Повне квадратне рівняння — це рівняння вигляду
Формули коренів рівняння
ред.
Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння методом виділення квадратного двочлена.
Розв'язати рівняння:
Згадаємо одну з формул скороченого множення: Якщо до двочлена додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена Тому дане рівняння рівносильне рівнянню ,
або
Звідси
або
Відповідь.
Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння
Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на
Тепер додамо і віднімемо (бо ):
Тепер розглянемо наш результат.
Вираз у правій частині рівняння ( ) називають дискримінантом та позначають великою літерою D.
Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це )не може бути від'ємним числом.
Відповідь. Розв'язків немає.
Тоді рівняння має вигляд
Розв'яжемо його.
Відповідь.
Рівняння виглядатиме як рівняння .
Розв'яжемо і його.
Виразами та ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.
Поділимо рівняння на : вийде
Зробимо заміну:
Отримаємо зведене квадратне рівняння
Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):
Тепер за допомогою цих формул ми доведемо теорему Вієта.
Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.
Додамо та перемножимо корені.
Отже, Щ.Т.Д.
До цієї теореми є обернена теорема, яку ми теж доведемо.
Теорема (обернена до теореми Вієта)
ред.
Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння
Зробимо у рівнянні заміну:
Отримаємо:
Зробимо підстановку:
Отримаємо:
Отже, є коренем даного рівняння.
Зробимо іншу підстановку: .
З цього випливає, що й є коренем рівняння. Щ.Т.Д.