24. Боровий В. О. , Літнарович Р. М. , Мардієва Л. П. Особливості зрівноваження лінійно-кутової мережі з недостатньою кількістю вимірів . Інженерна геодезія . Випуск 45, Київ , КНУБА , 2001, — с. 17-26 .
25. Літнарович Р. М. Теоретичне обгрунтування точності геодезичних робіт при інвентаризації земель . Інженерна геодезія . Випуск 43 , КНУБА , Київ , 2000 , — с. 102…109 .
26. http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/28919
27. http://enpuir.npu.edu.ua:8080/handle/123456789/529
28. http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/3070