Алгебраїчні рівняння/Повні квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння — це рівняння вигляду

Формули коренів рівняння

ред.

Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння методом виділення квадратного двочлена.

Приклад 1

ред.

Розв'язати рівняння:  

Розв'язання

ред.

Згадаємо одну з формул скороченого множення:   Якщо до двочлена   додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена   Тому дане рівняння рівносильне рівнянню  ,

або  

 

Звідси    

або    

Відповідь.  

Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння

 

Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на  

  Тепер додамо і віднімемо  (бо  ):

 

 

Тепер розглянемо наш результат.

Вираз у правій частині рівняння ( ) називають дискримінантом та позначають великою літерою D.

Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це  )не може бути від'ємним числом.

Відповідь. Розв'язків немає.

Тоді рівняння має вигляд  

Розв'яжемо його.

 

 

 

Відповідь.  

Рівняння виглядатиме як рівняння  . Розв'яжемо і його.

 

 

 

Виразами   та   ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.

Теорема Вієта

ред.

Поділимо рівняння   на  : вийде

 

Зробимо заміну:  

Отримаємо зведене квадратне рівняння  

Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):

 

Тепер за допомогою цих формул ми доведемо теорему Вієта.

Теорема (Вієта)

ред.

Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.

Доведення

ред.

Додамо та перемножимо корені.

 

 

 

Отже,   Щ.Т.Д.

До цієї теореми є обернена теорема, яку ми теж доведемо.

Теорема (обернена до теореми Вієта)

ред.

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння  

Доведення

ред.

Зробимо у рівнянні заміну:  

Отримаємо:  

Зробимо підстановку:  

Отримаємо:

 

 

 

Отже,   є коренем даного рівняння.

Зробимо іншу підстановку:  .

 

 

 

З цього випливає, що й   є коренем рівняння. Щ.Т.Д.