Вступ до алгебричної геометрії/Афінна геометрія

Афінна геометрія

Векторний формалізм

Інтуїтивно вектор розуміється як об'єкт, що має величину, напрямок і (необов'язково) точку прикладання. Зачатки векторної лічби з'явилися разом з геометричною моделлю комплексних чисел. Операції з векторами опублікував Гамільтон як частину свого кватерніонної лічби (вектор утворювали уявні компоненти кватерніона). Гамільтон запропонував сам термін вектор (лат. vector, «той що несе») і описав деякі операції векторного аналізу. Цей формалізм використовував Максвелл у своїх працях з електромагнетизму, тим самим привернувши увагу вчених до нового способу лічби.

Векторний простір

Виділимо у лінійному просторі $V$ підпростір $M.$ Для пари елементів $v_{1},v_{2}\in V$ визначмо бінарне відношення $\alpha ,$ яке назвемо порівнянням відносно $M.$ Вважаймо $v_{2}\,\alpha \,v_{1}$ тоді, коли $v_{2}-v_{1}\in M^{3},$ тобто коли $v_{2}=v_{1}+m,$ де $m\in M.$ Таке порівняння $\alpha$ називається відношенням еквівалентності $\sim$ і має наступні властивості:

• $v\sim v$
• $v_{2}\sim v_{1}\Rightarrow v_{1}\sim v_{2}$
• $v_{2}\sim v_{1}\,\And \,v_{3}\sim v_{2}\Rightarrow v_{3}\sim v_{1}.$

Відношення еквівалентності розшаровує $V$ на класи порівнюваних між собою елементів: кожний клас складається із сукупності таких елементів, котрі є порівнюваними відносно $M$ із яким-небудь одним елементом, який називається представником цього класу. Класи еквівалентності будемо позначати у квадратних дужках, наприклад, клас, утворюваний порівнюваними $v_{i}$ із представником $v_{1}$ позначмо через $[v_{1}]:$

$[v_{1}]=\{v_{i}\in V\,|\,v_{i}\sim v_{1}\}.$

Класи мають наступні властивості:

• $v_{3}\in [v_{1}]\Rightarrow [v_{3}]=[v_{1}];$
• $[v_{1}]\cap [v_{2}]\neq \emptyset \Rightarrow [v_{1}]=[v_{2}].$

На множині усіх класів уведімо дві алгебричні операції - додавання й множення на скаляр, вважаючи

• $[v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}];$
• $a[v_{1}]=[av_{1}].$

Визначені таким чином операції є незалежними від вибору представників класів. Зокрема, якщо $v_{i}\in [v_{1}],\,\,w_{i}\in [w_{1}],$ то $v_{i}=v_{1}+a\,\,\,(a\in M);\,\,\,w_{i}=w_{1}+b\,\,\,(b\in M).$ Відповідно, $v_{i}+w_{i}=(v_{1}+w_{1})+(a+b),$ де $(a+b)\in M^{3}.$ Відповідно, $v_{i}+w_{i}\sim v_{1}+w_{1}$ та $[v_{i}+w_{i}]=[v_{1}+w_{1}].$ Тому $[v_{i}]+[w_{i}]=[v_{i}+w_{i}]=[v_{1}+w_{1}]=[v_{1}]+[w_{1}].$

Ці операції задовільняють усім вимогам, щоб фактормножина була лінійним простором над полем $\mathbb {R} .$ Ця множина називається фактопростором по підпростору $M$ й позначається $V/M.$ Нульовим елементом цього простору є клас $[\theta ]=\{v\,|\,v\sim \theta \}=M.$ Таким чином, відображення $f:v\to [v]$ є лінійним відображенням простору $V$ на факторпростір $V/M.$ Таке відображення називається канонічною проекцією.

${\displaystyle }$

Евклідова геометрія

Лінійний простір $(V,X)$ називається евклідовим простором, якщо у векторному просторі $V$ визначений скалярний добуток, тобто $V$ є евклідовим векторним простором. Пара $(V,X)$ є $n$-вимірним евклідовим простором, якщо вектори (елементи множини $V$) та точки (елементи множини $X$) задовільняють наступним аксіомам.

(Група аксіом 1) Аксіоми додавання векторів.

