Алгебра

Натуральні числа

Дослівно — «природні» числа (лат. «natura» — «природа»). Існує вислів, що натуральні числа створені Богом, а інші числа — витвір людської уяви. Натуральні числа — найдавніші числа, які стали використовувати люди, в першу чергу при лічбі:

$1,2,...,10,11,...$

Сукупність (множина) всіх натуральних чисел позначається $\mathbb {N}$.

Алгебраїчний вираз (англ. expression) — скінченна комбінація символів граматично вірна відносно правил застосованих в поточному контексті. Символи можуть позначати константи, змінні, операції, відношення, або можуть вводити пунктуацію чи інші синтаксичні сутності. Використання виразів може різнитися від простих арифметичних операцій подібних до

$3+5\times \left((-2)^{7}-{\frac {3}{2}}\right)$

до складніших побудов, які можуть включати змінні, функції, факторіали, суми, похідні та інтеграли, наприклад

$f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.$

Однак побудови, які порушують синтаксичні правила подібні до

$\times 4)x+,/y[\int \partial$

не є граматично вірними, і тому не є алгебраїчними виразами.

Алгебраїчний вираз може бути використаний для встановлення значення, яке може залежати від значень присвоєних змінним, які зустрічаються в виразі; визначення значення залежить від семантики приписуваній символам у виразі. Ці правила можуть визначити, що деякі вирази не повертають значення; кажуть, що такі вирази повертають невизначене значення, проте це граматично вірні вирази. Загалом, сутність виразу не обмежується визначенням значення; наприклад, вираз може визначати умову, або рівняння, яке має бути розв'язане, або може розглядатись як об'єкт, над яким можна проводити дії умовно певних правил. Деякі вирази можуть визначати значення та одночасно виражати умову, яка припускається вірною.

Дивись формальні мови для загальних міркувань з приводу як будуються вирази, і формальну семантику для питань стосовно змісту приписуваному виразам.

Змінні

Багато математичних виразів включають букви звані змінними. Будь-яка змінна може бути класифікована як вільна змінна або зв’язана змінна.

На різних наборах вільних змінних вираз може бути як визначеним, так і невизначеним. Таким чином алгебраїчний вираз це функція на вході якої значення вільних змінних, а на виході відповідне значення виразу.

Наприклад, вираз

$x/y$

обчислений для x = 10, y = 5, поверне 2; але невизначене для y = 0.

Обчислення виразу залежить від визначення математичних операторів і від системи значень, яка використовується в поточному контексті.

Два вирази називаються тотожними, якщо для кожної комбінації для вільних змінних, вони повертають однакові значення, тобто вони представляють одну функцію. Приклад:

Вираз

$\sum _{n=1}^{3}(2nx)$

має вільну змінну x, зв'язану змінну n, константи 1, 2, і 3, два неявних оператори добутку та оператор суми. Цей вираз тотожний виразу 12x.

Алгебраїчні вирази були формалізовані Алонсо Черчем та Стівеном Кліні у 1930 р. в лямбда-численні. Лямбда-числення склало найбільший вплив на розробку сучасної математики та мови програмування.

Один з найцікавіших результатів лямбда-числення той, що задача тотожності двох виразів в деяких випадках нерозв'язна.