Астрономія/Акреційні диски

Багато астрономічних джерел описуються у рамках моделі дискової акреції розжареної плазми на компактний об'єкт. Найбільш поширена модель тонкого альфа-диску. Поверхнева густина $\Sigma$ описується формулою (1) $\Sigma =\rho H$ (1)

де $H$ - товщина диску. Масу речовини яка проходить через радіус $r$ можна розрахувати з виразу (2)

${\dot {m}}=2\pi rV_{r}\Sigma$ (2)

швидкість газу $V_{\varphi }$ в акреційному диску дорівнює:

$V_{\varphi }=\Omega r$ (3)

сила $F$ яка діє на тіло у цьому полі:

$F=\eta S{\frac {dV_{\varphi }}{dr}}=\eta 2\pi rHr{\frac {d\Omega }{dr}}$ (4)

в'язкість $\nu$ визначається як відношення (5)

$\nu ={\frac {\eta }{\varphi }}$ (5)
$\eta H=\nu \rho H=\nu \Sigma$ (6)

зміна швидкості в залежності від відстані до центру можна знайти з виразу (7)

${\frac {dV_{\varphi }}{dr}}={\frac {d}{dr}}(\Omega r)=\Omega +r{\frac {\partial \Omega }{\partial r}}$ (7)

момент сили $M$:

$M=Fr=2\pi r^{3}\eta H{\frac {d\Omega }{dr}}=2\pi r^{3}\nu \Sigma {\frac {d\Omega }{dr}}$ (8)

момент імпульсу $L$:

$L=mV_{\varphi }r$ (9)

підставляючи у вираз (9) масу $m$ визначену у виразі (2), отримуємо ось таке співвідношення для моменту сили:

$M={\frac {dL}{dt}}={\dot {m}}V_{\varphi }r=2\pi r^{3}\Sigma V_{r}\Omega$ (10)
${\frac {dM}{dr}}=2\pi {\frac {d}{dr}}(r^{3}\Sigma V_{r}\Omega )$ (11)
$M=2\pi r^{3}\Sigma V_{r}\Omega +C$ (12)

враховуючи формулу (8) маємо:

$V\Sigma {\frac {d\Omega }{dr}}=\Sigma V_{r}\Omega +{\frac {C}{2\pi r^{3}}}$ (13)

константа $C$, може бути знайдена шляхом узгодження швидкості обертання зірки до швидкості обертання на внутрішному краю акреційного диску

при $r=r_{*},$ $M=0:$ 
$C=-2\pi r^{3}\Sigma V_{r}\Omega$ де  $\Omega ={\sqrt {GMr^{3}}}$ (14)

беручи до уваги, що маса $m=const$ на любій відстані:

$C=-{\dot {m}}{\sqrt {GM_{*}r_{*}}}$ (15)

константа $C$ являє собою швидкість передачі кутового моменту в граничний шар. У самому ж диску швидкості близькі до Кеплерівських, тому підставляючи (2) і (15) у формулу (13) отримуємо:

$\nu \Sigma ={\frac {\dot {m}}{3\pi }}(1-{\sqrt {\frac {r_{*}}{r}}})$ (16)

наступним результатом буде отримання швидкості дисипації енергії в'язких сил що діють на диск.

$-{\frac {dE}{dt}}=\nu \sigma r^{2}({\frac {d\Omega }{dr}})^{2}={\frac {G{\dot {m}}m_{*}}{4\pi r^{3}}}(1-{\sqrt {\frac {r_{*}}{r}}})$ (17)

в стаціонарному стані, ця теплова енергія розсіюється у вигляді випромінювання, тому світність диску можна знайти шляхом інтегрування швидкості розсіювання тепла:

$L=\int \limits _{r}^{\infty }(-{\frac {dE}{dt}})2\pi rdr={\frac {G{\dot {m}}M_{*}}{2r_{*}}}$ (18)

в'язкість $\nu$ пропорційна швидкості звуку $C_{s}$, і визначається як:

$\nu =\alpha C_{s}H\Rightarrow \eta =\alpha C_{s}\rho H\Rightarrow F=\alpha C_{s}\rho HS{\frac {d\nu }{dr}}\Rightarrow {\frac {dV}{dt}}=C_{s}{\frac {dV}{dr}}$ (19)

Виведення з (17)

$S=Hdtr{\frac {d\Omega }{dr}}dS,\ dV=drS,\ F=\eta S{\frac {dV_{\varphi }}{dr}},\ \triangle E={\frac {Fdtr{\frac {d\Omega }{dr}}dr}{\triangle V}}={\frac {FdtdV_{\varphi }}{\triangle V}},\ {\frac {dE}{dt}}=\eta r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}},\ {\frac {dV_{\varphi }}{dr}}=\eta ({\frac {dV_{\varphi }}{dr}})^{2}=\eta r^{2}({\frac {d\Omega }{dr}})^{2}$ (20)