1. Додавання векторів є комутативним, тобто для будь-яких векторів $v_{1},v_{2}\in V$ справджується рівність $v_{1}+v_{2}=v_{2}+v_{1}.$

2. Додавання векторів є асоціативним, тобто для будь-яких векторів $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ справджується рівність $(v_{1}+v_{2})+v_{3}=v_{1}+(v_{2}+v_{3}).$

3. У множині $V$ існує такий елемент $\theta ,$ який називається нульовим вектором (або просто нулем), що для будь-якого вектора $v\in V$ справджується рівність $v+\theta =v.$

4. Для будь-якого елемента $v\in V$ знайдеться такий елемент $-v,$ який називається протилежним до вектора $v,$ що $v+(-v)=\theta .$

(Група аксіом 2) Аксіоми множення вектора на число.

1. Множення векторів на числа є асоціативним, тобто для будь-якого вектора $v\in V$ та будь-яких дійсних чисел $a,b\in \mathbb {R}$ справджується рівність $a(bv)=(ab)v.$

2. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до чисел, тобто для будь-якого вектора $v\in V$ та довільних дійсних чисел $a,b\in \mathbb {R}$ справджується рівність $(a+b)v=av+bv.$

3. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до векторів, тобто для довільних векторів $v_{1},v_{2}\in V$ та довільного дійсного числа $a\in \mathbb {R}$ справджується рівність $a(v_{1}+v_{2})=av_{1}+av_{2}.$

4. Для будь-якого вектора $v\in V$ справджується рівність $e\cdot v=v,$ де $e$ - ідемпотент (одиниця).

(Група аксіом 3). Аксіоми розмірності.

1. У векторному просторі $V$ можна знайти $n$ лінійно незалежних векторів. Це значить, що у будь-якому $n$-вимірному векторному просторі можна віднайти базис.

2. Будь-які $n+1$ векторів векторного простору $V$ є лінійно незалежними.

Векторний простір (за деякого значення $n\geq 0$), який задовільняє цим аксіомам, називається $n$-вимірним векторним простором (або векторним простором розмірності $n,$ символічно $\dim V$).

(Група аксіом 4) Аксіоми скалярного добутку.

1. Скалярний добуток є комутативним, тобто для будь-яких векторів $v_{1}$ та $v_{2}$ справджується співвідношення $v_{1}v_{2}=v_{2}v_{1}.$

2. Скалярний добуток є дистрибутивним, тобто для будь-яких трьох векторів $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ справджується рівність $v_{1}(v_{2}+v_{3})=v_{1}v_{2}+v_{1}v_{3}.$

3. Для будь-яких векторів $v_{1},v_{2}\in V$ та будь-якого дійсного числа $a\in \mathbb {R}$ справджується рівність $(av_{1})v_{2}=a(v_{1}v_{2}).$

4. Для будь-якого відмінного від нуля вектора $v\in V$ скалярний добуток $vv$ цього вектора на себе (тобто скалярний квадрат $v^{2}$) є додатним: $v^{2}>0$ за $v\neq 0.$

Множина $V,$ яка задовільняє цим аксіомам, називається $n$-вимірним евклідовим векторним простором.

(Група аксіом 5) Аксіоми проведення векторів.

1. Для будь-якої точки $x_{1}\in X$ та будь-якого вектора $v\in V$ знайдеться точка $x_{2}\in X,$ що ${\vec {x_{1}x_{2}}}=v$ (знаходження такої точки називається проведенням вектора $v$ від точки $x_{1}$).

2. Для будь-яких трьох точок $x_{1},x_{2},x_{3}\in X$ справджується співвідношення ${\vec {x_{1}x_{2}}}+{\vec {x_{2}x_{3}}}+{\vec {x_{3}x_{1}}}=0.$

3. Якщо для точок $x_{1},x_{2}\in X$ справджується рівність ${\vec {x_{1}x_{2}}}=0,$ то точки $x_{1}$ та $x_{2}$ співпадають.

Пара $(V,X)$ називається також $n$-вимірним афінним простором, якщо будь-яким двом точкам $x_{1},x_{2}\in X$ поставлений у відповідність деякий вектор, який позначається ${\vec {x_{1}x_{2}}}$ (і який належить до векторного простору $V$), за виконання п'ятої групи аксіом.

