Інтегрування за об'ємом многовида

Елемент об'єму $d\tau$ дається формулою:

$(1)\qquad d\tau ={\sqrt {g}}du^{1}du^{2}...du^{n}$

Відповідно інтеграл від скалярного поля $\phi =\phi (u^{1},u^{2},...u^{n})$ по об'єму многовида дорівнює:

$\int \phi d\tau =\int \phi {\sqrt {g}}du^{1}du^{2}...du^{n}$

Доведення обчисленням

В околі точки $P$ многовида можна вибрати таку систему координат ${\tilde {u}}^{i}$, що в цій точці метричний тензор буде одиничною матрицею:

${\tilde {g}}_{ij}{\big |}_{P}=\delta _{ij}$

В цій системі координат елемент об'єму дорівнює (як і для декартових координат в евклідовому просторі) добутку диференціалів координат:

$d\tau =d{\tilde {u}}^{1}d{\tilde {u}}^{2}...d{\tilde {u}}^{n}$

При переході до іншої системи координат $u^{i}$, як відомо з курсу математичного аналізу, елемент об'єму дорівнює добутку якобіана (модуля визначника матриці переходу) на добуток диференціалів нових координат:

$d\tau ={\bigg |}det\left({\partial {\tilde {u}}^{i} \over \partial u^{j}}\right){\bigg |}du^{1}du^{2}...du^{n}$

Оскільки метричний тензор при зміні системи координат змінюється за законом:

$g_{ij}={\partial {\tilde {u}}^{k} \over \partial u^{i}}{\partial {\tilde {u}}^{p} \over \partial u^{j}}{\tilde {g}}_{kp}=\sum _{k}{\partial {\tilde {u}}^{k} \over \partial u^{i}}{\partial {\tilde {u}}^{k} \over \partial u^{j}}$

то матриця метричного тензора $G=\left(g_{ij}\right)$ є матричним добутком транспонованої матриці переходу $A=\left({\partial {\tilde {u}}^{i} \over \partial u^{j}}\right)$ на саму цю матрицю переходу:

$G=A^{T}A$

Звідси обчислюємо визначник:

$g=det(G)=det(A^{T}A)=det(A^{T})\cdot det(A)=(det(A))^{2}$

або

${\bigg |}det\left({\partial {\tilde {u}}^{i} \over \partial u^{j}}\right){\bigg |}=|det(A)|={\sqrt {g}}$

Формулу (1) доведено.