Таким чином, евклідовий простір - це скінченновимірний афінний (лінійний) простір $V$ над полем $\mathbb {R}$ дійсних чисел, у якому для кожної пари векторів $v_{1},v_{2}$ визначений скалярний добуток, тобто $V\times V\to \mathbb {R}$ із наступними властивостями:

• $(v_{1}+v_{2},v_{3})=(v_{1},v_{3})+(v_{2},v_{3});$
• $(a\cdot v_{1},v_{2})=a\cdot (v_{1},v_{2}),\quad a\in \mathbb {R} ;$
• $(v_{1},a\cdot v_{2})=a\cdot (v_{1},v_{2}),\quad a\in \mathbb {R} ;$
• $(v_{1},v_{2})=(v_{2},v_{1});$
• $v\neq \theta \Rightarrow (v,v)>0.$

Такий простір розмірності $n$ позначається $\mathbb {R} ^{n}.$ Евклідовий простір розмірності $1$ геометрично представляється як звичайна пряма лінія (числова пряма) $\mathbb {R} ^{1}.$

У просторі $\mathbb {R} ^{n}$ уводиться норма (довжина) вектора $v:$

$||v||={\sqrt {(v,v)}}.$

Найважливіші властивості евклідових просторів:

• $|(v_{1},v_{2})|\leq ||v_{1}||\cdot ||v_{2}||$ - нерівність Коші-Буняковського;
• $||v_{1}+v_{2}||\leq ||v_{1}||+||v_{2}||$ - нерівність трикутника;
• $||v_{1}+v_{2}||^{2}+||v_{1}-v_{2}||^{2}=2\cdot (||v_{1}||^{2}+||v_{2}||^{2})$ - закон паралелограма.

Топологія евклідового простору

Куля утворюється обертанням напівдиску навколо його нерухомого діаметру. Сфера - це поверхня замкнутої кулі, тобто сукупність усіх граничних точок кулі, які знаходяться на відстані $r$ від точки $O$. Відкрита куля не містить граничних точок, тобто її не огортує сфера. Іншими словами, відкрита куля - це сукупність усіх точок, зосереджених у $r-\varepsilon .$

Нехай $O$ - довільна точка евклідового простору $(V,X)$ та $r$ - додатне число. Множина усіх точок $x\in X,$ які задовільняють умові $\rho (O,x)<r,$ називається відкритою кулею із центром $O$ й радіусом $r.$ Будемо позначати відкриту кулю $U_{r}(O).$ Нехай $M$ - дектра множина у топологічному просторі $X.$ Точка $O\in X$ називається внутрішньою точкою множини $M,$ якщо існує таке додатне число $r,$ за якого $U_{r}(O)\subset H.$

Множина $G\in X$ називається відкритою у просторі $X,$ якщо кожна точка $g_{i}\in G$ є внутрішньою точкою цією множини, тобто $g_{i}\in \mathrm {Int} (G).$ Наприклад, будь-яка куля $U_{r}(O)$ у $X$ є відкритою множиною. Справді, нехай $g_{1}\in U_{r}(O),$ тобто $\rho (O,g_{1})<r.$ Вважаймо $r'=r-\rho (O,g_{1}).$ Число $r'$ є додатним, відтак можна розглянути кулю $U_{r'}(g_{1})$ із центром у точці $g_{1}$ та радіусом $r'.$ Для довільної точки $g_{2},$ яка належить цій кулі, тобто $g_{2}\in U_{r}(g_{1}),$ маємо $\rho (g_{1},g_{2})<r',$ відтак:

$\rho (O,g_{2})\leq \rho (O,g_{1})+\rho (g_{1},g_{2})<\rho (O,g_{1})+r'=\rho (O,g_{1})+(r-\rho (O,g_{1}))=r.$

Таким чином, $\rho (O,g_{2})<r,$ тобто $g_{2}\in U_{r}(O).$ Цим самим ми переконалися у включенні $U_{r'}(g_{1})\subset U_{r}(O),$ яке означає, що куля $U_{r}(O)$ є відкритою множиною.

Множина $F\subset X$ називається замкнутою, якщо її доповнення ${\bar {F}}=X\setminus F$ (тобто множина усіх точок простору $X,$ які не містяться у $F$) є відкритою множиною. Наприклад, куля із центром $O$ й радіусом $r,$ тобто множина усіх точок $x\in X,$ які задовільняють умові $\rho (O,x)\leq r,$ є замкнутою множиною. Справді, доповненням цієї замкнутої кулі є множина $G$ усіх точок $g_{i}\in X,$ які задовільняють умові $\rho (O,g_{i})>r.$ Число $r'=\rho (O,g_{i})-r$ є додатним, тому можна розглянути кулю $U_{r'}(g_{i}).$ Якщо $x_{i}\in U_{r'}(g_{i}),$ тобто $\rho (g_{i},x_{i})<r',$ то $\rho (O,x_{i})=\rho (O,x_{i})+\rho (x_{i},g_{i})-\rho (x_{i},g_{i})\geq \rho (O,g_{i})-\rho (x_{i},g_{i})=\rho (O,g_{i})-\rho (g_{i},x_{i})>\rho (O,g_{i})-r'=\rho (O,g_{i})-(\rho (O,g_{i})-r)=r,$

тобто $\rho (O,x_{i})>r,$ і тому $x_{i}\in G.$ Таким чином, в силу включення $U_{r'}(g_{i})\subset G$ множина $G$ є відкритою.

Нехай $M$ - множина простору $X.$ Розгляньмо усі замкнуті множини, що містять $M;$ через ${\bar {M}}$ позначмо перетин усіх цих замкнутих множин. Об'єднання будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною та перетин скіченного числа відкритих множин є відкритою множиною; перетин будь-якого числа замкнутих множин є замкнутою множиною та об'єднання скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Відтак, множина ${\bar {M}}$ є замкнутою, прочому вона є найменшою замкнутою множиною, що містить $M$ (тобто, якщо $F$ є замкнутою множиною, яка містить $H,$ то $F\subset {\bar {H}}$). Множина ${\bar {M}}$ називається замиканням множини $M.$

Нехай $M\subset X.$ Точка $x\in X$ лише у тому випадку належить ${\bar {M}},$ якщо за будь-якого $r>0$ куля $U_{r}(x)$ містить хоча б одну точку множини $M.$ Точка $x\in X$ називається граничною точкою множини $M\subset X,$ якщо за будь-якого $r>0$ куля $U_{r}(x)$ містить як точки, що належать $M,$ так й точки, які не належать цій множині. Множина, яка складається із усіх граничних точок множини $M,$ називається границею множини $M$ й позначається $\partial M.$ Таким чином, $\partial M\subset {\bar {M}}.$ Так само $\partial M\subset {\overline {X\setminus M}},$ де $X\setminus M$ - доповнення множини $M.$ Зокрема, $\partial M\subset {\bar {M}}\cap {\overline {X\setminus M}}.$ Справедливим є й зворотне вкючення, $\partial M={\bar {M}}\cap {\overline {X\setminus H}}.$ Операція замикання означає приєднання до множини усіх її граничних точок: ${\bar {M}}=M\cup \partial M.$ У термінах границі відкриті та закмкнуті множини можна визначити наступним чином: множина замкнута, якщо вона містить свою границю, $M\subset \partial M;$ множина є відкритою, якщо вона не має спільних точок із своєю границею, $M\cap \partial M=\emptyset .$

Пригадаймо також поняття неперервного відображення. Нехай $(V_{1},X)$ та $(V_{2},X)$ - евклідові простори та $M\subset X.$ Припустімо, що задане відображення $f:M\to Y,$ тобто кожній точці $A\subset M$ поставлена у відповідність деяка точка $f(A)$ простору $Y.$ Множина $M$ є областю визначення відображення $f,$ тобто $M=D(f).$ Відображення $f:M\to Y$ називається неперервним, якщо для кожної точки $A\in M$ й кожного числа $\varepsilon >0$ можна підібрати таке число $\delta >0,$ що $f(M\cap U_{\delta }(A))\subset U_{\varepsilon }(f(A)).$ Це значить, що якщо точка $B\in M$ відстає від точки $A$ менш ніж на $\delta$ (тобто $|A-B|<\delta ,\,\,B\in M$), то образ $f(B)$ точки $B$ відстає від $f(A)$ менше, ніж на $\varepsilon ,$ тобто $|f(A)-f(B)|<\varepsilon .$ Відзначмо, що число $\delta$ залежить від точки $A$ та від числа $\varepsilon ,$ тобто $\delta =\delta (A,\varepsilon ).$

Якщо простір $Y$ співпадає із числовою прямою $C,$ то неперервне відображення $f:M\to C$ називається неперервною функцією.